(共10张PPT)
人教版高中数学必修1
第三章：函数的概念与表示
3.2.1函数的单调性
授课：东风老师
[慕联教育同步课程进阶篇]
课程编号：TS2007010302RB1030201ZFD（J）
学习目标
会求一些具体函数的单调区间．(重点)
3
理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)
1
1
会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点)
2
2
知识梳理
2.函数单调区间的判断、证明过程
（1）取值.在所给的区间上任取两个变量并规定大小；
（2）求值.把两个变量代到函数解析式表示出函数值；
（3）比较大小.常利用作差比较大小，一般对差式采
取配方、因式分解，直到与“0”容易比较；
（4）结论.
1.函数单调性定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I：
如果?
∈D，当x1＜x2时有
f(x1)＜f(x2)则函数在这个区间上单调递增
f(x1)＞f(x2)则函数在这个区间上单调递减
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
例1．已知函数f(x)=
，判断f(x)在
单调性并说明理由.
类型一：函数单调性的判断与证明
解：f(x）=
设-1＜x1＜x2，则f(x1）=3-
，f(x2）=3-
∴f(x1）-f(x2）=
由-1＜x1＜x2可得f(x1）-f(x2）＜0，
所以f(x1）＜f(x2），因此f(x)在
单调递增
x1-x2＜0
x1+1＞0
x2+1＞0
类型二：求函数单调区间
(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．
例2.写出下列函数的单调区间
（1）y=1-x2
（2）y＝|x2－2x－3|的单调区间．
解：（1）由y=1-x2的开口向下，对称轴为x=0,依据函数图象可知，函数在
上单调递增，
在
上单调递减.
（2）函数图象如图
增区间为
减区间为
注意单调区间的表示形式
9
6
3
-5
0
5
x
y
f(x)=|x2－2x－3|
和
小试牛刀
变式：指出下列函数的单调区间
（1）y=2x-3
（2）y=1-x
解：
很显然，两个函数都是一次函数
（1）y=2x-3
在R上单调递增；
（2）y=1-x
在R上单调递减.
总结：
1.一次函数y=kx+b，其单调性与k的正负有关
当k＜0时在R上单调递减；当k＞0时在R上单调递增
2.二次函数的单调性与对称轴及开口方向有关
当开口向上时，在对称轴左侧递减，右侧递增；
当开口向下时，在对称轴左侧递增，右侧递减.
(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．
类型三：函数单调性的应用
例3.若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋1在区间(-1，3]上是单调函数，求实数a的取值范围．
解：
由f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋1可知函数开口向下，
对称轴为x=-(a+1),又二次函数单调性从对称轴分界
因此，使函数在区间(-1，3]上单调，则有
-(a+1)≥3（函数递增）
或-(a+1)≤-1（函数单调递减）
解得：a≤-4或a≥0
变式：已知函数y＝f(x)定义域为[－3，5]上的增函数，且f(2x－1)>f(x+1)，求实数x的取值范围．
举一反三
解：由函数定义域为[－3，5]，要使f(2x－1)和f(x+1)有意义，应满足
-3≤2x－1≤5，-3≤x+1≤5
又函数单调递增，由f(2x－1)>f(x+1)
得2x-1>x+1，综上可得，满足题意的x为
解得：2＜x≤3
课堂小结
本节学习了函数单调性的定义及证明和判断函数单调性的方法，在理解单调性的同时能够利用单调性解题.
1
1
3
学会运用数形结合思想求函数的单调区间.
掌握一次函数及二次函数的单调性，能求简单函数的单调区间.
2
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修一3.2.1函数的单调性
1.函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是( ).
A.
[－1.5,3]
B.
[5,6]
C.
[－1.5,3]和[5,6]
D.
[－1.5,3]∪[5,6]
2.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )
A.
y=-3x+2
B.
y=
C.
y=x2-4x+5
D.
y=3x2+8x-10
3.设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A.f(x1)B.f(x1)>f(x2)
C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
4.设f(x)=x2+2x+3的增区间为( )
(-∞，-3]
[-3，1]
(-∞，-1]
[-1，+∞)
5.如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A.
[-3，+∞)
B.
(-∞，-3]
C.
(-∞，5]
D.
[3，+∞)
6.函数( ).
A.
在(-1，＋∞)内单调递增
B.
在(-1，＋∞)内单调递减
C.
在(1，＋∞)内单调递增
D.
在(1，＋∞)内单调递减
7.如果函数f(x)=kx+b在R上单调递减，则( ).
A.
k>0
B.
k<0
C.
b>0
D.
b<0
8.函数y=的增区间是( )
A.
[-3,-1]
B.
[-1,1]
C.
(-∞,-3]
D.
[-1,+∞)
9.函数f(x)=2x-x2的最大值是( )
A.
-1
B.
0
C.
1
D.
2
10.函数f(x)＝x2－2mx－3在区间[1,2]上单调，则m的取值范围是( ).
m≤1
m≥2
[-∞,1）∪(1,2]
m≤1或m≥2.
答案解析
1.C
解析： 由图象可得递增区间是[－1.5,3]和[5,6].单调区间不可并。
故选：C.
2.D
解析：
函数
y=-3x+2在(0,2)上为减函数；函数y=在(0,2)上为减函数；y=x2-4x+5在(0,2)上为减函数；y=3x2+8x-10在(0,2)上为增函数函数。
故选：D.
3.D
解析： 根据单调函数的定义，所取两个自变量必须是同一单调区间内的任意两个自变量，才能由该区间上函数的单调性来比较出函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定，
故选：D.
4.D
解析： 函数f(x)=x2+2x+3的对称轴是x=-1，开口向上，根据二次函数的性质可得单调增区间是[-1，+∞).
故选：D.
5.B
解析： ∵f(x)的对称轴为x=1-a，抛物线开口向上，
且f(x)在(-∞，4]上单调递减，∴1-a≥4，∴a≤-3.
故选：B.
6.C
解析： 是向右平移1个单位而得到，故在(1，+∞)上为减函数，在(-∞，1]上为增函数.
故选：C.
7.B
解析：
∵函数f(x)=kx+b在R上单调递减，∴其图象为下降趋势的直线，故其斜率k<0.
故选：B.
8.A
解析： 函数y=的定义域为[-3,1]，设内层函数为t=-x2-2x+3，外层函数为y=，在x[-3,-1]上，内层函数是单调增函数，在x[-1，1]上内层函数是单调减函数；外层函数y=是增函数，根据复合函数同增异减的结论，函数y=在[-3,-1]上是单调增函数，在[-1，1]是单调减函数；综上所述，结论：函数的增区间是[-3,-1]，减区间是[-1，1]。
故选：A.
9.C
解析： 函数f(x)=2x-x2=-(x-1)2+1，当x=1时，f(x)取得最大值1.
故选：C.
10.D
解析： 二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f(x)＝x2－2mx－3的对称轴为x＝m，函数在区间[1,2]上单调，则m≤1或m≥2.
故选：D.
