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人教版高中数学必修1
第三章：函数的概念与表示
3.2.2函数的最大（小）值
授课：东风老师
[慕联教育同步课程进阶篇]
课程编号：TS2007010302RB1030202ZFD（J）
学习目标
使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提高学生逻辑推理、数学运算的能力．(重点、难点)
3
理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(重点)
1
1
能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值，并能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(重点、难点)
2
2
知识梳理
2.单调函数的最大（小）值
若函数f(x)在区间[a,b]上单调，则f(a)与f(b)是它的最大和最小值，大小值由单调性确定.
1.函数的最大（小）值
函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
对任意的x∈D，且存在
,使f(x0)=M,则有
若f(x)≤M，则称M为f(x)在区间D上的最大值，
记作f(x)max=M
若f(x)≥M，则称M为f(x)在区间D上的最小值，
记作f(x)min=M
类型一：利用函数单调性求值域
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
例1．已知函数f（x）=
求函数f(x)的值域.
解法1：利用函数单调性求值域
对于函数y=3-x2在[-1，0]递增，在[0，2]上递减，
又f(-1)=2,f(0)=3,f(2)=-1,
∴y=3-x2在[-1，2]的取值范围为[-1，3]
函数y=x-3在（2，5]上递增，f(2)=-1，f(5)=2
∴y=x-3在（2，5]的取值范围为（-1，2]
综上所得：函数f(x)的值域为[-1，3]
解法2：利用函数图象求值域
函数图象如图
依据函数图象可得
函数值域为[-1，3]
利用图象求函数值域过程
画出图象；找到图象最高和最低点；写出值域.
类型二：利用函数单调性求最值
(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．
例2.已知函数f(x)=
（1）判断函数在
的单调性并证明你的结论
（2）求函数在[-3，0]上的最大及最小值.
解：（1）设x1＜x2＜1，则有
∵x1＜x2＜1，∴f(x1)-f(x2)＞0，∴f(x1)＞f(x2)
所以函数在
的单调递减.
(2)由（1）问可知f(x)在[-3，0]单调递减
∴f(x)max=f(-3)=
,f(x)min=f(0)=-1
小试牛刀
变式：求函数f(x)=x+
在[
,3]上的最值.
解：设
≤x1＜x2≤3,则有
对任意的
≤x1＜x2≤
都有2x1x2-1＞0，
所以f(x1)＞f(x2)，因此，f(x)在
单调递减
同理可得，f(x)在
上单调递增
而f(
)=
,f(3)=
，f(
)=
∴f(x)的最大值为
，最小值为
.
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
类型三：二次函数最值问题
例3.已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在[-1,3]上的最大值．
分析：f(x)为开口向上的抛物线，对称轴为x=a，
根据二次函数的单调性可知f(x)在
上单调递减，在
上单调递增，因此，本题需考虑a与区间[-1,3]的关系，具体思路如下
函数f(x)=
x2－2ax＋1
讨论x=a
与[-1,3]关系
f(x)的
最大值
分类
讨论
数形
结合
解：f(x)为开口向上的抛物线，对称轴为x=a，
当a＜-1时，f(x）在[-1,3]递增，f(x)max=f(3)=10-6a
当a＞3时，f(x）在[-1,3]递减，f(x)max=f(-1)=2+2a
当-1≤a≤3，还需考虑a与-1，3的距离大小
若-1≤a≤1时，f(x)max=f(3)=10-6a
若1＜a≤3时，f(x)max=f(-1)=2+2a
综合上述可得：
当a≤1时，f(x)max=f(3)=10-6a
当1＜a时，f(x)max=f(-1)=2+2a
课堂小结
理解函数最值的概念及意义，并能利用函数单调性求函数的值域及最值.
1
1
3
学会运用数形结合思想求函数的值域.
掌握利用单调性求二次函数及可判断单调性函数的值域的方法.
2
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修一3.2.2函数的最大（小）值
1.函数f(x)在[-2，+∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为( )
A.
3，0
B.
3，1
C.
3，无最小值
D.
3，-2
2.已知函数，则函数的最大值是( )
A.
0.4
B.
1
C.
2
D.
2.5
3.函数，则的最大、最小值分别为( )
A.
10，6
10，8
8，6
以上都不对
4.设函数f(x)的定义域为R，以下三种说法：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是f(x)的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f(x)A.0
B.1
C.2
D.3
5.函数f(x)＝1＋x2
，(x∈R)的值域是( )
A.
(0，1)
B.
[1，+∞)
C.
(0，1]
D.
[0，1]
6.已知函数f(x)＝x2＋2x＋a(x∈[0,2])有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A.
6
B.
4
C.
1
D.
2
7.已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A.[1，＋∞)
B.[0,2]
C.(－∞，2]
D.[1,2]
8.下列说法正确的是( )
A.
函数的极大值就是函数的最大值
B.
函数的极小值就是函数的最小值
C.
函数的最值一定是极值
D.
在闭区间上的连续函数一定存在极值
9.设函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，且在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2,6]上递增，且f(－4)A.
f(－2)
B.
f(－4)
C.
f(6)
D.
不存在
10.设y=|x|3，那么y在区间[-3，-1]上的最小值是( )
A.
27
B.
-3
C.
-1
D.
1
答案解析
1.C.
解析： 观察图象可知，图象的最高点坐标是(0，3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值.
故选：C.
2.D
解析： ∵函数在[2，6]上是单调减函数，∴.
故选：D.
3.A
解析： 当1≤x≤2时，8≤2x+6≤10，当-1≤x<1时，6≤x+7<8.
∴f(x)min=f(-1)=6，f(x)max=f(2)=10.
故选：A.
4.C
解析： 由函数最大值的概念知②③正确.
故选：C.
5.B
解析： ∵x∈R,1＋x2≥1.
故选：B.
6.A
解析： (1)f(x)＝x2＋2x＋a(x∈[0,2])为增函数，所以最小值为f(0)＝a＝－2，最大值为f(2)＝8＋a＝6.
故选：A.
7.D
解析： 由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，
当x＝1时，y的最小值为2，
当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.
由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值3，最小值为2.
故选：D
8.D
解析： 函数的极大值或极小值是局部性质，而函数的最大值是函数的整体性质，故A、B、C不正确.
故选：D.
9.C
解析： 函数y＝f(x)在[－4,6]上的图象的变化趋势如下图所示，观察可知f(x)min＝f(－2).
又由题意可知f(－4)故选：C.
10.D
解析： ∵-3≤x≤-1，∴y=|x|3=-x3
又∵y=-x3在区间[-3，-1]上单调递减，∴当x=-1时，y=-x3取最小值1，综上所述，D正确.
故选:
D.
