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人教版高中数学必修1
第一章
集合与常用逻辑用语
1.5-全称量词与存在量词
授课：东风老师
[慕联教育同步课程进阶篇]
课程编号：TS2004010302RB1010501ZFD（J）
学习目标
能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)
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理解全称量词与存在量词的概念以及含有全称量词和存在量词命题的意义.
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1
掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定．(重点、难点)
2
2
要点梳理
1.全称量词：语句中有“所有的”“任意一个”等逻辑连接词叫做全称量词，并用符号“?”表示．
2.存在量词：语句中有“存在”“至少有一个”等逻辑连接词叫做存在量词，并用符号“?”表示．
3.全称量词命题：含有全称量词的命题
数学符号简记为：?x∈M，p(x)
4.存在量词命题：含有存在量词的命题
数学符号简记为：?x∈M，p(x)
命题的否定结论
对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论:
1.全称量词命题p：?x∈M，p(x)
它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)
2.存在量词命题p：?x∈M，p(x)
它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)
3.全称量词命题的否定是存在量词命题，
存在量词命题的否定是全称量词命题．
类型一：全称量词和存在量词命题的判断
例1．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假
(1)?x∈N,2x-1是奇数
(2)存在一个x∈R，使x2+x+1＝0
(3)对任意实数a，|a|＞0
(4)?实数x，y，使x2＋y2＝0
(5)?x∈N，x2>0.
(6)任意两个面积相等的三角形一定相似
全称量词命题
全称量词命题
存在量词命题
全称量词命题
全称量词命题
存在量词命题
真命题：（1）、（4）
假命题：（2）、（3）、（5）、（6）
总结：1.判定全称量词命题为假命题只需举一反例即可.
2.判断存在量词命题为真命题只要在所给范围中
找到一个满足条件即可.
类型二：含有一个量词的命题的否定
解：(1)￢A：?x∈R,x2＜0
假命题
(2)￢B：至少存在一个对边相等的四边形不是
平行四边形
真命题
(3)￢P：?x∈R，x2＋2x＋3＞0
真命题
(4)￢q：?x∈R，x3＋1≠0
假命题
例2.写出下列命题的否定并判断其真假
(1)A：?x∈R，x2≥0
(2)B：所有的对边相等的四边形都是平行四边形
(3)P：?x∈R，x2＋2x＋3≤0
(4)q：至少有一个实数x，使x3＋1＝0
含有一个量词的命题的否定的方法：
把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论
例3.对于?x∈R，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．
解：由y＝x2＋4x－1，x∈R，
得y＝(x＋2)2－5≥-5，即y的最小值为-5，
因为?x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，
所以只要m<－5即可．
所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．
求解含有量词的命题中参数范围的策略:
1.对于全称量词命题“?x∈M，有a＞y或a＜y恒成立问题”，通常转化为求函数y的最大值或最小值.
即a＞ymax或a＜ymin
2.对于存在量词命题“?x∈M，有a＞y或a＜y”不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值或最大值，即a＞ymin或a＜ymax
类型三：全称量词命题与存在量词命题的应用
小试牛刀
变式：若命题“p：?x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是(
)
A．m≥1
B．m＞1
C．m＜1
D．m≤1
解：由已知?x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，
可得函数y=x2－2x＋m与x轴无交点，
∴△=（-2)2-4m＜0,解得m＞1，选B
B
类型四：命题的否定及真假命题在解题中的综合应用
分析：本题是一个二次函数在所给范围上存在x0使函数值大于0的问题，直接做情形比较复杂.
X
2
1
只需满足x=1和x=2两点的函数值小于等于0即可.
例4.已知命题p：“至少存在一个实数x0，
使不等式x2＋2ax0＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．
我们可以从命题p的否命题入手,￢P：?x0，
x2＋2ax0＋2－a≤0成立，此时只有一种情况
解：由已知得￢P：?x0，
，x2＋2ax0＋2－a≤0成立，设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
解得a≤－3，因为￢P为假命题，所以a>－3
即a的取值范围是a>－3.
课堂小结
通过本节课学习，了解全称量词命题及存在量词命题的形式，能正确判断其真假.
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1
3
能够利用命题的否定及真假命题的关系解决相关问题，培养化归转化的数学思想.
掌握含有全称量词的命题及存在量词的命题的否定形式，会求含有量词的命题中参数的取值范围.
2
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修一1.5全称量词与存在量词
1．下列全称量词命题为真命题的是(
)
A．所有的质数是奇数
B．?x∈R，x2＋1≥1
C．对每一个无理数x，x2也是无理数
D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5
2．下列命题中的假命题是(
)
A．?x∈N
，(x－1)2>0
B．?x∈R，|x|≥0
C．?x∈R，x＋2019<1
D．?x∈R,2x＞2
3.有以下四个命题：
(1)没有男生爱踢足球；(2)所有男生都不爱踢足球；(3)至少有一个男生不爱踢足球；(4)所有女生都爱踢足球．其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是( )
A．
(1)
B．
(2)
C．
(3)
D．
(4)
4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(
)
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
5．已知命题p：?x∈R，sin
x≤1，则其否定是(
)
A．￢p：?x∈R，sin
≥1
B．￢p：?x∈R，sin
x≥1
C．￢p：?x∈R，sin
x＞1
D．￢p：?x∈R，sin
x＞1
6.设命题p：?n∈N，n2>2n，则命题p的否定为(
)
A．?n∈N，n2>2n
B．?n∈N，n2≤2n
C．?n∈N，n2≤2n
D．?n∈N，n2＝2n
7.命题“?x∈R，?n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是(
)
A．?x∈R，?n∈N
，使得n＜x2
B．?x∈R，?n∈N
，使得n＜x2
C．?x∈R，?n∈N
，使得n＜x2
D．?x∈R，?n∈N
，使得n＜x2
8.命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
9.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,
2x∈B，则( )
A．￢p：?x∈A,2x∈B
B．￢p：?x?A,2x?B
C．￢p：?x0?A,2x0∈B
D．￢p：?x0∈A,2x0?B
10.命题p：?x∈R，ax2＋ax＋1≥0为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0,4]
B．[0,4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞)
D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
答案解析
1.B
解析：A错，因为2是质数但不是奇数；B正确，?x∈R，x2≥0，所以x2＋1≥1；C错，因为是无理数，但它的平方是2为有理数；D错，能被5整除的整数，其末位数字除了5还有0.
故选：B.
2.A
解析：当x=1时，（x-1)2=0,不满足(x－1)2>0
故选：A.
3.C
解析：略
故选：C.
4.B
解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．
故选：B.
5.D
解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，?x∈R的否定为?x∈R，再否定结论，sin
x≤1的否定为sin
x＞1.
故选：D.
6.C
解析：因为“?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，￢p(x)”，所以命题“?n∈N，n2>2n”的否定是“?n∈N，n2≤2n”，
故选：C.
7.D
解析：由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“?x∈R，?n∈N
，使得n≥x2”的否定形式为“?x∈R，?n∈N
，使得n＜x2”．
故选：D.
8.C
解析：满足命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的实数a，即为不等式x2－a≤0在[1,2]上恒成立的a的取值范围，即a≥x2在[1,2]上恒成立，即a≥4，要求的是充分不必要条件，因此选项中满足a>4的即为所求，选项C符合要求．
故选：C.
9.D
解析：命题p：?x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定￢p应为?x0∈A,2x0?B，
故选：D.
10.B
解析：根据题意，得
当a＝0时，不等式为1≥0，满足题意；
当a＞0时，应Δ≤0，即a2－4a≤0，
解得0＜a≤4；
当a＜0时，不满足题意．
综上，0≤a≤4，
∴实数a的取值范围是[0,4]．
故选：B.
