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人教版高中数学必修1
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.4-小结复习
授课：东风老师
[慕联教育同步课程进阶篇]
课程编号：TS2006010302RB1020401ZFD（J）
学习目标
能利用函数思想求解有关恒成立问题，熟练掌握数形结合及分类讨论思想.
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熟练不等式性质并能利用性质进行不等式关系运算,掌握基本不等式在解题中的应用.
1
1
掌握一元二次不等式及含参数的一元二次不等式解法.
2
2
类型一：不等式性质应用
例1．若1≤a≤5，－1≤b≤2，试求a－2b的取值范围？
解：由－1≤b≤2得－2≤-b≤1
∴－4≤-2b≤2，又1≤a≤5
两个不等式相加得：-3≤a－2b≤7
结论：两个不等式只能进行加法运算，如果需要减法运算，应先把一个不等式两边乘上“-”号，注意变号，再相加.
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
例2.设x<－1，求
的最大值．
类型二:基本不等式的应用
解：
∵x＜-1，∴x+1＜0
∴
当且仅当（x+1)2=4即x=-3时取等号，
∴y的最大值为1.
构建基本
不等式结构
类型三:一元二次不等式的解法
例3.解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0.
解：由x2＋(1－a)x－a=0.可得x=-1,x=a
所对应的的函数开口向上，只需比较两根大小
(1)当a＜－1时，不等式解集为{x|a＜x＜－1}；
(2)当a＝－1时，原不等式解集为?；
(3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
类型四：恒成立问题
例4.对任意－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
解：把y＝x2＋(m－4)x＋4－2m转换为以m为变量的函数，记g(m）＝(x－2)m＋x2－4x＋4为一次函数．
由题意知在－1≤m≤1上，g(m）的值恒大于零，
所以
解得x＜1或x＞3.而当x=2时，代入得0＞0,不成立.
所以，满足题意的x的范围为x＜1或x＞3.
分析：本题所给条件是关于x的二次函数，在m的条件下求x的取值范围，我们可考虑把m作变量，x看做字母参数，这样就可以利用关于m的函数解题.
例5．若不等式ax2－2x＋2>0对于满足1一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解：由ax2－2x＋2>0得ax2>2x-2,又∵1∴
当
所以，a＞
即为所求.
本章知识体系
课堂小结
通过本节课学习，熟练掌握不等式运算性质，掌握基本不等式在解题中的应用.
1
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3
灵活利用函数思想解决恒成立问题.
掌握一元二次不等式及含有参数的一元二次型不等式的解法，学会分类讨论的数学解题思想.
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慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修一第二章复习
1.不等式x2+2x-8＞0的解为（
）
A.-2＜x＜4
B.x＜-4或x＞2
C.-4＜x＜2
D.x＜-2或x＞4
2.不等式的解为（
）
A.x≥1
B.x≤1
C.0＜x≤1
D.x＜0或x≥1
3．已知-1≤x≤2，2≤y≤3，则2x－y的取值范围为（
）
A．-5≤2x-y≤2
B．-4≤2x-y≤1
C．-5≤2x-y≤0
D．-4≤2x-y≤2
4.关于x的不等式x2-2mx+m2+1＞0的解为( )
A．
m-1B．x＜m-1或x>m+1
C．R
D．与m的取值有关
5.当a＜0时关于x的不等式：x2-(1+a)x+a＜0的解为（
）
( )
A．x＜a或x＞1
B．a＜x＜1
C.R
D．无解
6．如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则以下列选项中不一定成立的是( )
A．ab＞ac
B．c(b－a)＞0
C．cb2＜ab2
D．ac(a－c)＜0
7．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( )
A．ab>ac
B．ac>bc
C．a|b|>c|b|
D．a2>b2>c2
8．若x，y为实数，且x＋2y＝4，则xy的最大值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
9．关于x的不等式x2-mx+1＞0的解为R,则实数m的取值范围为( )
A.
-2≤m或m≥2
B．-2≤m≤2
C.
-2＜m或m＞2
D．-2＜m＜2
10.若关于x的不等式（a-1）x2+（a-1）x-1≥0的解为空集，则实数a的取值范围为(
)
A．-3≤a≤1
B．a＜-3或a≥1
C．-3＜a≤1
D．a-3或a≥1
答案解析
1.B
解析：由x2+2x-8=0的方程二根为x=-4,x=2,
所以不等式x2+2x-8＞0的解为x＜-4或x＞2
故选：B.
2.D
解析：由
得
即（x-1）x≥0且x≠0，解得x＜0或x≥1.
或者分类讨论：当x＜0时显然成立，当x＞0时得x≥1.
故选：D.
3.A
解析：由2≤y≤3可得-3≤-y≤-2，由-1≤x≤2得-2≤2x≤4
两个不等式相加得-5≤2x-y≤2.
故选：A.
4.C
解析：x2-2mx+m2+1=0可得△=4m2-4(m2+1)=-4＜0，所以方程无解
又y=x2-2mx+m2+1抛物线开口向上，因此x2-2mx+m2+1＞0的解为全体实数.
故选：C.
5.B
解析：由x2-(1+a)x+a=0的解为x=1或x=a，对应抛物线开口向上，又a＜1，所以x2-(1+a)x+a＜0解为a＜x＜1.
故选：B.
6.C
解析：对于C：由c＜a，b2≥0，可得cb2≤ab2cb2＜ab2，也就是当b=0时不成立，即C不一定成立．
故选：C.
7.A
解析：由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，
又∵a>0，b>c，∴ab>ac.
故选：A.
8.B
解析：xy＝·x·(2y)≤·2＝2，当且仅当x＝2y，且x＋2y＝4，即x＝2，y＝1时取“＝”号．
故选：B.
9.D
解析：由x2-mx+1＞0的解为R，说明方程x2-mx+1=0无解，
对应抛物线全部在x轴上方，由△=m2-4＜0得-2＜m＜2.
故选：D.
10.C
解析：（1）当a-1=0即a=1时有-1＞0显然不成立，所以a=1符合题意；
（2）当a≠1时，因为（a-1）x2+（a-1）x-1≥0无解，所以对应的函数开口向下，且与x轴无交点，所以有
综上所述，实数a的范围为-3＜a≤1.
故选：C.
