(共11张PPT)
人教版高中数学必修1
第三章：函数的概念与表示
3.1.3分段函数
授课：东风老师
[慕联教育同步课程进阶篇]
课程编号：TS2007010302RB1030103ZFD（J）
学习目标
了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力．(重点)
3
了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点)
1
1
能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点)
2
2
知识梳理
1．分段函数求函数值的方法：
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤：
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
类型一：分段函数求值问题
解：
（1）∵2＞0.∴f(2)=2×2-1=3
（2）∵f(3)=2×3-1=5，
∴f(f(3))=f(5)=2×5-1=9
（3）f(-5)=f(-5+2)=f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=1
例1．已知函数
分别求下式的值：（1）f(2);(2)f(f(3));(3)f(-5)
f(x)=
2x-1，(x＞0)
f(x+2)，(x≤0)
举一反三
解：
当m≤-2时，f(m)=2m+1=3,解得m=1不符合条件
当-2＜m≤2时，f(m)=m2+2m=3,解得m=-3或m=1，
m=-3不符合前提条件舍去，∴m=1
当m＞2时，f(m)=m-1=3，解得m=4，符合条件
综上所述，实数m的值为m=1或m=4.
变式：已知函数f(x)=
若f(m)=3，求实数m的值.
2x+1，（x≤-2）
x2+2x，（-2＜x≤2）
x-1，（x＞2）
类型二：分段函数求解析式
例2.如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为
cm，当垂直于底边BC
(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式.
(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝
解：过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
由已知底角为45°,AB＝
cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，
又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm.
(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y=2x-2
(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，
所以，函数的解析式为
y=
x-2
7-x
例3.已知函数f(x)=
(1)用分段函数的形式表示f(x)；
(2)画出f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
类型三：分段函数的图象及应用
分析：对于含有多个绝对值函数去绝对值进行分类讨论时，先从绝对值等于零入手.由2x-2=0和x+3=0得x=1和x=-3,然后在数轴上划分区域，标出符号.
x+3＞0
2x-2＞0
x+3＞0
2x-2＜0
x+3＜0
2x-2＜0
解：当-4≤x＜-3时，f(x)=-x+5
当-3≤x＜1时，f(x)=-3x-1
当1≤x＜3时，f(x)=x-5
所以，函数的解析式为
f(x)=
-x+5，x∈[-4,-3)
-3x-1,x∈[-3,1)
x-5,x∈[1,3)
（3）由图象可知，函数在
的值域为
（2）f(x)=
的图象
-x+5,x∈[-4,-3)
-3x-1,x∈[-3,1)
x-5,x∈[1,3)
小试牛刀
解:（1）图象如左图
（2）由图象可得值域为
变式：已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的值域．
x2-1,x∈[-2,
]
1,x∈(-∞，-2)U(
,+∞)
课堂小结
本节学习了分段函数表示形式，理解分段解析
式与变量范围之间的对应关系.
1
1
3
学会利用数形结合思想求解分段函数的值域.
掌握求分段函数解析式的方法及分类讨论思想.
2
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修一3.1.3.分段函数
1.设函数，则的值是( )
24
21
18
16
若的图象为( )
3.函数的值域是( )
R
[-9，+∞]
[-8,1]
[-9,1]
4.已知，若，则x的值是( )
A.
1
B.
1或
C.
1,或±
D.
5.已知函数当时，，的值分别为是( )
A.
0,1
B.
0,0
C.
1,1
D.
1,0
6.已知函数，则( )
A.
9
B.
C.
3
D.
7.已知函数，若，则=( )
2
4
1
8.若，则的值是( ).
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
设函数，若，则，则关于x的方程解得个数为( )
1
2
3
4
10.设函数，则不等式的解集是( )
A.
(-3,1)∪(3,+∞)
B.
(-3,1)∪(2,+∞)
C.
(-1,1)∪(3,+∞)
D.
(-∞,-3)∪(1,3)
答案解析
1.A
解析:
f(5)=f(f(10))，f(10)=f(f(15))=f(18)=21，f(5)=f(21)=24.
故选：A.
2.C
解析: ，再作函数图象.
故选：C.
3.C
解析: 画出图象，也可以分段求出部分值域，再合并，即求并集.
故选：C.
4.D
解析: 该分段函数的三段各自的值域为(-∞，1]，[0,4)，[4，+∞]，∴f(x)=x2=3，x=±，而-1故选：D.
5.D
解析: ∵g(x)∈Q，f(x)∈Q，f(g(x))=1，g(f(x))=0.
故选：D.
6.C
解析： 0代入第二个式子，解得f(0)+f(-1)=3.
故选：C.
7.C
解析：
令x2-4=8，解得x=±2不符合因此舍掉，令2x=8，解得x=4满足，故正确答案为C.
故选：C.
8.C
解析： ，故有.
故选：C.
9.C
解析：
由f(-4)=f(0)，f(-2)=-2得b=4，c=2；∴，当x≤0时，解得x=-2或x=-1；当x>0时，x=2
故选：C.
10.A
解析： 由已知，函数先增后减，当x≥0，f(x)≥2，f(1)=3令f(x)=3，解得x=1，x=3.
当x<0，x+6=3，x=-3
故f(x)>f(1)=3，解得-33.
故选：A.
