5.7 三角函数的应用 同步练习（含解析）

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5.7三角函数的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知某人的血压满足函数解析式，其中为血压，为时间，则此人每分钟心跳的次数为（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
2．电流随时间变化的关系式是，则当时，电流为( )
A． B． C． D．
3．在两个弹簧上各有一个质量分别为和的小球做上下自由振动，已知它们在时间离开平衡位置的位移和分别由下列两式确定：，.当时，与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．如图所示为一质点做简谐运动的图象，则下列判断中正确的是（ ）
A．该质点的振动周期为 B．该质点的振幅为
C．该质点在和时振动速度最大 D．该质点在和时的振动速度为0
5．为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标伸长到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
6．在两个弹簧上各挂一个质量分别为和的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间（单位：秒）时离开平衡位置的位移（单位：）和（单位：）分别由下列两式确定：，．则在时刻时，与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
7．下表是某市近30年来月平均气温（℃）的数据统计表：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月平均气温

2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3
则适合这组数据的函数模型是（ ）
A． B．
C． D．
8．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖指向位置.若初始位置为，秒针从（注：此时）开始沿顺时针方向走动，则点的纵坐标与时间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数为________．
10．振动量y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别是－π和，则它的相位是________．
11．如图，是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________.
12．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度（单位：）在某天24小时内的变化情况，则水面高度关于从夜间0时开始的时间的函数关系式为________．
三、解答题
13．函数表示一个振动量．
（1）指出函数的振幅、最小正周期、初相及频率．
（2）说明此函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到．
14．交流电的电压（单位：）与时间（单位：）的关系可用来表示，求：
（1）开始时的电压；
（2）电压值重复出现一次的最短时间间隔；
（3）电压的最大值和第一次获得最大值的时间.
15．下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时):
时间（时） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
温度（℃） 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8
（1）作出这些数据的散点图;
（2）选用一个三角函数来近似描述这些数据.
16．如果被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移与时间之间的函数关系为，，根据表达式回答下列问题.
（1）时，小球相对平衡位置的位移为多少？
（2）小球相对平衡位置的最大距离是多少？
（3）经过多长时间小球完成一次运动？
（4）小球1s内能运动多少次？
参考答案
1．C
解析：
先由解析式求出函数的周期，从而可求出频率
详解：
解：由题意得函数的周期为，
所以频率，所以此人每分钟心跳的次数为80．
故选：C
点睛：
此题考查三角函数模型的应用，属于基础题.
2．B
解析：将代入得．
考点：三角函数解析式的实际应用.
3．C
解析：
将分别代入与，可得.
详解：
当时，，，所以.
故选：C
点睛：
本题考查三角函数的应用，求三角函数的值，属于基础题.
4．B
解析：
根据简谐运动的概念判断AB，运动曲线与速度的关系判断CD．
详解：
由图象可知周期是，A错，振幅为，B正确；曲线上各点处的切线的斜率（导数值）才是相应的速度，质点在和时振动速度为0，C错，质点在和时的振动速度不为0，D错．
故选：B．
点睛：
本题考查简谐运动的图象，考查三角函数图象的物理意义，属于基础题．
5．D
解析：
根据三角函数图象变换规律确定选项.
详解：
因为纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到
故选：D
点睛：
本题考查三角函数图象变换，考查基本分析判断能力，属基础题.
6．C
解析：
直接代入函数解析式，再根据诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得；
详解：
解：因为，
所以当时，，，所以．
故选：C
点睛：
本题考查诱导公式及特殊角的三角函数的计算，属于基础题.
7．C
解析：
利用函数的最大值与最小值排除选项A，D，再利用函数的单调性排除选项B，从而得出符合题意的函数.
详解：
根据题意，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值因此排除选项A，D；
又当时，函数y是单调递增的，当时，函数y是单调递减的，由此排除选项B；
故选：C
点睛：
本题考查了三角函数的图像与性质的应用问题，属于基础题.
8．C
解析：
根据条件先确定周期从而求解出的值，设出与时间的函数关系式（注意秒针是顺时针方向转动），根据初始位置计算出的值从而求解出关系式.
详解：
由题意，函数的周期为，∴.
设函数解析式为（秒针是顺时针走动）.
∵初始位置为，∴时，.∴，可取.
∴函数的解析式为.
故选C.
点睛：
本题考查利用三角函数的实际模型求解函数解析式，难度一般.钟表问题的三角函数实际模型中，由于分针、时针、秒针都是顺时针转动，因此在确定的时候要注意取负值，这里依据的是角的正负的定义.
9．
解析：
利用周期计算公式求出，由最高亮度距离平均亮度0.2星等可求出A，由平均亮度可求出b，即可写出三角函数模型.
详解：
设所求函数为，由题意得，即，，，故．
故答案为：
点睛：
本题考查模型在实际问题中的应用，属于基础题.
10．3πx－π
解析：∵f＝，∴T＝，∴ω＝＝3π，
又φ＝－π，∴y＝sin(3πx－π)，
∴振动量y的相位是3πx－π.
11．y＝2sin
解析：A＝2，T＝2(0.5－0.1)＝0.8，
∴ω＝＝，
∴y＝2sin，将(0.1,2)代入得：×0.1＋φ＝，∴φ＝，∴y＝2sin.
12．
解析：
由图设，由图象可知，，再求出，将代入函数的解析式得，即得解.
详解：
由图设．
由图象可知，，所以，
所以
将代入函数的解析式得，
所以
所以．
所以函数关系式为．
故答案为：
点睛：
本题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
13．（1）振幅，最小正周期，初相，频率；（2）答案见解析.
解析：
（1）根据函数解析式直接求解其振幅，初相，周期，由频率是周期的倒数可得频率.
(2)根据函数的图象变换规律，可得出答案.
详解：
（1）振幅，最小正周期，初相，频率．
（2） 将函数的图象先向左平移个单位长度，
再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
最后将图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），
即得函数的图象．
点睛：
本题重点考查了三角函数的图象与性质，三角函数图象变换等知识，，解题关键是分清构成三角函数中各个参数的取值情况．属于基础题.
14．（1）（2）.（3）
解析：
(1)代入求解即可.
(2)电压值重复出现一次的最短时间间隔即为求解最小正周期.
(3)由题意令再求解即可.
详解：
（1）当时,,即开始时的电压为.
（2）最小正周期,即时间间隔为.
（3）电压的最大值为,当时,,即第一次取得最大值的时间为第.
点睛：
本题主要考查了三角函数的实际运用,属于基础题.
15．（1）答案见解析（2）可用函数来近似描述这些数据.
解析：
(1)根据散点图的画法,即可求得答案;
(2)设时的体温,由图像可知:,,,结合已知,即可求得答案.
详解：
(1)散点图如图所示.
(2)设时的体温,
由图像可知:,,.

,取.
故可用函数来近似描述这些数据.
点睛：
本题考查了求解正弦型函数表达式和实际应用,解题关键是掌握正弦型函数的图像特征和基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
16．（1）.（2）2cm.（3）（4）.
解析：
（1）将代入求解即可；
（2）由的范围求得的最值即可；
（3）即求函数的最小正周期；
（4）利用求解即可
详解：
（1）时,,所以小球相对平衡位置的位移为
（2）因为,则当,即,因为,即时,,
所以小球相对平衡位置的最大距高为2cm
（3）小球完成一次运动就是一个周期,,则经过小球完成一次运动
（4）小球1s内能运动的次数为
点睛：
本题考查正弦型函数在实际中的应用,考查正弦型函数的最值问题,考查正弦型函数的周期
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