第二十四章 24.3正多边形和圆 同步练习

中小学教育资源及组卷应用平台
初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.3正多边形和圆
一、单选题
1.若一个正多边形的内角和为1800°，则这个正多边形的一个外角为（??? ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
2.下列说法中正确的是（?? ）
A.?平分弦_??????????????????_所对的弧
B.?圆内接正六边形，一条边所对的圆周角是30°
C.?相等的圆周角所对的弧也相等
D.?若两条平行直线被一个圆截得的线段长度相等，则圆心到这两条直线的距离相等
3.下列命题①若a＞b，则ac＞bc；②若a=1，则 =a；③ 的平方根是 ④各边都相等的多边形是正多边形，其中真命题的个数是（?? ） 21cnjy.com
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
4.将每一个内角都是108°的五边形按如图所示方式放置，若直线m∥n ， 则下列结论中一定正确的是（? ???）
A.?∠1=∠2+36°???????????????????B.?∠1=∠2+72°???????????????????C.?∠1+∠2=90°???????????????????D.?2∠1+∠2=180°
5.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是 上的任意一点，则∠APB的大小是（?? ）

A.?15°???????????????????????????????????????B.?30°???????????????????????????????????????C.?45°???????????????????????????????????????D.?60°
6.如图， 与正六边形 的边 分别交于点 ，点M为劣弧 的中点.若 .则点O到 的距离是（? ） 21世纪教育网版权所有
A.?4??????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
二、填空题
7.如图，?B_CDE???é?????_B、C、D在半圆O上，顶点E在直径AB上，连接AD，若∠CDE＝68°，则∠ADE的度数为________°． 21·cn·jy·com
8.如图，以 为边，在 的同侧分别作正五边形 和等边 ，连接 ，则 的度数是________. www.21-cn-jy.com
9.若一个正多边形的每一个外角都是40°，则这个正多边形的内角和等于________．
10.如图，在边长为 的正六边形 中，点P在BC上，则 的面积为________.
11.如图，正六边形 内部有一个正五形 ，且 ，直线 经过 、 ，则直线 与 的夹角 ________ . 21·世纪*教育网
12.一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则 ________度． 【来源：21cnj*y.co*m】
三、解答题
13.如图， 是 的内接正五边形．求证： .
14.如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心， 为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法） 【版权所有：21教育】
（1）在圆①中画圆O的一个内接正六边形 ；
（2）在图②中画圆O的一个内接正八边形 .
四、综合题
15.如图， 的外角 的平分线与它的外接圆相交于点E，连接 ， ，过点E作 ，交 于点D
求证：
（1）；
（2）为⊙O的切线．
16.如果一_????¤?è???????????_边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形，如下图，就是一组正多边形， 【出处：21教育名师】
（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：
正多边形边数 3 4 5 6 …… n
∠α的度数



……
（2）根据规律，计算正八边形中的∠α的度数.
（3）是否存在正n边形使得∠α=21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1. A
解：设这个正多边形的边数为n，
则(n?2)×180°＝1800°，
∴n＝12，
则这个正多边形的一个外角的度数为：360°÷12＝30°，
故答案为：A．
分析:根据正多边形的内角和公式求出正多边形的边数，然后由外角和性质得出答案．
2. D
_è§????A???_平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧，故A不符合题意；
B、圆内接正六边形，一条边所对的圆周角是60°，故B不符合题意；
C、在同圆和等圆中相等的圆周角所对的弧也相等，故C不符合题意；
D、若两条平行直线被一个圆截得的线段长度相等，则圆心到这两条直线的距离相等，故D符合题意；
故答案为：D.
分析:利用垂径定理的推论，可对A作出判断；利用圆内接正多边形的中心角的计算方法，可对B作出判断；利用圆周角定理可对C作出判断；利用垂径定理可对D作出判断。21教育网
3. B
解：若a＞b ， 由于c的正负未知，所以不能得出ac＞bc ， 故①是假命题；
若a=1，则 =1=a ， 故②是真命题；
的平方根是 ，不是 ，故③是假命题；
各角都相等、各边都相等的多边形是正多边形，故④是假命题；
综上，真命题只有1个．
故答案为：B．
分析:根据不等式的性质即可判断①；根据算术平方根的定义即可判断②；根据平方根的定义即可判断③；根据正多边形的定义可判断④，进而可得答案．2·1·c·n·j·y
4. A
∵∠1+180°-∠3+108°+108°=360°，∠4+∠5=108°，∴∠3=∠1+36°，

过点A作AB∥n，∵m∥n，∴AB∥m∥n，
∴∠2=∠5，∠3+∠4=180°，
∴∠3-∠2=72°，
∴∠1=∠2+36°.
故答案为：A.
分析:利用四边形内角和及正五边形的性质，可得∠4+∠5=108°，∠3=∠1+36°，过点A作AB∥n，∵m∥n，∴AB∥m∥n，可得∠2=∠5，∠3+∠4=180°，据此可得∠1=∠2+36°.21*cnjy*com
5. B
解：连接OA、OB、如图所示：
∵∠AOB＝ ＝60°，
∴∠APC＝ ∠AOC＝30°.
故答案为：B.
分析:由正六边形的性质得出∠AOB＝120°，由圆周角定理求出∠APC＝30°.
6. C
解：∵六边形 是正六边形，
∴
∵点 为劣弧 的中点
∴
连接OM，作 ，交MF与点H
∵ 为等边三角形
∴FM=OM，
∴
故答案为：C.
分析:连接OM，作 ，交MF与点H，根据正六边性的性质可得出 ， ，得出 为等边三角形，再求OH即可.21教育名师原创作品
二、填空题
7. 44
解：∵四边形BCDE为平行四边形，
∴∠B＝∠CDE＝68°，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣68°＝112°，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠CDE＝112°﹣68°＝44°．
故答案为44．
分析:先利用平行四边形的性质得_??°???B??????C_DE＝68°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠ADC＝112°，然后计算∠ADC﹣∠CDE即可．21*cnjy*com
8. 66°
解：∵五边形 是正五边形，
∴AB=AE，∠EAB=108°，
∵△ABF是等边三角形，
∴AB=AF，∠FAB=60°，
∴AE=AF，∠EAF=108°－60°=48°，
∴∠EFA= .
故答案为：66°.
分析:由 是正五边形可得AB=AE以及∠EAB的度数，由△ABF是等边三角形可得AB=AF以及∠FAB的度数，进而可得AE=AF以及∠EAF的度数，进一步即可根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出答案.
9. 1260°
∵一个多边形的每个外角都等于40°，
∴多边形的边数为360°÷40°=9，
∴这个多边形的内角和=180°×（9-2）=1260°
分析:根据任意多边形的外角和都为360°，可以求出多边形的边数，再根据多边形内角和公式180°（n-2），求出内角和。
10.
解：如图，连接 过A作 于G，
?正六边形 ,
?
?
?
?
?
故答案为：
分析:如图，连接BF 过 作 于G，利用正六边形的性质求解 的长，利用 与 上的高相等，从而可得答案.
11. 48
∵多边形 是正六边形，多边形 是正五边形
∴
∵
∴
∴
故答案为：48
分析:已知正六边形 内部有一个正五形 ，可得出正多边形的内角度数，根据 和四边形内角和定理即可得出 的度数.2-1-c-n-j-y
12. 80
解：根据正多边形性质得，中心角为360°÷9=40°，
∴ ．
故答案为：80
分析:根据正多边形性质求出中心角，即可求出 ．
三、解答题
13. 证明：∵ 是正五边形，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
分析:根据正五边形的性质求出 ，根据三角形的内角和定理，可得∠CBD的度数，进而可得出∠ABD的度数，然后根据同旁内角互补，两直线平行可证得结论．
14. （1）解：设AO的延长线与圆交于点D，
根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即OB=AB，故在图中找到AO的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F；同理：在图中找到OD的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，如图①，正六边形 即为所求． 【来源：21·世纪·教育·网】
（2）解：圆的内接八边形的中心角为360°÷8=45°，而正方形的对角线与边的夹角也为45°
∴在如②图所示的正方形OMNP中，连接对角线ON并延长，交圆于点B，此时∠AON=45°；∵∠NOP=45°，
∴OP的延长线与圆的交点即为点C
同理，即可确定点D、E、F、G、H的位置，顺次连接，
如图②，正八边形 即为所求．
分析:（1）设_AO??????é?????_与圆交于点D，根据正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，根据垂直平分线的性质即可确定其它的顶点；（2）先求出内接八边形的中心角，然后根据正方形的性质即可找到各个顶点．www-2-1-cnjy-com
四、综合题
15. （1）证明：∵四边形ACBE是圆内接四边形，
∴∠EAM＝∠EBC，
∵AE平分∠BAM，
∴∠BAE＝∠EAM，
∵∠BAE＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠EAM，
∴∠BCE＝∠EBC，
∴BE＝CE；
（2）证明：如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，
∵OB＝OC，EB＝EC，
∴直线EO垂直平分BC，
∴EO⊥BC，
∵EF//BC，
∴EO⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线．
分析:（1）根_???????????????è??_形的性质得到∠EAM＝∠EBC．，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠EAM，得到∠BCE＝∠EBC，于是得到BE＝CE；（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，推出直线EO垂直平分BC，得到EH⊥BC，求得EH⊥EF，根据切线的判定定理即可得到结论．
16. （1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：
正多边形边数 3 4 5 6 … n
∠α的度数 60° 45° 36° 30° … （ ）°
（2）根据规律，计算正八边形中的∠α=（ ）°=22.5°；
（3）不存在，理由如下：
设存在正n边形使得∠α=21°，
得∠α=21°=（ ）°.
解得n=8 ，n是正整数，n=8 （不符合题意要舍去），
不存在正n边形使得∠α=21°.
分析:（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的∠α=（ ）°；（2）根据规律，可得正八边形中的∠α的度数；（3）根据正n边形中的∠α=（ ）°，可得答案.
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_