4.5.2用二分法求方程的近似解 同步练习（含解析）

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4.5.2用二分法求方程的近似解
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列函数的图象均与轴有交点，其中不宜用二分法求交点横坐标的是（ ）．
A． B． C． D．
2．用二分法研究的零点时，第一次经过计算，，可得其中一个零点________，第二次计算________，以上横线应填的内容分别是（ ）
A．； B．；
C．； D．；
3．用二分法求函数在内的唯一零点时，精确度为0.001，则经过一次二分就结束计算的条件是（ ）
A． B．
C． D．
4．下面关于二分法的叙述，正确的是（ ）
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循
D．只有在求函数零点时才用二分法
5．某同学用二分法求方程在x∈（1，2）内近似解的过程中，设
，且计算f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，则该同学在第二次应计算的函数值为
A．f（0.5） B．f（1.125）
C．f（1.25） D．f（1.75）
6．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为(　　)
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
7．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　　)
A．[1,4] B．[－2,1]
C． D．
8．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在的区间和等二次应计算的函数值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题
9．用二分法研究函数f（x）在区间（0，1）内的零点时，计算得f（0）<0，f（0.5）<0，f（1）>0，那么下一次应计算x＝_________时的函数值．
10．已知定义在R上的函数的图象是连续不断的曲线，且函数在区间上有一个零点，，用二分法求时，当时，函数的零点是______.
11．利用计算器求关于x的方程的正实数解的近似值________.（精度为0.1）
12．用二分法求函数在区间上零点的近似解（精确到0.01），若，取区间中点，计算得，则此时可以判定零点 ____________（填区间）．
三、解答题
13．已知A地到B地的电话线路发生故障（假设线路只有一处发生故障），这是一条10km长的线路，每隔50m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在（精确到50m）？
14．利用计算器，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）．
15．证明函数有零点，并指出用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行多少次函数值的计算.
16．利用信息技术，用二分法求函数的零点（精确度为0.1）.
参考答案
1．C
解析：
根据利用二分法求函数与轴交点的横坐标，该函数的零点必须是变号零点，简单判断可得结果.
详解：
由题可知：利用二分法求函数与轴交点的横坐标该函数的零点必须是变号零点，
所以根据这个条件可知，不宜用二分法求交点横坐标的是选项C
故选：C
点睛：
本题考查利用二分法求函数零点的条件，熟悉使用二分法的条件，属基础题.
2．A
解析：
根据二分法思想分析可得.
详解：
的图像在上连续并且，，可得其中一个零点，使得.
根据二分法思想可知在第二次计算时，应计算，
故选A.
点睛：
本题考查了二分法求函数零点的步骤,属于基础题.
3．B
解析：
根据二分法的步骤分析可得.经过一次二分后,零点所在区间长度为,结束计算的条件是零点所在区间的长度满足精确度,由此可得.
详解：
据二分法的步骤知,经过一次二分后, 零点所在区间长度为,
此时结束计算,所以,
所以.
故选B
点睛：
本题考查了二分法的步骤,属于基础题.
4．B
解析：
根据二分法的概念对进行判断,可以排除,从而选B.
详解：
只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右两侧函数值异号，オ可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；
二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；
求方程的近似解也可以用二分法，故D错.
故选B.
点睛：
本题考查了二分法的概念,属于基础题.
5．C
解析：
先根据题目已知中的函数值，确定根的分布区间，再结合二分法的原理，可以求出
该同学在第二次应计算的函数值.
详解：
∵f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x–8存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值1.25，故选C．
点睛：
本题考查了二分法的步骤，零点存在定理，考查了数学运算能力.
6．C
解析：因为f(－1)＝－3<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝2－3<0，f(2)＝4－3＝1>0.
答案：C.
7．D
解析：∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为.
8．D
解析：
根据，，可得零点所在区间，根据二分法的要求，得到第二次计算的函数值，从而得到答案.
详解：
函数，且，，
所以其中一个零点所在的区间为，
第二次应计算的函数值为和的中点，即时，
所以应计算.
故选.
点睛：
本题考查利用二分法求函数零点的方法，属于简单题.
9．0.75
解析：
根据零点存在定理，结合已知可以确定函数零点落在的区间，结合二分法的原理，可以求出下次应计算的函数值.
详解：
∵f（0）<0，f（0.5）<0，f（1）>0，∴根据函数零点的判定定理，函数零点落在区间（0.5，1）内，取x＝0.75．故答案为0.75．
点睛：
本题考查了零点存在定理以及二分法的步骤，属于基础题.
10．.
解析：
由零点的定义即可得到结果
详解：
因为,所以函数的零点是,
故答案为：
点睛：
本题考查零点的定义,属于基础题
11．(不唯一)
解析：
二分后,所得区间的长度小于精确度时,停止二分,此时区间内的任何一个值都可以作为方程的近似解.
详解：
令，则关于x的方程的正实数解的近似值即为函数的正零点的近似值.
由于，，故可取区间作为计算的初始区间
用二分法逐次计算，列表如下
零点所在区间 区间中点 中点对应的函数值
2.5 0.25
2.25 -0.4375
2.375 -0.109375
2.4375 0.06640625
因为,,且,
因为且,
所以区间的任何一个值都可以作为方程的近似解,
所以关于x的方程的正实数解的近似值可取(不唯一)
故答案为: (不唯一).
点睛：
本题考查了二分法求方程在区间内的近似解,属于基础题.
12．（0，1）
解析：
利用零点存在性定理，利用二分法，找出区间端点函数值异号细分区间
详解：
由题意可知：对于函数y=f（x）在区间[0，2]上，有f（0）?f（2）<0，利用函数的零点存在性定理，所以函数在（0，2）上有零点．取区间的中点中点x1=1，∵计算得f（0）?f（x1）<0，∴利用函数的零点存在性定理，函数在（0，1）上有零点．故答案为：（0，1）．
点睛：
对于函数f(x),先找到a、b属于区间（x，y），使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，所以二分法需要定义域内至少有两点x对应的f（x）的值符号相反，
13．见解析
解析：
利用二分法取线段的中点即可迅速查出故障所在.
详解：
如图：
可首先从中点C开始检查，若段正常，则故障在段；
再到段中点D检查，若段正常，则故障在段；
再到段中点E检查……每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，
经过8次查找，可将故障范围缩小到50m之内，即可迅速找到故障所在．
点睛：
本题考查了二分法在生活中的应用，理解二分法的定义，属于基础题.
14．．
解析：
根据函数的单调性以及零点存在性定理判断方程解所在区间，然后使用二分法求方程近似解的步骤依次计算，可得结果.
详解：
令，可知函数是连续的单调递增的函数
，．
所以可知方程的在区间内
利用二分法，列表如下：
区间 中点值 中点的函数值
2.5
2.75 0.189332693
2.625 0.044129307
2.5625


∵，
故方程的近似解．
点睛：
本题考查零点存在性定理以及利用二分法求解方程的近似解，着重对概念的掌握以及步骤的理解，属基础题.
15．3次，理由见解析
解析：
用零点存在定理证明．根据二分法原理判断．
详解：
因为，
所以，所以函数在区间上有零点.
至少需要进行3次函数值的计算，理由如下：
取区间的中点，
且，所以.
取区间的中点，
且，所以.
取区间的中点，
且，所以.
因为，
所以区间的中点即为零点的近似值，即，所以至少需进行3次函数值的计算.
点睛：
本题考查零点存在定理，考查二分法原理．二分法每次把零点存在区间长度缩小一半，原来长为1的区间，一次变为0.5，第二次变以0.25，第三次变为0.125，才符合精度要求．
16．2.375
解析：
由零点存在定理可确定零点所在区间为，根据二分法的原理来不断确定零点所在区间，直到满足精确度为止，从而得到结果.
详解：
，
在区间内存在一个零点
下面用二分法求函数在区间内的零点
取区间的中点，用计算器可算得
，所以
再取的中点，用计算器可算得
因为
同理可得：，
函数的零点为
点睛：
本题考查利用二分法求解函数的零点问题，关键是能够利用零点存在定理确定零点所在区间，再根据二分法原理来进行求解.
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