4.3 立体几何向量法大题专项练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.3 立体几何向量法大题专项练习（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-13 14:07:40 | ||
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文档简介
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一、解答题
1．如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，，AD＝CD＝，O是AC的中点，E是BD的中点．
（1）证明：DO⊥底面ABC；
（2）求二面角D-AE-C的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）证明：∵
AD＝CD＝，O是AC的中点，
∴
DO⊥AC．
∵
平面DAC⊥底面ABC，平面DAC∩底面ABC＝AC，
∴
DO⊥底面ABC．
（2）解：由条件易知DO⊥BO，BO⊥AC．
OA＝OC＝OD＝2，
OB＝
如图，以点O为坐标原点，OA为x轴，
OB为y轴，OC为z轴建立空间直角坐标系．
则，，，
，，
，，．
设平面ADE的一个法向量为，
则
即
令，则，所以．
同理可得平面AEC的一个法向量．
．
因为二面角D-AE-C的平面角为锐角,所以二面角D-AE-C的余弦值为．
2．如图，在梯形中，，，矩形中，，又有.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】证明：（1）在梯形中，，，
∴四边形是等腰梯形，
∴，，
∴，∴
又∵矩形中，，又有，，∴，
又∵∴平面，
（2）以C为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系：
，，，，.
所以，，…
设平面的法向量为，所以∴，
令，则，，∴，
，
∴直线与平面所成角的正弦值是．
3．如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是上一点.
（1）求证:平面平面；
（2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）平面，平面，得.
又，在中，得，
设中点为，连接，
则四边形为边长为1的正方形，所以，且，
因为，所以，
又因为，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）以为坐标原点，分别以射线?射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，
则，，.
又设，则，，，
，.
由且知，为平面的一个法向量.
设为平面的一个法向量，则，
即，取，，则，有，得，从而，.
设直线与平面所成的角为，则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
4．如图，已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，，，点F为线段AP的中点．
（Ⅰ）证明：平面ABC；
（Ⅱ）求直线BF与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）证明：在中，，，
由余弦定理可得，
因为，
所以，
又，，
所以面ABC．
（Ⅱ）在平面ABC中，过点C作，以C为原点，
，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面PBC的法向量为，
则
取，则，，即，
所以sinα＝，
故直线BF与平面PBC所成角的正弦值．
5．四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角正弦值.
【答案】（1）见解析，（2）
【解析】（1）证明：因为，为线段的中点，
所以，
在等腰梯形中，作于，
则由得，
所以，
所以，
因为，所以
所以∽,所以，
所以，
所以，
因为，，
所以平面，
因为在平面内，所以，
因为，在平面内，
所以平面；
（2）解：因为，，所以，,
取的中点，连接，则，
因为平面，所以，又
所以平面，
所以如图，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，则，
由（1）知平面，则平面的法向量，
设直线与平面所成角为，
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为
6．如图，在四棱锥中，为正三角形，四边形为直角梯形，，，平面平面，点，分别为，的中点，．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求平面与平面构成的锐二面角的余弦值．
【答案】（1），（2）
【解析】解：（1）取的中点，连接，
因为为正三角形，点为的中点，
所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，
因为四边形为直角梯形，，点为的中点，点为的中点，
所以，
因为，
所以平面，
因为在平面内，
所以平面平面，
过点作于点，连接，则平面，
所以直线与平面所成角为，
因为为正三角形，四边形为直角梯形，且，点为的中点，点为的中点，
所以，，，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
所以,
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（2）过作∥交于，则,
因为平面，所以，
所以以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则
,
则,
设平面的法向量为，则
，令，则，
设平面的法向量为，则
，令，则，
所以平面与平面构成的锐二面角的余弦值为
7．如图，已知平行四边形中，，，于点，现将沿翻折至，使得.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1），，平面平面
平面
平面，
又平面
平面
（2）平行四边形中，，，
结合翻折的性质得
由（1）可知，，又
建立如下图所示的空间直角坐标系，则
设，则，解得，
设平面的法向量为，则
即，令，则
易知平面的一个法向量为
由图可知，二面角为钝角
二面角的余弦值为
8．如图，五面体中，平面平面，而是直角梯形，等腰三角形，且//，，，，，.
（Ⅰ）求证：四边形为平行四边形；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）在直角梯形中，//.
因为平面，平面，
所以//平面.
因为平面，且平面平面，
所以//.
因为，所以四边形为平行四边形.
（Ⅱ）取的中点，连接，.
在等腰中，
因为平面平面，交线为，
又，所以平面.
所以，由题意易得.
建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
，，又，所以.
设平面的法向量为，
，，
则，即，
令，则，.
于是.
又平面的法向量为，
所以.
由题知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
试卷第1页，总3页
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一、解答题
1．如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，，AD＝CD＝，O是AC的中点，E是BD的中点．
（1）证明：DO⊥底面ABC；
（2）求二面角D-AE-C的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）证明：∵
AD＝CD＝，O是AC的中点，
∴
DO⊥AC．
∵
平面DAC⊥底面ABC，平面DAC∩底面ABC＝AC，
∴
DO⊥底面ABC．
（2）解：由条件易知DO⊥BO，BO⊥AC．
OA＝OC＝OD＝2，
OB＝
如图，以点O为坐标原点，OA为x轴，
OB为y轴，OC为z轴建立空间直角坐标系．
则，，，
，，
，，．
设平面ADE的一个法向量为，
则
即
令，则，所以．
同理可得平面AEC的一个法向量．
．
因为二面角D-AE-C的平面角为锐角,所以二面角D-AE-C的余弦值为．
2．如图，在梯形中，，，矩形中，，又有.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】证明：（1）在梯形中，，，
∴四边形是等腰梯形，
∴，，
∴，∴
又∵矩形中，，又有，，∴，
又∵∴平面，
（2）以C为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系：
，，，，.
所以，，…
设平面的法向量为，所以∴，
令，则，，∴，
，
∴直线与平面所成角的正弦值是．
3．如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是上一点.
（1）求证:平面平面；
（2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）平面，平面，得.
又，在中，得，
设中点为，连接，
则四边形为边长为1的正方形，所以，且，
因为，所以，
又因为，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）以为坐标原点，分别以射线?射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，
则，，.
又设，则，，，
，.
由且知，为平面的一个法向量.
设为平面的一个法向量，则，
即，取，，则，有，得，从而，.
设直线与平面所成的角为，则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
4．如图，已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，，，点F为线段AP的中点．
（Ⅰ）证明：平面ABC；
（Ⅱ）求直线BF与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）证明：在中，，，
由余弦定理可得，
因为，
所以，
又，，
所以面ABC．
（Ⅱ）在平面ABC中，过点C作，以C为原点，
，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面PBC的法向量为，
则
取，则，，即，
所以sinα＝，
故直线BF与平面PBC所成角的正弦值．
5．四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角正弦值.
【答案】（1）见解析，（2）
【解析】（1）证明：因为，为线段的中点，
所以，
在等腰梯形中，作于，
则由得，
所以，
所以，
因为，所以
所以∽,所以，
所以，
所以，
因为，，
所以平面，
因为在平面内，所以，
因为，在平面内，
所以平面；
（2）解：因为，，所以，,
取的中点，连接，则，
因为平面，所以，又
所以平面，
所以如图，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，则，
由（1）知平面，则平面的法向量，
设直线与平面所成角为，
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为
6．如图，在四棱锥中，为正三角形，四边形为直角梯形，，，平面平面，点，分别为，的中点，．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求平面与平面构成的锐二面角的余弦值．
【答案】（1），（2）
【解析】解：（1）取的中点，连接，
因为为正三角形，点为的中点，
所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，
因为四边形为直角梯形，，点为的中点，点为的中点，
所以，
因为，
所以平面，
因为在平面内，
所以平面平面，
过点作于点，连接，则平面，
所以直线与平面所成角为，
因为为正三角形，四边形为直角梯形，且，点为的中点，点为的中点，
所以，，，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
所以,
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（2）过作∥交于，则,
因为平面，所以，
所以以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则
,
则,
设平面的法向量为，则
，令，则，
设平面的法向量为，则
，令，则，
所以平面与平面构成的锐二面角的余弦值为
7．如图，已知平行四边形中，，，于点，现将沿翻折至，使得.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1），，平面平面
平面
平面，
又平面
平面
（2）平行四边形中，，，
结合翻折的性质得
由（1）可知，，又
建立如下图所示的空间直角坐标系，则
设，则，解得，
设平面的法向量为，则
即，令，则
易知平面的一个法向量为
由图可知，二面角为钝角
二面角的余弦值为
8．如图，五面体中，平面平面，而是直角梯形，等腰三角形，且//，，，，，.
（Ⅰ）求证：四边形为平行四边形；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）在直角梯形中，//.
因为平面，平面，
所以//平面.
因为平面，且平面平面，
所以//.
因为，所以四边形为平行四边形.
（Ⅱ）取的中点，连接，.
在等腰中，
因为平面平面，交线为，
又，所以平面.
所以，由题意易得.
建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
，，又，所以.
设平面的法向量为，
，，
则，即，
令，则，.
于是.
又平面的法向量为，
所以.
由题知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
试卷第1页，总3页
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