4.5.1函数的零点与方程的解 同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台

中小学教育资源及组卷应用平台
4.5.1函数的零点与方程的解
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)＝0在[a，b]内（ ）
A．至少有一个实根 B．至多有一个实根
C．没有实根 D．有唯一实根
2．下列各图象表示的函数中没有零点的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的零点是（ ）
A． B． C． D．不存在
4．函数的零点所在区间为( )
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
5．已知函数的图象是条连续不断的曲线，有如下对应值，则下列说法正确的是（ ）
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 -7.82 11.45 -53.76 -128.88
A．函数在区间[1，6]上有3个零点
B．函数在区间[1，6]上至少有3个零点
C．函数在区间[1，6]上至多有3个零点
D．函数在区间[1，2]上无零点
6．若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是（ ）
A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
7．设f(x)＝若方程f(x)＝a(a为实常数)有2个根，则a的取值范围是（ ）
A．(0，1) B．(0，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
8．设函数，，则下列说法中正确的是　　
A．在区间，内均有零点
B．在区间，内均无零点
C．在区间内有零点，在内无零点
D．在区间内无零点，在内有零点
二、填空题
9．若二次函数的两个零点分别是和，则的值为________.
10．方程在区间________内有根（区间长度为1）．
11．已知是函数的零点，若，则的值满足________(与零的关系)．
12．函数的零点为________.
三、解答题
13．求证：函数只有一个零点，且.
14．求下列函数的零点：
（1）；
（2）；
（3）.
15．如图所示是函数的图像，分别写出的解集.
16．已知函数，
（1）画出函数的图像，并写出其值域.
（2）当为何值时，函数在上有两个零点？
参考答案
1．D
解析：
先判断函数的单调性，然后利用零点存在性定理判断即可
详解：
解：设，且，则
，
因为，所以，即
所以f(x)＝－x－x3在[a，b]上单调递减，
因为f(a)·f(b)＜0，
所以f(x)＝0在[a，b]内有唯一解.
故选：D
点睛：
此题考查在是函数零点存在性定理的应用，属于基础题.
2．D
解析：
根据函数零点的定义：与轴交点的横坐标.即可选出答案.
详解：
函数没有零点等价于函数图像与轴无交点，选项只有选项的图像与轴无交点.
故选：.
点睛：
本题考查函数的零点个数，属于基础题. 解本题需掌握函数零点的定义：与轴交点的横坐标.
3．C
解析：
求出方程的根，即可得答案；
详解：
函数的零点等价于方程的根，
函数的零点是，
故选：C.
点睛：
本题考查函数零点的求法考查运算求解能力，属于基础题.
4．B
解析：
根据零点存在定理，结合选项，取特殊值，最后求出零点所在的区间.
详解：
由函数f（x）＝x3+x–5可得f（1）＝1+1–5＝–3<0，f（2）＝8+2–5＝5>0，
故有f（1）f（2）<0，根据函数零点的判定定理可得，函数f（x）的零点所在区间为
（1，2），故选B．
点睛：
本题考查了零点存在定理，考查了数学运算能力.
5．B
解析：
由表中数据，结合零点存在性定理即可得出选项.
详解：
由表可知.
由函数零点存在定理知函数在区间（2，3），（3，4），（4，5）上
分别至少存在个零点，所以函数在区间[1，6]上至少有3个零点.
虽然，但函数在[1，2]上也有可能存在零点.
故选：B
点睛：
本题考查了零点存在性定理，理解零点存在性定理是关键，属于基础题.
6．C
解析：
根据的图像在上连续不断，，，，结合零点存在定理，判断出在区间和上零点存在的情况，得到答案.
详解：
由题知，
所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，
又，
因此无法判断在区间上是否有零点.
故选：.
点睛：
本题考查根据函数零点存在定理，判断函数零点存在的情况，属于简单题.
7．D
解析：
作出函数f(x)的图象，然后根据题意，数型结合简单判断可得a的取值范围.
详解：
f(x)的图象如图所示．
由图可知，当且仅当a≥1时，
y＝a与y＝f(x)有两个交点，
从而f(x)＝a有2个根．
故选：D.
点睛：
本题考查根据放程根的个数求参数，利用数型结合，形象直观，属基础题.
8．D
解析：
首先利用导数研究函数的单调性，再分别计算，，的值，利用零点存在定理可得结论．
详解：
解：由题可知：，则，若，，函数单调递减，若，，函数单调递增，所以函数在，单调递减，
又，，，所以函数在无零点，在有零点
故选：D
点睛：
本题考查利用导数研究函数的单调性以及函数零点存在性定理的应用，属于基础题.
9．
解析：
根据函数零点的定义，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
详解：
因为二次函数的两个零点分别是和，
所以一元二次方程的两个根分别是和，
由一元二次方程根与系数关系得：，解得，
因此，.
故答案为：
点睛：
本题考查了函数零点的定义，考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，考查了数学运算能力.
10．
解析：
通过计算，以及零点存在性定理的概念，简单判断可得结果.
详解：
令，则，，．
所以方程在，且区间长度为1
故答案为：
点睛：
本题考查零点存在性定理的概念，识记概念，属基础题.
11．
解析：易知函数单调递增，且，
所以当时，.
即.
12．或
解析：
由函数零点的定义得，解方程即得结果.
详解：
由题知：，得，
∴或，∴或.
故答案为：或
点睛：
本题考查函数零点的定义，考查了转化与化归的思想.
13．见解析
解析：
利用函数的单调性及零点存在定理证明．
详解：
证明：函数在上为增函数，
又，
有且只有一个零点，且.
点睛：
本题考查零点存在定理，在一个区间上单调的函数，在此区间上最多只有一个零点．
14．（1） （2） （3）
解析：
解方程可得．
详解：
解：（1）令，得，所以或，因此函数的零点为.
（2）令，得，所以或.因此函数的零点为.
（3）令，当时，，所以.
当时，，所以或（舍去）.
因此函数的零点为.
点睛：
本题考查求函数的零点．根据零点定义，只要解方程即得．
15．的解集为；的解集为或或；的解集为或或
解析：
图象在轴上方为，轴下方（含轴上的点）为，
详解：
解：由图可知的解集为.
的解集为.
的解集为.
点睛：
本题考查由函数图象解函数不等式或，掌握图象与不等式的解集之间的关系是解题关键．
16．（1）图象见解析；值域为.（2）
解析：
（1）将函数解析式整理得到，根据题中条件，结合二次函数图像的画法，即可作出函数图像，由图像可得出值域；
（2）将函数在上有两个零点，转化为函数与的图像有两个交点，由（1）中图像，即可求出结果.
详解：
（1）依题意得，，其图像如图所示.
由图可知，函数的值域为.
（2）∵函数在上有两个零点，
∴方程在上有两个相异的实数根，
即函数与的图像有两个交点.
由（1）所作图像可知，，
∴.
∴当时，函数与的图像有两个交点，
即函数在上有两个零点.
点睛：
本题主要考查二次函数的图像，以及由函数零点求参数的问题，熟记二次函数的图像与性质，灵活运用数形结合的思想，以及转化与化归的思想，即可求解，属于常考题型.
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_