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人教版数学高中必修一2.2.1-基本不等式
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1
B．a＝1
C．a＝－1
D．a＝0
2.已知x＞0,
的最小值为（
）
A.4
B.5
C.6
D.8
3.已知0＜x＜2，则x(2-x)的最大值为（
）
A.4
B.3
C.2
D.1
4.已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2
B.＋≥2
C.≥2
D.≥
5.如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是( )
A．P＞Q＞M
B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P
D．M＞Q＞P
6.不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3
B．x＝－3
C．x＝5
D．x＝－5
7.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2
m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(
)
A．
6.5
m
B．
6.8
m
C．
7
m
D．
7.2
m
8.已知x＞1，
的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.3
9.已知x＞0，求证：2－3x－的最大值是（
）
A.1
B.2
C.2＋4
D.2－4
10．设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于( )
A．
0
B．
4
C．
－4
D．
－2
答案解析
1．B
解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0即a＝1时，等号成立．
2.A
解析：由x＞0,得
当x=
即x=2时取等号.
故选：A.
3.D
解析：0＜x＜2，则2-x＞0，所以
当且仅当x=2-x即x=1时取等号.
故选：D.
4.D
解析：由≥得a＋b≥2，∴A成立；
∵＋≥2＝2，∴B成立；
∵≥＝2，∴C成立；
∵≤＝，∴D不一定成立．
5.B
[显然＞，又因为＜，(由a＋b＞也就是＜1可得)，所以＞＞.故M＞P＞Q.]
6.C
解析：由
当且仅当=x－2即x-2=3(x＝－1舍去)，所以x=5
故选：C.
7.C
解析：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C.
8.C
解析：因为x＞1，所以x－1＞0，
所以，x+=x－1++1≥2+1=2+1.
故选：C.
9.D
解析：∵x＞0，
∴2－3x－=﹣（3x＋）+2≤﹣2+2=2－4.
故选：D.
10.C
解析：由≥0得k≥﹣，
而=++2≥4，所以﹣≤﹣4，
因此要使k≥﹣恒成立，应有k≥﹣4，
即实数k的最小值等于﹣4.
故选：C.(共12张PPT)
人教版高中数学必修1
第二章
一元二次函数、方程
和不等式
2.2.1-基本不等式
授课：东风老师
[慕联教育同步课程进阶篇]
课程编号：TS2005010302RB1020201ZFD（J）
学习目标
掌握基本不等式的构建方法及技巧，借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养．(重点、易混点)
3
了解基本不等式的运用条件及证明过程．
(重点)
1
1
能利用基本不等式证明简单的不等关系及比较代数式的大小.(重点、难点)
2
2
知识梳理
1．重要不等式
?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式：前提当a，b均为正数时
(1)两个概念：算术平均数：
几何平均数：
(2)不等式：
≥
，当且仅当a＝b时，等号成立．
类型一：基本不等式的简单运用
例1．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是( )
A．a2＋b2
B．2
C．2ab
D．a＋b
解：∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b，
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(∵a≠b)，
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
又∵a＋b＞2
(∵a≠b)，∴a＋b最大．
D
例2．给出下面三个推导过程：
①∵a、b为正实数，∴
≥2
＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴
＋a≥2
＝4；
③∵x、y∈R，xy＜0，∴
＋
＝
－[（-
）+（-
）]≤－2
＝－2.
其中正确的推导为( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
类型二：基本不等式的理解
解析：①∵a、b为正实数，∴
、
为正实数，符合基本
不等式的条件，故①的推导正确．
②当a＜0时不符合基本不等式的条件，②是错误的.
③由xy＜0，得
、
均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，-
、-
均变为正数，符合均值不等式的条件，注意变号，故③正确．
∴
＋
＝－[（-
）+（-
）]≤-2
＝-2.
故本题选B
类型二：基本不等式的理解
解：∵a>0，b>0，∴a＋b≥2
＝2，
当且仅当a＝b时取等号，即a=b=1.
∴a＋b的最小值为2.
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
练习．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为(
)
A．1
B．2
C．4 D．8
1．基本不等式体现了两个正数和与积之间的关系．
和为定值，积有最大值.
积为定值，和有最小值.
2．基本不等式的应用条件：(1)a、b都是正数．(2)验证当a＝b时等号成立条件.（3）注意不等式的方向性.
B
知识小结
解：
∵x＞2，∴x-2＞0，由基本不等式得
≥6
当且仅当x=4时取等号，故选C
例3：已知x＞2，则
的最小值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
C
构建基本不等式的形式
类型三：基本不等式的综合运用
验证等号条件
例4：设x＞-1，求
的最小值.
解：换元法
设x+1=t,则有
（t＞0）
∴
当且仅当
即t=2时取等号，此时x+1=2,得x=1，所以y的最小值为9.
小试牛刀
例5.设0的最大值．
类型三：基本不等式的综合运用
解：
由基本不等式得：
当3x=8-3x即
时取等号
所以
的最大值为
方法小结：1.构建基本不等式的形式；
2.符合基本不等式要求；
3.验证等号成立条件.
课堂小结
本节学习了利用基本不等式比较数与式的大小及求最大或最小值的解题方法，掌握基本不等式的应用条件与技巧.
1
1
3
在求最大或最小值时注意取得等号条件的验证.
理解构建基本不等式的解题思想，会用拼、凑、拆、合、放缩等变形构造出符合基本不等式的条件和结构.
2
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!
