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人教版高中数学必修1
第三章：函数的概念与表示
3.1.2函数的表示
授课：东风老师
[慕联教育同步课程进阶篇]
课程编号：TS2007010302RB1030102ZFD（J）
学习目标
通过函数表示的图象法培养直观想象素养．
函数解析式的求法培养运算素养.
3
掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(重点)
1
1
会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(重点、难点)
2
2
知识梳理
函数解析式的表示方法:
1.解析式法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,
2.图象法：用函数图象表示两个变量之间的对应关系,
3.列表法：用列出表格表示两个变量之间的对应关系,
类型一：函数的三种表示法
例1．某商场新进了10台饮水机，每台售价280元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
表示法一：列表法
X(台)
1
2
3
4
5
Y(元）
280
560
840
1120
1400
X(台)
6
7
8
9
10
Y(元）
1680
1960
2240
2520
2800
类型一：函数的三种表示法
表示法二：图象法
表示法三：解析式
y＝280x，x∈{1,2,3，…，10}．
类型二：待定系数法求解析式
例2.抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且经过点（1，-4），求此抛物线的解析式；
解法1：设抛物线y=ax2+bx+c,由已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点（1，-4）
∴
解得：a=1,b=-2,c=-3
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．
解法2：因为与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，故可设y=a（x+1)(x-3），又过点（1，-4）
代入得，-4=-4a,
∴a=1
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3.
0=a-b+c
0=9a+3b+c
-4=a+b+c
举一反三
变式.已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)的解析式.
解：设f(x)=ax+b,则有
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，
∴
解得：a=2,b=
或a=-2,b=-8
所以f(x)＝2x＋
或f(x)＝－2x－8.
a2=4
ab+b=8
例3：已知f(3x＋1)＝x－2，求f(x)的解析式.
类型三：换元法或配凑法求解析式
解法1：设3x+1=t,则x=
,则有
f(t)=
-2
=
∴f(x)=
（换元法）
解法2：由f(3x+1)=x-2=
∴f(x)=
(配凑法）
类型四：联立方程组法
例4：已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)＝1＋2x，求f(x)的解析式.
解：由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立可得
解得：f(x)＝
x－1.（联立方程组法）
f(x)-2f(-x)=1+2x
f(-x)-2f(x)=1-2x
变式.2f（
）＋f(x)＝x(x≠0)”，求f(x)的解析式
举一反三
解：用
替代上式的x,得2f(x）＋f(
)=
联立两个方程
解得：f(x)=
方法小结：对所给关系式中变量互为相反数或倒数时都可以采用这种代换得到一个等式，采取联立方程组思想求解析式.
2f(
)+f(x)=x
2f(x)+f(
)=x
课堂小结
本节学习了函数的三种常见表示形式，理解函数不同表示形式的意义.
1
1
3
理解和掌握等量代换及恒等变形的解题方法.
掌握求函数解析式的方法，理解各种方法的特征并能灵活运用各方法求函数的解析式.
2
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修一3.1.2函数的表示
1.下列各图中，不能是函数f(x)图象的是( )
2.若，则等于( )
3.已知f(x)是一次函数，2f(2)-3f(1)=5，2f(0)-f(-1)=1，则f(x)=( )
3x+2
3x-2
2x+3
2x-3
4.下列表格中的x与y能构成函数的是( )
x
非负数
非正数
y
1
-1
A.
x
奇数
0
偶数
y
1
0
-1
B.
x
有理数
无理数
y
1
-1
C.
x
自然数
整数
有理数
y
1
0
-1
D.
5.设函数f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x)，则g(x)的表达式是( )
A.
2x+1
B.
2x-1
C.
2x-3
D.
2x+7
6.若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是( )
A.
a＝－1或a＝3
B.
a不存在
C.
a＝3
D.
a＝－1
7.已知函数f(x)是二次函数，且f(0)=-1，f(x+1)=f(x)-2x+2，则f(x)的表达式为( )
f(x)=-x2+3x-1
f(x)=-x2-
x-1
f(x)=x2-
x+2
f(x)=2x2-
x+2
8.若，则方程的根是( ).
A.
B.
-
C.
1
D.
-1
函数，则( )
1
2
3
4
10.已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)，且f(2)=p，f(3)=q，那么f(12)等于( )
A.
p+q
B.
2p+q
C.
p+2q
D.
p2+q
答案解析
1.C
解析: 结合函数的定义知，对A、B、C，定义域中每一个x都有唯一函数值与之对应；而对于C，对大于0的x而言，有两个不同值与之对应，不符合函数定义.
故选：C.
2.C
解析: ，∴，
∴
故选：C.
3.B
解析: 设，∵，
∴，∴，∴.
故选：B.
4.C
解析: A中，当x=0时，y=±1；B中0是偶数，当x=0时，y=0或y=-1；D中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x=1∈N(Z,Q)，故y的值不唯一，故A、B、D均不正确.
故选：C.
5.B
解析: ∵g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1，∴g(x)=2x-1.
故选：B.
6.D
解析： 因为二次函数的值域不是R，因此可知f(x)不是二次函数，应为一次函数∴a2－2a－3＝0且a－3≠0，∴a＝－1.
故选：D.
7.A
解析：
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由f(0)=-1得c=-1，∴f(x)=ax2+bx-1
∴f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)-1=ax2+(2a+b)x+a+b-1
∴f(x+1)-f(x)=2ax+a+b
∵f(x+1)-f(x)=-2x+2
∴2ax+a+b=-2x+2，∴a=-1，b=3，∴f(x)=-x2+3x-1.
故选：A.
8.C
解析： ∵，∴，
又∵，∴，解得，.
故选：C.
9.B
解析： f(-2)=(-2)×(-2+1)=2.
故选：B.
10.B
解析： f(12)=f(2×6)=f(2)+f(6)=f(2)+f(2×3)=f(2)+f(2)+f(3)=2p+q.
故选：B.
