2.2基本不等式 同步练习（含解析）

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2.2基本不等式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．5 D．
3．若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．设恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运
A．3年 B．4年
C．5年 D．6年
6．已知实数，，，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
7．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
8．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．正实数 满足：，则的最小值为_____.
10．若一块矩形运动场地的面积为，则该场地一条对角线长度的最小值为________.
11．若实数满足，则的最小值为______．
12．设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则的最小值为_________.
三、解答题
13．已知.
（1）已知x＞0，求y的最小值；
（2）已知x＜0，求y的最大值．
14．已知a，，求证：．
15．用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
16．已知a，b，c为任意实数，求证：．
参考答案
1．A
解析：
根据不等式的解集可得不等式对应的方程的解，从而可求出的值，故不等式即为，从而可求其解，从而得到正确的选项．
详解：
∵不等式的解集是，
∴是方程的两根，
∴，解得.
∴不等式为，
解得，
∴不等式的解集为.
故选：A.
点睛：
本题考查一元二次不等式的解、三个二次的关系，这个关系是：不等式对应的解的端点是对应方程的根，是二次函数的图像与轴交点的横坐标.本题属于基础题．
2．C
解析：
化简，然后利用基本不等式求解即可
详解：
根据题意，若正实数，满足，
则，
当且仅当时等号成立，
即的最小值为5；
故选：C
点睛：
此题考查基本不等式的应用，属于基础题
3．B
解析：
对于，，所以该选项错误；对于，,所以该选项正确；对于，，所以该选项错误；对于，，所以该选项错误，即得解.
详解：
对于，因为，所以，所以该选项错误；
对于，,所以该选项正确；
对于，因为所以所以，所以该选项错误；
对于，因为所以所以，所以所以，所以该选项错误.
故选：B.
点睛：
本题主要考查不等式的性质，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．B
解析：
将不等式左边展开，然后利用基本不等式求得其最小值，由此求得的最大值.
详解：
由于，当且仅当时等号成立，而恒成立，故，也即的最大值为.
故选B.
点睛：
本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查恒成立问题的求解策略，属于基础题.
5．C
解析：可设y=a(x－6)2+11，又曲线过(4，7)，∴7=a(4－6)2+11 ∴a=－1．
即y=－x2+12x－25，∴=12－(x+)≤12－2=2，当且仅当x=5时取等号. 故选C．
6．B
解析：
根据已知条件，将变换为，利用基本不等式，即可求得其最小值.
详解：
∵，
∴
，
当且仅当，即，时取等号.
故选：B
点睛：
本题考查利用基本不等式求和的最小值，注意对目标式的配凑，属基础题.
7．C
解析：
详解：
设长方体底面边长分别为，则，
所以容器总造价为，
由基本不等式得，，
当且仅当底面为边长为的正方形时，总造价最低，选C.
考点：函数的应用，基本不等式的应用.
8．D
解析：
由图形可知，，在直角中，由勾股定理可求，结合即可得出．
详解：
由图形可知：，，
在直角中，由勾股定理可得：
，
，
，．
故选：D
点睛：
本题考查的是由几何图形来证明不等式，考查了数形结合的思想，属于中档题.
9．9
解析：
根据题意，可得，然后再利用基本不等式，即可求解.
详解：
，当且仅当 时取等号．
故答案为：9．
点睛：
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
10．
解析：
先设矩形场地的长与宽为，再根据题意结合基本不等式求解即可得答案.
详解：
解：设矩形场地的长与宽为，则根据题意得，
则场地的一条对角线的长度为，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
所以.
故答案为：
点睛：
本题考查基本不等式的应用求最值问题，是基础题.
11．4
解析：
运用重要不等式（当且仅当取得等号），计算可得所求最小值．
详解：
解：若实数，满足，
则，
当且仅当时，上式取得最小值4．
故答案为：4．
点睛：
本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．
12．9
解析：
将分式展开，利用基本不等式求解即可
详解：
又x＋2y＝4即，当且仅当等号成立，故原式
故填9
点睛：
本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件
13．（1）2；（2）－2.
解析：
（1）直接利用基本不等式求解即可
（2）由于x＜0，所以先对式子变形，然后再利用基本不等式即可
详解：
（1）因为x＞0，所以，当且仅当，即x＝1时等号成立．
所以y的最小值为2.
（2）因为x＜0，所以－x＞0.所以，当且仅当，即x＝－1时等号成立．
所以y的最大值为－2.
点睛：
此题考查基本不等式的应用，属于基础题.
14．见解析
解析：
展开并运用基本不等式即可得证.
详解：
，当且仅当即时等号成立.
点睛：
本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
15．矩形的长、宽都为时，所用篱笆最短，最短篱笆为.
解析：
设矩形菜园的长为，宽为，可得出，利用基本不等式可求得篱笆长的最小值，利用等号成立的条件可求得矩形菜园的长和宽，由此可得出结论.
详解：
设矩形菜园的长为，宽为，则，篱笆的长为.
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
因此，这个矩形的长、宽都为时，所用篱笆最短，最短篱笆为.
点睛：
本题考查利用基本不等式解决实际问题，考查计算能力，属于基础题.
16．见解析
解析：
利用综合法，先得到，，然后三个式子相加，化简后证得不等式成立.
详解：
∵，，∴．
即．当且仅当时，等号成立．
点睛：
本小题主要考查利用基本不等式证明不等式，考查综合法证明不等式，属于基础题.
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