4.2.2指数函数的图象和性质 同步练习（含解析）

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4.2.2指数函数的图象和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．
2．函数y=2|x|的图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．二次函数与指数函数的图像的交点个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．函数和（其中且）的大致图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为(　　)
A． B．
C．1 D．
8．函数且的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．函数（，且）的图象过定点__________.
10．函数恒过定点______.
11．若且，则函数的图象恒过定点______.
12．已知函数，则该函数的单调递增区间是__________.
三、解答题
13．求下列函数的定义域、值域.
（1）y＝；（2）y＝4x－2x＋1.
14．设函数，求不等式的解集.
15．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）若求的值.
16．设，其中且，比较与的大小，并证明.
参考答案
1．C
解析：
根据指数函数定义列不等式，解得结果.
详解：
由于函数（是自变量）是指数函数，则且，解得且.
故选：C
点睛：
本题考查指数函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．B
解析：
将函数写成分段函数，再结合指数函数的图象，即可容易判断.
详解：
y=2|x|=，故当时，函数图象同单调递增；
当时，函数图象同单调递减，
且时，.满足以上条件的只有.
故选：B.
点睛：
本题考查指数型函数的图象，属简单题.
3．C
解析：
在同一坐标系中画出二次函数与指数函数图像，即可得到交点个数.
详解：
二次函数，且时，；时，.
指数函数,当时，；时，.
两个函数上均单调递减，在坐标系中画出与的图象，如图所示，由图可得，两个函数图像的交点个数为1.
故选：C.
点睛：
本题考查指数函数图像的应用，考查图像交点个数问题，属于基础题.
4．A
解析：
将复合函数分解为两个简单函数，利用两个简单函数的单调性和同增异减法则可得结果.
详解：
令，则，
因为为单调递减函数，且函数在上递减，
所以函数的单调递增区间为.
点睛：
本题考查了求指数型复合函数的单调区间，属于基础题.
5．C
解析：
根据指数函数的图像与性质，即可得出结果.
详解：
因为，所以指数函数单调递减，
又，当时，，
所以函数的图像过一二四象限，不过第三象限.
故选：C.
点睛：
本题主要考查指数函数的图像，属于基础题型.
6．C
解析：
根据指数函数和一次函数的单调性及所过的定点，用排除法即可确定选项.
详解：
由于过点 ，故D选项错误；
当时，过且单调递增，过点，且单调递增，又，所以A选项错误；
当时，过且单调递减，过点，且单调递增，又，，所以B选项错误，
综上所述，正确的选项为C.
故选：C
点睛：
本题主要考查指数函数，一次函数图像的识别，属于基础题.
7．B
解析：x9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x，
∴x9＝9x.∴x8＝9.
∴x＝＝.
故选B.
点睛：本题主要考查了实数指数幂的运算法则和对数的运算法则，试题比较基础，属于基础题，解题时要认真审题，注意实数指数幂和对数的运算法则的合理运用，其中熟记实数指数幂的运算法则和对数的运算公式是解答此类问题的关键.
8．A
解析：
由函数过点排除C、D，由A、B中的图知函数单调递减推出，当时即可判断.
详解：
当时，排除答案C、D；
由A、B中的图知函数且单调递减，则，当时，所以正确选项为A.
故选：A
点睛：
本题考查指数函数的图像与性质，属于基础题.
9．
解析：
由指数函数图象所过定点求解．
详解：
令，得，，即函数图象过定点．
故答案为：．
点睛：
本题考查指数函数的图象与性质，掌握性质指数函数图象过定点是解这类题的关键．
10．
解析：
由指数函数恒过即可求解．
详解：
函数恒过定点，即与无关，只需即可，所以
所以恒过定点
故答案为
点睛：
本题考查指数函数恒过定点这一性质，比较基础．
11．
解析：
先根据指数部分为零求解出的值，再根据的值即可计算出对应的的值，则图象恒过的定点为.
详解：
令，得，，
函数的图象恒过定点.
故答案为.
点睛：
对于形如，且的指数型函数，其恒过的定点的求解方法：
先令，计算出的值即为定点的横坐标，再根据的值计算出的值即为纵坐标，所以恒过的定点为.
12．
解析：
设，求出的单调性，再根据复合函数的单调性原理即得解.
详解：
由题得函数的定义域为.
设，
函数在单调递减，在单调递增，
函数在其定义域内单调递减，
所以在单调递增，在单调递减.
故答案为：.
点睛：
本题主要考查二次函数和指数函数的单调性，考查复合函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
13．（1）定义域为R；值域为(0，1)；（2）定义域为R；值域为.
解析：
（1）降次后根据，即可求出函数的值域.
（2）函数为指数函数与一元二次函数的复合函数，根据复合函数的值域求法即可求出答案.
详解：
（1）∵对一切x∈R，3x≠－1；
∴函数的定义域为R；
∵y＝＝1－；
又∵3x>0，1＋3x>1；
∴0<<1，∴－1<－<0；
∴0<1－<1，∴值域为(0，1).
（2）函数的定义域为R；
y＝(2x)2－2x＋1＝2＋；
∵2x>0，∴2x＝，即x＝－1时，y取最小值；
同时y可以取一切大于的实数；
∴值域为.
点睛：
本题考查函数的值域，属于基础题.复合函数的值域求法：先求内层函数的值域，再根据内层函数的取值范围找外层函数取值范围.
14．
解析：
对分类讨论，然后根据指数函数和幂函数的单调性解不等式．
详解：
解：等价于或，
即或，
或，
∴不等式的解集为．
点睛：
本题主要考查根据指数函数和幂函数的单调性解不等式，考查分段函数的性质，属于基础题．
15．（1）（2）1
解析：
(1)由偶次根式的被开方大于等于0,列式解不等式可得;
(2)联立方程组成方程组可解得.
详解：
(1)由，得,函数的定义域为.
(2)依题意有即，
故，解得.
点睛：
本题考查了函数定义域的求法,属于基础题.
16．，证明见解析.
解析：
利用作差比较法，结合函数的解析式，运用配方法，最后判断出大小关系.
详解：
解：，当且仅当时取“=”.
证明如下：，
，
，当且仅当时取“=”.
点睛：
本题考查了指数式之间的比较大小，考查了配方法，考查了作差比较法，考查了数学运算能力.
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