3.4函数的应用（一） 同步练习（含解析）

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3.4函数的应用（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（ ）
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12
x＋2 1 2 3 4 5
A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
2．下列函数的图象均与轴有交点，其中不宜用二分法求交点横坐标的是（ ）．
A． B． C． D．
3．在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：
x 1 2 3 …
y 1 3 5 …
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若函数 f(x)与函数 g(x) 的图像有且只有一个交点，则必有(　　)
A．函数 y＝f(x)有且只有一个零点
B．函数 y＝g(x)有且只有一个零点
C．函数 y＝f(x)＋g(x)有且只有一个零点
D．函数 y＝f(x)－g(x)有且只有一个零点
5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的售价（元）满足一次函数：．若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为（ ）
A．30元 B．42元 C．54元 D．越高越好
6．如图一直角墙角，两边的长度足够长，P处有一棵树与两墙的距离分别是am、4 m，其中，不考虑树的粗细，现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为S（单位：），若将这棵树围在花圃内，则函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为(　　)．
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
8．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸（ ）
A．215 份 B．350 份
C．400 份 D．250 份
二、填空题
9．把长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小的面积之和是________．
10．若函数满足条件：①定义域为；②在定义域内为减函数.试写出一个满足上述条件的函数______.
11．函数零点的个数为_____________.
12．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．
三、解答题
13．某列火车从A地开往B地，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系，并求离开A地2h时火车行驶的路程.
14．将进货单价为20元的商品按30元一件销售时，一个月可卖400件.若这种商品的销售单价每变化1元，月销售量改变20件（降价时销售量增加，提价时销售量减少），那么为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元？
15．一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：）与时间t（单位：h）的关系如图所示，
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：km）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象.
参考答案
1．C
解析：
设函数，将选项中区间端点的函数值代入，再利用零点存在性定理，即可得答案；
详解：
设函数，
，，
，又在区间(1，2)连续，
函数在区间(1，2)存在零点，
方程根所在的区间为(1，2)，
故选：C.
点睛：
本题考查方程的根与函数零点的关系，考查对概念的理解，属于基础题.
2．C
解析：
根据利用二分法求函数与轴交点的横坐标，该函数的零点必须是变号零点，简单判断可得结果.
详解：
由题可知：利用二分法求函数与轴交点的横坐标该函数的零点必须是变号零点，
所以根据这个条件可知，不宜用二分法求交点横坐标的是选项C
故选：C
点睛：
本题考查利用二分法求函数零点的条件，熟悉使用二分法的条件，属基础题.
3．A
解析：
根据表中数据可判断函数为一次函数，将各数据代入，验证可得结论．
详解：
解：根据表中数据可判断函数为一次函数，
将各数据代入中均成立，
故选：．
点睛：
本题考查函数模型的选择，考查学生的计算能力，属于基础题．
4．D
解析：
依题意可知只有一个解，由此得出选项.
详解：
依题意可知只有一个解，那么函数有且只有一个零点，故选选项.
点睛：
本小题主要考查函数零点问题，两个函数图像只有一个交点，等价于这两个函数的差构成的函数只有一个零点，属于基础题.
5．B
解析：
先建立二次函数，再利用配方法求出取得最大值时的销售定价．
详解：
设每天的销售利润为元，则，，将上式配方后得，当时，取得最大值.故每件商品的售价定为42元时，每天才能获得最大的销售利润.
点睛：
本题考查二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=（销售价—进价）每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值方法，属于基础题．
6．C
解析：
为求矩形面积的最大值，可先将其面积表达出来，又要注意点在长方形内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论．
详解：
解：设长为，则长为
又因为要将点围在矩形内，
则矩形的面积为，
当时，当且仅当时，
当时，
分段画出函数图形可得其形状与接近
故选：．
点睛：
解决本题的关键是将的表达式求出来，结合自变量的取值范围，分类讨论后求出的解析式，属于基础题．
7．A
解析：由三角形相似得,得,由0∴,∴当y=12时,S有最大值,此时x=15. 选A
8．C
解析：
设每天从报社买进份报纸时，根据题意求得函数的解析式，结合一次函数的性质，即可求解．
详解：
设每天从报社买进（，）份报纸时，每月所获利润为元，具体情况如下表．
数量/份 单价/元 金额/元
买进
2
卖出
3
退回


则推销员每月所获得的利润
又由在上单调递增，
所以当时，取得最大值8700．
故选C．
即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8700元．故选C．
点睛：
本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，结合一次函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
9．2 cm2．
解析：试题分析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4﹣x）cm，则可得到这两个正三角形面积之和，利用二次函数的性质求出其最小值．
解：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4﹣x）cm，两个三角形的面积和为
S=x2+（4﹣x）2=x2﹣2x+4．
令S′=x﹣2=0，则x=2，所以Smin=2．
故答案为2 cm2．
点评：本题考查等边三角形的面积的求法，二次函数的性质及最小值的求法．
10．（结论不唯一）
解析：
根据定义在的减函数，即可写出答案。
详解：
，，等
故可填
点睛：
本题考查根据定义域与单调性，写出具体的函数，本类题型需同学们要有足够的知识储备，常见的定义域为有对数函数，再由单调性，写出即可。属于基础题。
11．2
解析：
函数零点的个数即方程实数根的个数，求出方程的实根即可得出答案.
详解：
函数零点的个数，即方程实数根的个数.
由，即或
由得或.
由无实数根.
所以函数的零点有2个.
故答案为：2
点睛：
本题考查求函数的零点个数问题，根据题目条件求出函数的零点即可，属于基础题.
12．
解析：
根据函数单调性的定义计算，由于作差之后式子含有参数，讨论的取值，从而确定作差后函数值的大小，当函数为减函数时即可确定的范围。
详解：
设任意的，，且，则
．
①当时，易知，即在上单调递减．又，，所以．要使，只需，所以．②）当时，易知，在上单调递增，不满足题意，舍去．③当时，，不符合题意，舍去．④当时，，在上单调递减，因为，所以，成立．所以．综上可得实数的取值范围是．
故答案为：
点睛：
本题考查函数单调性的应用，需熟练掌握函数单调性的定义，在用定义证明时的步骤：“作差、变形、定号”。
13．，
解析：
首先计算出火车到达终点所需要的时间，再由匀速行驶与路程的关系即可得出关系式.
详解：
解：因为火车匀速行驶的时间为，
所以.因为火车匀速行驶th所行驶路程为，
所以火车行驶总路程s与匀速行驶时间t之间的关系是.
离开A地2h时火车行驶的路程.
点睛：
本题考查了一次函数模型的应用，解题时注意定义域的取值范围，属于基础题.
14．35元
解析：
设销售单价提高元，则月销售量变化量为件，设利润为y元，由题意可得，化简配方即可求解.
详解：
解：设销售单价提高元，则月销售量变化量为件，设利润为y元，
由题意得，.
故当时，.
此时每件售价为35元.故当每件商品售价提高5元，即销售单价定为35元时，月利润最大，最大利润为4500元.
点睛：
本题考查了二次函数的模型应用，同时考查了二次函数的性质，属于基础题.
15．（1），汽车在这5h内行驶的路程为360km；（2）解析式见解析，图像见解析
解析：
（1）由图中数据可得出阴影部分的面积为.
（2）对的取值范围进行讨论，分别计算出和时的表达式，由分段函数的定义以及与的函数关系，画出图像即可.
详解：
解：（1）阴影部分的面积为.
阴影部分的面积表示汽车在这5h内行驶的路程为360km.
（2）根据题意，有
这个函数的图象如图所示：
点睛：
本题考查了分段函数模型在生活中的应用，属于基础题.
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