华师大版九年级下册：27.1.2 垂径定理 学案

27.1垂径定理
执笔：焦大峰
审核：林园
学习目标
1.掌握垂径定理，理解其探索和证明过程.
2.
能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.
学习重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论.
学习难点：对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理.
学习过程
一、一起探究
如图，在⊙O中，CD是直径，
AB为弦，且CD⊥AB，垂足为E．
问题：
1.这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
2.将⊙O沿CD所在的直线对折，哪些线段重合，哪些弧重合？
3.你能用一句话概括这些结论吗？
（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧）
4.你能用几何方法证明这些结论吗？（详见P58）
5.你能用符号语言表达这个结论吗？
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论：
如图，若直径CD平分弦AB，则_____________
1.
直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？
2.
你能用一句话总结这个结论吗？
3．如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？
推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
1、
典型例题
例1、已知：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，
圆心O到AB的距离为3cm.
求：⊙O的半径.
变式：在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，⊙O的半径为5cm.
求：弦AB的长为多少？
例2、如图，CD为⊙O的直径，AB为弦，且CD⊥AB垂足为E，
若ED=2，AB=8，求直径CD的长．
总结：在圆有关的问题时，常常构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理相结合的方法来解决.
例3、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C、D两点.
求证：AC=BD.
三、1.本节课你学到了哪些数学知识？
2.在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些基本的数学方法？
3.在本节课的活动中，你认为自己表现如何？
课后作业：
填空题：
1.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD的高度为________m.
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2.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE=2，则BC=________.
3.如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是________.
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4.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为
，则点P的坐标为________．
5.⊙O的直径为20，弦AB长为12，点P是弦AB上一点，则OP的取值范围是________．
求解题：
1.《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，AE=1寸，CD=10寸，那么直径AB的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出AB的长．www.21-cn-jy.com
2.在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油.其横截面如图.油面宽AB=600毫米.
（1）求油的最大深度；
（2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？
O
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B
E
C
A
D
C
D
O
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A
B
E
C
D
O
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A
B
E