3.3幂函数 同步练习（含解析）

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3.3幂函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ）
A．16 B． C．2 D．
2．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在同一平面直角坐标系中，函数和的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点(,27)在幂函数的图象上，则＝（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．幂函数的图象经过点，则函数的单增区间为（ ）
A． B． C． D．
6．函数，满足（ ）
A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数
C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数
7．已知幂函数（且互质）的图象如图所示，则（ ）
A．，均为奇数，且 B．为偶数，为奇数，且
C．为奇数，为偶数，且 D．为奇数，为偶数，且
8．有四个幂函数：①；②；③；④.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是，且；（3）在上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ）
A．① B．②
C．③ D．④
二、填空题
9．函数是幂函数且为偶函数，则m的值为_________．
10．（1）函数的定义域是_____，值域是_____；
（2）函数的定义域是____，值域是_____；
（3）函数的定义域是______，值域是_____；
（4）函数的定义域是_____，值域是______.
11．幂函数的图象和两坐标轴均无交点，则的值为_________.
12．定义函数，，则的最小值为________.
三、解答题
13．比较下列各题中两个值的大小：
（1）；（2）.
14．已知幂函数的图像经过点，求这个幂函数的解析式.
15．已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出其定义域.
16．已知函数是上的奇函数,时,.
求：(1)的解析式；
(2)的值域.
参考答案
1．D
解析：
设幂函数，再将代入，求出函数的解析式，即可得答案；
详解：
设幂函数，
将点代入得：，所以，
故．
故选：D.
点睛：
本题考查求幂函数的函数值，考查运算求解能力，属于基础题.
2．B
解析：
本题首先可以确定幂函数的模型为，然后与题中所给函数进行对比，即可得出结果.
详解：
根据幂函数的定义可知，幂函数的模型为（是有理数），
故只有函数与函数是幂函数，其余均不是，
故选：B.
点睛：
本题考查幂函数的定义，主要考查学生判断函数是幂函数的能力，幂函数的模型为，考查推理能力，是简单题.
3．B
解析：
先根据与同号，对分两种情况讨论，排除选项A,C,再结合幂函数的图象排除D,即得解.
详解：
与同号，
当时，若，则；
当时，若，则，
结合各选项中的图像可排除A，C；
在选项B，D中，，由幂函数的图像性质可知，B正确．
故选B
点睛：
本题主要考查幂函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．B
解析：
由幂函数过(,27)，结合幂函数图象的第一象限必过(1,1)，可得、的值，即可求
详解：
由点(,27)在幂函数的图象上
∴，即
在第一象限必过(1,1)，有，即
综上，有
∴= 0
故选：B
点睛：
本题考查了幂函数，由幂函数过已知点且第一象限图象必过(1,1)求参数值，进而求出目标式的值，属于简单题
5．C
解析：
由幂函数所过点坐标求出解析式，然后再确定单调性．
详解：
设幂函数，经过点，得，即，得，所以幂函数为，单增区间为，
故选：C．
点睛：
本题考查幂函数的解析式和单调性，属于基础题．
6．C
解析：奇函数；在上是增函数；在上是增函数；所以是增函数．故选C
7．D
解析：
由函数为偶函数，且图象在第一象限内向上凸起，在单调递增，可选出答案.
详解：
由幂函数的图象关于轴对称，可知该函数为偶函数，所以为偶数，则为奇数，
因为图象在第一象限内向上凸起，且在单调递增，所以.
故选：D.
点睛：
本题主要考查了幂函数的图象与性质的判定与应用，熟记幂函数的图象与性质，是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
8．B
解析：
根据幂函数的单调性、值域和奇偶性，结合三个性质两个正确一个错误，对四个幂函数逐一分析，由此确定正确选项.
详解：
①只满足值域是，且；
③只满足在上是增函数；
④只满足在上是增函数；
②是偶函数，在上是增函数，但其值域是.
故选：B.
点睛：
本小题主要考查幂函数的单调性、值域和奇偶性，考查分析与推理的能力，属于基础题.
9．
解析：
由函数是幂函数，则，解出的值，再验证函数是否为偶函数，得出答案.
详解：
由函数是幂函数，则，得或
当时，函数不是偶函数，所以舍去.
当时，函数是偶函数，满足条件.
故答案为：
点睛：
本题考查幂函数的概念和幂函数的奇偶性，属于基础题.
10．R
解析：
直接根据幂函数，，，的性质作答．
详解：
（1）的定义域是，值域是；
（2）的定义域是，值域是；
（3）的定义域是，值域是；
（4）的定义域是，值域是；
故答案为：；；；；；；；．
点睛：
本题考查幂函数的定义域和值域，属于基础题．
11．、、、、、
解析：
由题意得出，由此可解得整数的值.
详解：
由于幂函数的图象和两坐标轴均无交点，则，
解得，所以，整数的值为、、、、、.
故答案为：、、、、、.
点睛：
本题考查利用幂函数的图象与坐标轴的位置关系求参数，考查计算能力，属于基础题.
12．1.
解析：
在同一平面直角坐标系中作出函数与的图象，根据图象得出的图象，由图象即可得出的最小值.
详解：
在同一平面直角坐标系中作出函数与的图象，如下图所示
由，解得或
则函数的图象，如下图所示
∴在与处均取得最小值1，即.
故答案为：
点睛：
本题主要考查了根据函数解析式求函数的最小值，属于中档题.
13．（1）；（2）.
解析：
直接根据幂函数的单调性比较大小．
详解：
解：（1）∵幂函数在上是增函数，且，
.
（2）在上是增函数，且，
.
点睛：
本题主要考查根据幂函数的单调性比较幂的大小，属于基础题．
14．.
解析：
设出幂函数的解析式，把点的坐标代入求出参数即可.
详解：
解：设幂函数，因为图像经过点，所以，所以，所以.
点睛：
本题考查了已知幂函数图像过点求解析式问题，属于基础题.
15．或，.
解析：
由幂函数的概念求解．
详解：
为函数，，解得或.
当时，，则，且有；
当时，，则，且有.
故所求幂函数的解析式为或，它们的定义域都是.
点睛：
本题考查幂函数的概念与性质，属于基础题．
16．（1）；（2）.
解析：
(1)由是上的奇函数,可以直接求出的值,再由奇函数的性质
,可以求出当时函数的解析式,最后用分段函数形式写出函数的解析式.
(2)利用二次函数的性质和反比例函数的性质可以求出函数的值域.
详解：
(1)因为是上的奇函数,所以.
当时,所以有,由奇函数的性质可知：,
所以函数的解析式.为.
(2)当时,,由反比例函数的性质可知；
当时, ,由反比例函数的性质可知,而,
所以的值域为.
点睛：
本题考查了利用奇函数的性质求函数解析式,考查了奇函数值域问题,考查了分类思想.
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