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人教版高中数学必修1
第二章
一元二次函数、方程
和不等式
2.3.1-一元二次不等式及其解法
授课：东风老师
[慕联教育同步课程进阶篇]
课程编号：TS2006010302RB1020301ZFD（J）
学习目标
通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.
3
掌握一元二次不等式的解法．(重点)
1
1
能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题.（难点)
2
2
知识梳理
1.一元二次不等式的一般形式（a≠0）
(1)ax2＋bx＋c＞0
(2)ax2＋bx＋c≥0
(3)ax2＋bx＋c＜0
(4)ax2＋bx＋c≤0
2.一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．
类型一：简单一元二次不等式解法
例1．解关于x的不等式
1.x2-2x-8≤0
2.6-x-x2＜0
解法一：因式分解
解1.由x2-2x-8≤0得（x-4)(x+2)≤0
等价于
解得：-2≤x≤4
解法二：利用二次函数解题
先转化为方程：由x2-2x-8=0得x=-2,x=4
画出y=x2-2x-8的图象
由图象可知要使y≤0，
x的取值范围为-2≤x≤4
2.解：由6-x-x2=0得x=-3,x=2
由y=6-x-x2图象可得
x＜-3或x＞2
总结：一元二次不等式的解来自于相应方程的根，方程的根是图象与x轴的交点.
一题多解
小试牛刀
例2.解关于x的不等式：x2-2mx+m2-1＜0
解：由x2-2mx+m2-1=0可得x=m-1,x=m+1
∵m-1＜m+1
∴不等式的解为：m-1＜x＜m+1
结论：1.对于不等式ax2+bx+c≥0的解的情况：
当a＞0时函数开口向上，两根之外；
a＜0时函数开口向下，两根之内；
2.对于不等式ax2+bx+c≤0的解的情况：
当a＞0时函数开口向上，两根之内；
a＜0时函数开口向下，两根之外；
能力提升
例3.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解为{x|2
解：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由韦达定理可得
且c＜0，∴
∴cx2＋bx＋a=0可化为
故方程cx2＋bx＋a=0的二根为
∴cx2＋bx＋a<0的解为
类型二：含有参数的一元二次不等式解法
解：当a=0时，不等式化为-x+1<0,解得x＞1
当a≠0时，方程ax2－(a＋1)x＋1=0可化为
其二根为1和
（下面考虑a的符号及二根大小）
当a＜0时，
＜1，∴不等式解为x＜
或x＞1
当a＞0时，若a＞1时有
＜1，∴不等式解为
＜x＜1
若a=1时
=1，∴此时不等式无解
若0＜a＜1时，
＞1，∴不等式解为1＜x＜
综上所述：写出不等式解的情况.
例4.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
小结：求解含有参数的一元二次不等式方法及策略:
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，讨论需从如下三个方面进行考虑
1.二次项系数含参数时应讨论：
二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
2.关于不等式对应的方程根的讨论：
两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
3.关于不等式对应的方程根的大小的讨论：
x1＞x2.
课堂小结
通过本节课学习，掌握一元二次不等式的解法，理解并能利用二次函数思想帮助解不等式.
1
1
3
能够利用数形结合思想解决数学问题.
掌握含有参数的一元二次型不等式的解法，学会分类讨论的数学解题思想.
2
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修一
2.3.1-一元二次不等式及其解法
1.已知集合A={x|x?－2x－3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=( )
A.
[﹣2，﹣1]
B.[﹣1，2）
C.[﹣1，1]
D.[1，2）
2．不等式x2＋x－2<0的解集为( )
A.
或
B.
或
C．
D．
3.设f（x）=x?＋bx+1且f（﹣1）=f（3），则f（x）＞0的解集为( )
A．{x|x∈R}
B．{x|x≠1，x∈R}
C．{x|x≥1}
D．{x|x≤1}
4．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．
B．
C.
或
D.
或
5.已知﹣＜＜2，则x的取值范围是( )
A．﹣2＜x＜0或0＜x＜
B．﹣＜x＜2
C．x＜﹣或x＞2
D．x＜﹣2或x＞
6.设集合M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|0A．M∩N＝?
B．M∩N＝M
C．M∪N＝M
D．M∪N＝R
7.若集合A={x|﹣1≤2x+1≤3}，B={x|≤0}，则A∩B=( )
A.{x|﹣1≤x＜0}
B.{x|0＜x≤1}
C.{x|0≤x≤2}
D.{x|0≤x≤1}
8.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A．
B．
C．
D．
9.关于x的不等式x2＋bx＋c>0的解集是{x|x<2或x>3}，则b＋c＝( )
A.
0
B．
1
C.
2
D.
3
10.如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的集合为( )
A．{a|0B．{a|0≤a<4}
C．{a|0D．{a|0≤a≤4}
答案解析
1.A
解：∵A={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x＜2}，
∴A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}=[﹣2，﹣1]．
故选：A.
2．D
解：x2＋x－2<0即(x＋2)(x－1)<0，解得－2故选：D.
3.B
解：f（﹣1）=1－b+1=2－b，f（3）=9＋3b＋1=10+3b，
由f（﹣1）=f（3），得2－b=10＋3b，
解得b=-2，代入原函数，f（x）＞0即x?－2x＋1＞0，x的取值范围是x≠1.
故选：B.
4．C
解：∵方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝m2－4>0.
∴m2>4，即m>2或m<－2.
故选：C.
5.D
解：当x＞0时，x＞；当x＜0时，x＜﹣2．
∴x的取值范围是x＜﹣2或x＞.
故选：D.
6.B
解：∵M＝{x|0∴MN，即M∩N＝M.
故选：B.
7.B
解：易得A={x|﹣1≤x≤1}，B集合就是不等式组的解集，求出B={x|0＜x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤1}．
故选：B.
8.D
解：不等式可化为(3x＋1)2≤0，因此不可能小于0，只有x＝－时等于0，即解集为.
故选：D.
9.B
解：由题意，得解得b＝－5，c＝6，∴b＋c＝1.
故选：B.
10.D
解：当a＝0时，有1<0，故A＝?.
当a≠0时，若A＝?，
则有?0综上，实数a的集合为{a|0≤a≤4}．
故选：D.