5.5.2 简单的三角恒等变换 同步练习（含解析）

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5.5.2简单的三角恒等变换
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若已知，其中，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．的值是( )
A． B． C． D．
3．化简的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于，则它的底角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
5．可化为（ ）
A． B．
C． D．
6．化为和差的结果是（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
8．函数是（ ）
A．最大值是的奇函数 B．最大值是的偶函数
C．最大值是的奇函数 D．最大值是的偶函数
二、填空题
9．方程的解集为__________．
10．函数的最小正周期为__________.
11．函数的最小正周期为________.
12．已知函数，当时，的值域为_______．
三、解答题
13．用半角公式求出的值．
14．求下列函数的最小正周期
(1);
(2).
15．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求使函数取得最大值的x的集合.
16．已知函数.
（1）求的最小值，并求出此时对应的x的值；
（2）写出在的单调区间，并求出此时的值域.
参考答案
1．B
解析：
根据二倍角的余弦公式进行化简可得，然后根据角度的范围，可得结果.
详解：
由，
所以.
∵，∴.
故选：B
点睛：
本题考查二倍角的余弦公式化简，考查对公式的记忆以及计算，属基础题.
2．C
解析：
变形后，根据两角差的余弦公式计算可得答案.
详解：
，
故选：C.
点睛：
本题考查了两角差的余弦公式，属于基础题.
3．B
解析：
，然后计算可得，最后代入可得结果.
详解：
由
所以
则，
.
故选：B
点睛：
本题考查两角和与差的余弦公式，重在于化简，考查观察能力以及计算能力，属基础题.
4．B
解析：
根据三角形内角和为，顶角为，则底角，再有诱导公式即可求解．
详解：
设等腰三角形的顶角为，底角为，则.又，
即，
故选B.
点睛：
本题考查三角诱导公式，需熟记公式．
5．A
解析：
逆用二倍角的正弦公式和降幂公式，再利用辅助角公式即可.
详解：
.故选A.
点睛：
本题考查了二倍角的正弦公式和降幂公式，考查了辅助角公式.
6．B
解析：
利用积化和差公式化简即可.
详解：
解：原式.
故选：.
点睛：
本题考查积化和差公式的应用，属于基础题.
7．D
解析：
由切化弦先判断，所以为锐角，再由结合条件可得为锐角，从而得解.
详解：
，显然，所以为锐角，
所以.
即得，所以.
又，所以为锐角.
故选：D.
点睛：
本题主要考查了同角三角函数的基本关系及两角和的余弦公式，属于基础题.
8．B
解析：
先根据降幂公式以及两角和与差余弦公式化简，再根据余弦定理性质求最值与奇偶性.
详解：
因为为最大值是的偶函数，所以B正确；
故选：B
点睛：
本题考查降幂公式、两角和与差余弦公式以及余弦定理性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．或
解析：
根据二倍角公式方程化为，得，再由特殊角的三角函数值，即可求解.
详解：
，
或或，
方程的解集为或.
故答案为：或
点睛：
本题考查三角恒等变换、简单三角方程的求解，考查数学计算能力，属于基础题.
10．1
解析：
先根据降幂公式化简函数，再根据余弦函数性质求周期.
详解：
所以函数的最小正周期为
故答案为：1
点睛：
本题考查降幂公式以及余弦函数周期，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．
解析：
将切化弦进行化简以及利用最小正周期公式可得结果.
详解：
，所以最小正周期为.
故答案为：
点睛：
本题考查商数关系以及最小正周期的计算，重在计算，属基础题.
12．
解析：
利用两角和差、二倍角和辅助角公式将函数化为；根据的范围求得的范围，利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象即可求得结果.
详解：
当时，
当时，的值域为
故答案为：
点睛：
本题考查正弦型函数值域的求解方法，关键是能够利用两角和差、二倍角和辅助角公式将函数化为正弦型函数的形式；求解正弦型函数值域常采用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.
13．
解析：
根据半角公式直接化简求解即可得到结果.
详解：
点睛：
本题考查利用半角公式化简求值的问题，属于基础题.
14．(1) 2π.(2)π.
解析：
（1）利用降次公式化简函数解析式，由此求得三角函数的最小正周期.
（2）利用降次公式化简函数解析式，由此求得三角函数的最小正周期.
详解：
(1),∴最小正周期为2π.
(2),∴最小正周期为π.
点睛：
本小题主要考查三角函数降次公式、三角函数最小正周期，属于基础题.
15．(1)；(2)
解析：
（1）变形后，逆用两角差的正弦公式可得，再用周期公式可得答案；
（2）正弦函数的最大值可得答案.
详解：
(1)
，
的最小正周期为.
(2)当取得最大值时，
，
则，
即，
所求x的集合为.
点睛：
本题考查了逆用两角差的正弦公式，考查了周期公式，考查了正弦函数的最大值，属于基础题.
16．（1）当时，；（2）在上递增，在上递减，值域为
解析：
详解：
略
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