3.2.2奇偶性 同步练习（含解析）

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3.2.2奇偶性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数f(x)＝x(－1A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
2．函数(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．是非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
3．函数的图象（ ）.
A．关于原点对称 B．关于轴对称
C．关于轴对称 D．关于直线对称
4．已知函数，则的奇偶性为（ ）.
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
5．函数的图象关于( )
A．x轴对称 B．原点对称 C．y轴对称 D．直线对称
6．则是（ ）
A．偶函数而非奇函数 B．奇函数而非偶函数
C．奇函数且为偶函数 D．非奇非偶函数
7．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．函数,对任意实数x,y,只要,就有成立,则函数( )
A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
二、填空题
9．已知函数是偶函数，且，则______．
10．如图是根据绘制出来的，则表示偶函数的图象是________（填序号）．
（1） （2） （3） （4）
11．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.则f(x)在R上的表达式为________．
12．已知函数是定义在上的奇函数,且当时,单调递增,则关于x的不等式的解集为______.
三、解答题
13．判断下列函数的奇偶性:
(1);
(2).
14．求证：函数是偶函数.
15．已知是定义在上的奇函数，当时，，
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集.
16．设函数是上的奇函数，当时，．
（1）求的表达式．
（2）求证在区间上是增函数．
参考答案
1．C
解析：
根据判断奇偶性的条件，首看定义域可得结果.
详解：
由题可知，函数的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数.
故选：C
点睛：
本题考查对函数奇偶性的判断，本题易错点在于没有观察定义域直接求解f(-x)，导致认为是奇函数，属基础题.
2．C
解析：函数的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数f(x)是非奇非偶函数．
答案：C.
3．C
解析：
利用定义判断函数的奇偶性，可得出正确选项.
详解：
函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以，函数为偶函数，
因此，函数的图象关于轴对称.
故选：C.
点睛：
本题考查函数奇偶性的图象特征，解题的关键就是利用定义判断函数的奇偶性，考查推理能力，属于基础题.
4．B
解析：
求出函数的解析式，得出与的关系，即可判断出函数的奇偶性.
详解：
若，则，则；
若，则，则.
又，满足.
所以，又函数的定义域为，关于原点对称，
因此，函数为偶函数.
故选：B.
点睛：
本题考查分段函数奇偶性的判断，一般要求出的表达式，结合函数奇偶性的定义进行判断，考查推理能力，属于基础题.
5．C
解析：
求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可．
详解：
解：
解得
的定义域为，D关于原点对称.
任取，都有，
是偶函数，其图象关于轴对称，
故选：C.
点睛：
本题主要考查函数图象的判断，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．
6．A
解析：
根据奇偶性定义判断．
详解：
不改变为有理数或为无理数的属性．∴，但，∴是偶函数而非奇函数，
故选：A．
点睛：
本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性定义是解题关键．
7．C
解析：
首先求出当时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当时不等式的解集，从而求出的解集，则，即可得解．
详解：
当时，的解为；
当时，根据偶函数图像的对称性知不等式的解为，
所以不等式的解集为，
所以不等式的解集为．
故选：C
点睛：
本题考查偶函数的性质及其应用，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识点理解掌握水平.
8．C
解析：
令,由题意可得，，从而证出，令求出，令，可得，再令可得，从而可得出答案.
详解：
解析:令,则，
∵,
∴,即,其中,
∵,
∴.
∵,∴.
∵,
∴.
综上,知,
∴函数既是奇函数又是偶函数.
故选：C
点睛：
本题考查了抽象函数的奇偶性，在解决问题时，通常采用的是“赋值法”，此题属于中档题.
9．5
解析：
由函数是偶函数，再结合偶函数的定义可得，再令结合，可求出的值
详解：
因为是偶函数，
所以设，则，
即，
因为，所以，
即，
故答案是：5．
点睛：
此题考查偶函数性质的应用，属于基础题
10．（3）（4）
解析：
根据偶函数的定义及图象关于轴对称，即可得答案；
详解：
对（1），定义域，不关于原点对称，∴（1）表示的不是偶函数的图象．
对（2），图象不关于轴对称，∴（2）表示的不是偶函数的图象．
对（3）、（4），图象关于轴对称且定义域也关于原点对称，∴（3）（4）表示的是偶函数的图象．
故答案为：（3）（4）
点睛：
本题考查偶函数的定义及图象的对称，考查数形结合思想，属于基础题.
11．
解析：
根据函数是奇函数，即可求得；结合的解析式，即可求得时的解析式.
详解：
因为是奇函数，且定义域为，
故当时，；
则当时，.
故答案为：.
点睛：
本题考查由函数的奇偶性，求函数的解析式，属基础题.
12．
解析：
先求出，再分析出函数在上为增函数，再利用函数的单调性解不等式得解.
详解：
由已知得,,
∴定义域为.∵当时为增函数,
又为奇函数,在上为增函数.
.
∴解集为.
故答案为：
点睛：
本题主要考查函数的奇偶性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
13．(1)偶函数.(2)奇函数.
解析：
利用奇偶函数的定义判断得解.
详解：
解:(1)函数的定义域为R,
∵对定义域内的每一个x,都有,为偶函数.
(2)函数的定义域为R,∵对定义域内的每一个x,都有,
为奇函数.
点睛：
本题主要考查函数奇偶性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．证明见解析
解析：
首先求出函数的定义域，再利用偶函数的定义即可证出.
详解：
函数，定义域为，
所以定义域关于原点对称，
又，
所以函数为偶函数.
点睛：
本题考查了函数的奇偶性定义，注意判断函数的奇偶性，需首先求函数的定义域，属于基础题.
15．（1）；（2）.
解析：
（1）根据奇函数的性质进行求解即可；
（2）根据函数的解析式分类讨论进行求解即可.
详解：
（1）∵是定义在上的奇函数，∴.
又当时，，∴.
又为奇函数，∴，∴，
∴.
（2）当时，由得，解得；
当时，无解；
当时，由得，解得.
综上，不等式的解集用区间表示为.
点睛：
本题考查了奇函数的性质，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.
16．（1）；（2）证明见解析.
解析：
（1）先求的解析式，由，可代入求得，再由是上的奇函数，得到的解析式，从而求得的表达式；
（2）直接用定义法证明在区间上是增函数.
详解：
（1）当时，，∴．
∵是奇函数，∴，
∴，
∴
（2）设任意的，，且，则
．
∵，∴，，
∴，∴，
∴是上的增函数．
点睛：
本题考查了由奇偶性求函数的解析式，定义法判断函数的单调性，属于基础题.
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