课时作业2 任意角
[练基础]
1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是( )
A．45°
B．90°
C．180°
D．270°
2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )
A．120°
B．－120°
C．240°
D．－240°
3．与－457°角终边相同的角的集
[练基础]
1．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1)上的图象，则f(2
020)＋f(2
021)＝( )
A．3
B．2
C．1
D．0
2．f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝( )
A．－5
B．－
C.
D．5
3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3，f(x)＝x，则f(5.5)＝( )
A．5.5
B．－5.5
C．－2.5
D．2.5
4．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )
A．(1,3)
B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3)
D．(－1,0)∪(0,1)
5．设f(x)是定义在R上的以5为周期的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________.
6．如图是一单摆，摆球从点B到点O，再到点C用时1.6
s(不计阻力)．若从摆球在点B处开始计时，经过1
min后，请估计摆球相对于点O的位置．
[提能力]
7．[多选题]给出定义：若m－A．y＝f(x)的定义域是R，值域是
B．点(k,0)是y＝f(x)的图象的对称中心，k∈Z
C．函数y＝f(x)的周期为1
D．函数y＝f(x)在上是增函数
8．设f(x)是定义在R上周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝a∈R，若f＝f，则f(5a)的值是________．
9．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
[战疑难]
10．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f(x＋T)＝T·f(x)，则称函数y＝f(x)是“似周期函数”，非零常数T为函数y＝f(x)的“似周期”．现有下面三个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”y＝f(x)的“似周期”为－1，那么它是周期为2的周期函数；
②函数f(x)＝x是“似周期函数”；
③函数f(x)＝2－x是“似周期函数”；
其中是真命题的有________(填满足条件的序号)．
合是( )
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
4．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，则角α＝________.
5．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________________________________________________________________________．
6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：
(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.
[提能力]
7．[多选题]下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是( )
A．α＋β＝180°
B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
C．α＋β＝k·360°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)
8．已知角α的终边与30°角的终边关于y轴对称，则α＝________.
9．已知α与240°角的终边相同，判断是第几象限角．
[战疑难]
10．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
课时作业2 任意角
1．解析：根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．
答案：B
2．解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D.
答案：D
3．解析：263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写作α＝k·360°＋263°，k∈Z.
答案：C
4．解析：由条件知，2α＝α＋k·360°，所以α＝k·360°(k∈Z)，因为α∈[0°，360°)，所以α＝0°.
答案：0°
5．解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
答案：{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}
6．解析：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．
(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．
(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°.因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．
7.
解析：假设α、β为0°～180°内的角，如图所示，因为α、β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以A满足条件；结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)，所以D满足条件，BC都不满足条件．
答案：AD
8．解析：与30°角的终边关于y轴对称的角可取150°，故α＝k·360°＋150°，k∈Z.
答案：k·360°＋150°，k∈Z
9．解析：由α＝240°＋k·360°，k∈Z，
得＝120°＋k·180°，k∈Z.
若k为偶数，设k＝2n，n∈Z，
则＝120°＋n·360°，n∈Z，与120°角的终边相同，是第二象限角；
若k为奇数，设k＝2n＋1，n∈Z，
则＝300°＋n·360°，n∈Z，与300°角的终边相同，是第四象限角．
所以，是第二象限角或第四象限角．
10．解析：(1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由(1)得终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，
则终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．
(3)终边落在直线ON上的角的集合为
C＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，
则终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为
S＝{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．§2 任意角
最新课标
了解任意角的概念
2.1 角的概念推广
2．2 象限角及其表示
[教材要点]
要点一 角的概念推广
1．角的概念：平面内一条________线绕着它的端点旋转到终止位置，形成角．
2．角的分类：按________方向旋转形成的角叫正角，按______方向旋转形成的角叫负角．如果一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角．
(1)表示角时，箭头的方向代表角的正负，因此箭头不能丢掉；顺时针旋转形成负角常常被忽视；(2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”．
要点二 象限角
在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与________重合，角的始边与x轴的________重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角________任何一个象限．
要点三 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝____________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与____________的和．
(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．
(2)k·360
°与α中间用“＋”连接，k·360
°－α可理解成k·360
°＋(－α)．
(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360
°的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．
[教材答疑]
[教材P7思考交流]
当角α为锐角，则角α＋180°的终边与α的终边关于原点对称，见图1；角α－180°的终边与α的终边关于原点对称，见图2；角180°－α的终边与α的终边关于y轴对称，见图3.
当角α是任意角，它们的关系同上．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)第一象限的角一定是锐角．( )
(2)终边相同的角一定相等．( )
(3)小于90°的角一定是锐角．( )
(4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．( )
2．手表时针走1小时转过的角度是( )
A．60°
B．－60°
C．30°
D．－30°
3．与53°角终边相同的角是( )
A．127°
B．233°
C．－307°
D．－127°
4．2
019°是第________象限角．
题型一 任意角的概念及应用——自主完成
1．[多选题]下列说法不正确的是( )
A．第一象限的角一定是正角
B．三角形的内角不是锐角就是钝角
C．锐角小于90°
D．终边相同的角相等
2．将表的分针拨慢30分钟，则这个过程中时针转过的角度是( )
A．10°
B．15°
C．30°
D．－30°
3．在下列说法中：
①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．
其中错误说法的序号为________．
方法归纳
与角的概念有关问题的解决方法
正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
题型二 终边相同的角——师生共研
例1 写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1
080°范围内与75°角终边相同的角．
根据与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360
°＋α，k∈Z}，写出与75
°角终边相同的角的集合，再取适当的k值，求出360
°～1
080
°范围内的角．
方法归纳
(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤
①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．
(2)终边相同角常用的三个结论
①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
跟踪训练1 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足－360°≤α<720°的元素写出来．
(1)60°；
(2)－210°；
(3)364°13′.
题型三 象限角与区域角的表示——微点探究
微点1 象限角的判定
例2 [多选题]若α是第二象限角，则所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
除了运用分类讨论思想解决此类问题外，还可以用下图来求解．
微点2 区域角的表示
例3 写出如图所示阴影部分(包括边界)的角α的范围．
方法归纳
区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：
(1)按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，并将该范围内的区域角表示为{x|α(3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区域角的范围．
跟踪训练2 (1)[多选题]已知α是第一象限角，那么是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．
易错辨析 对终边相同的角理解不透彻致误
例4 终边落在直线y＝x上的角的集合为________．
解析：与45°角终边相同的角的集合S1＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}；
与225°角终边相同的角的集合S2＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}．
所以终边落在直线y＝x上的角的集合为S＝S1∪S2＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)180°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}．
答案：{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}
易错警示
易错原因
纠错心得
对终边相同的角理解不透彻，导致在由S＝S1∪S2运算中出错．错答为：{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}
准确理解终边相同角(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
§2 任意角
2．1 角的概念推广 2.2 象限角及其表示
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．射 2.逆时针 顺时针
要点二
原点 非负半轴 不属于
要点三
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 整数个周角
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：－×360°＝－30°.
答案：D
3．解析：与53°角终边相同的角是53°＋k·360°，k∈Z，当k＝－1时，角为－307°.
答案：C
4．解析：∵2
019°＝360°×5＋219°，180°<219°<270°.
∴2
019°是第三象限角．
答案：三
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：－355°是第一象限的角，但不是正角，所以A错误；三角形的内角还可能是90°，所以B错误；锐角小于90°，C正确；45°角与405°角的终边相同，但不相等，所以D错误．故选ABD.
答案：ABD
2．解析：分针拨慢，则时针逆时针旋转，故时针转过的角度为正数．又因为分针拨慢30分钟，时针逆时针旋转0.5个小时，所以×360°＝15°.
答案：B
3．解析：①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以①不正确．
②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．
③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③正确．
④锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．
答案：①②④
题型二
例1 解析：与75°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．
当360°≤β<1
080°，即360°≤k·360°＋75°<1
080°时，解得≤k<2.又k∈Z，所以k＝1或k＝2.
当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°～1
080°范围内的角为435°角和795°角．
跟踪训练1 解析：(1)∵S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝－1时，α＝－300°；当k＝0时，α＝60°；当k＝1时，α＝420°.
∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－300°，60°，420°.
(2)∵S＝{α|α＝－210°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝0时，α＝－210°；当k＝1时，α＝150°；当k＝2时，α＝510°.
∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－210°，150°，510°.
(3)∵S＝{α|α＝364°13′＋k·360°，k∈Z}．
当k＝－2时，α＝－355°47′；当k＝－1时，α＝4°13′；当k＝0时，α＝364°13′.
∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－355°47′，4°13′，364°13′.
题型三
例2 解析：∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°，k∈Z.当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)；当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)．∴的终边位于第一或第三象限．故选AC.
答案：AC
例3 解析：(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式，所以图(1)阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°≤α≤45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与360°－60°＝300°角终边相同的角可写成300°＋k·360°，k∈Z的形式，所以图(2)阴影部分的角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．
跟踪训练2 解析：(1)∵k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z，
∴k·180°<<45°＋k·180°，k∈Z.
当k＝2n，n∈Z时，n·360°<<45°＋n·360°，n∈Z，
∴是第一象限角．
当k＝2n＋1，n∈Z时，180°＋n·360°<<45°＋180°＋n·360°(n∈Z)，
∴在第三象限．故选AC
(2)若角α的终边落在OA上，则α＝30°＋k·360°，k∈Z.
若角α的终边落在OB上，则α＝135°＋k·360°，k∈Z.
所以，角α的终边落在图中阴影区域内时，
30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z.
故角α的取值集合为{α|30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
答案：(1)AC (2)见解析(共34张PPT)
§2 任意角
2.1 角的概念推广
2．2 象限角及其表示
