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§3 弧度制
3.1 弧度概念
3．2 弧度与角度的换算§3 弧度制
最新课标
了解弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
3.1 弧度概念
3．2 弧度与角度的换算
[教材要点]
要点一 度量角的两种制度
角度制
定义
用____作为单位来度量角的单位制
1度的角
周角的____为1度的角，记作1°
弧度制
定义
以____为单位来度量角的单位制
1弧度的角
长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1
________
正确理解弧度与角度的概念
区别
(1)定义不同；(2)单位不同：弧度制以“
弧度”为单位，角度制以“
度”为单位
联系
(1)不管以“
弧度”还是以“
度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值；(2)“
弧度”与“角度”之间可以相互转化
要点二 弧度数的计算
1．正角：正角的弧度数是一个________．
2．负角：负角的弧度数是一个________．
3．零角：零角的弧度数是____．
4．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝______.
要点三 角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝________
2π
rad＝________
180°＝________
π
rad＝________
1°＝________≈0.017
45
rad
1
rad＝________≈57.30°
度数×＝弧度数
弧度数×°＝度数
角度制与弧度制换算公式的理解
(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算．
(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同．
要点四 扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
1．弧长公式：l＝________.
2．扇形面积公式：S＝________＝________.
[教材答疑]
如图：
对于任意一个负数a，它对应x轴负半轴上的点A，把线段OA按顺时针方向缠绕到圆M上，点A对应单位圆上点A′，这样就得到一个以点M为顶点，以MO为始边，经过顺时针旋转以MA′为终边的圆心角β，该角的弧度数为负数b.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)1
rad的角和1°的角大小相等．( )
(2)用弧度来表示的角都是正角．( )
(3)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关．( )
(4)扇形的半径为1
cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝|α|r＝30
cm.( )
2．下列各种说法中，错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1
rad的角是周角的
C．根据弧度的定义，180°的角一定等于π
rad的角
D．利用弧度制度量角时，它与圆的半径长短有关
3．将864°化为弧度为( )
A. B.
C.
D.π
4．扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________.
题型一 角度与弧度的换算——自主完成
1．把－1
125°化为2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式是( )
A．－6π－
B．－6π＋
C．－8π－
D．－8π＋
2．把－化成角度是( )
A．18°
B．－18°
C．36°
D．－36°
3．小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是( )
A.
B.
C．－
D．－
方法归纳
进行角度制与弧度制的互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π
rad，充分利用1°＝rad和1
rad＝°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α
rad＝°；n°＝n·.
提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．
(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．
(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
题型二 用弧度制表示角的集合——师生共研
例1 已知角α＝2
005°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．
(1)用弧度数表示与角α终边相同的角连同角α在内的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．
(2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并．
跟踪训练1 (1)终边在直线y＝－x上的所有角的集合是( )
A.
B.
C.
D.
(2)用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
题型三 弧长公式和扇形面积公式的应用——师生共研
例2 (1)已知扇形的周长为10
cm，面积为4
cm2，求扇形圆心角的弧度数．
(2)已知一扇形的周长为40
cm，求它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
在求解的过程中要注意：①看清角的度量制，选用相应的公式；②扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题．
变式探究 将本例(2)中的条件改为“扇形的面积为4
cm2，当扇形周长最小时”，求扇形圆心角的弧度数．
方法归纳
弧长公式和扇形面积公式的应用类问题的解决方法：①将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，因此解决这些问题通常采用弧度制．一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0,2π)；②利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式．
跟踪训练2 (1)一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)已知扇形的圆心角为120°，半径为
cm，则此扇形的面积为________
cm2.
易错辨析 忽略角度度量单位的一致性致误
例3 [多选题]下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．2kπ＋(k∈Z)
解析：与的终边相同的角可以写成2kπ＋或45°＋k·360°，k∈Z，则C、D正确．
答案：CD
易错警示
易错原因
纠错心得
选项A、B中角度的表示同时用到了角度制和弧度制，这不符合要求．错选ABCD.
在一个题中，角度制和弧度制只能选一种，不能两种同时使用，这一点一定要注意规范.
§3 弧度制
3．1 弧度概念 3.2 弧度与角度的换算
新知初探·课前预习
要点一
度 弧度 半径长 rad
要点二
正数 负数 0
要点三
2π
rad 360° π
rad 180°
rad °
要点四
α·R lR α·R2
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的半径大小无关，故选D.
答案：D
3．解析：864°＝864×＝，故选C.
答案：C
4．解析：∵216°＝216×＝，l＝α·r＝r＝30π，
∴r＝25.
答案：25
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：－1
125°＝－3×2π－＝－4×2π＋＝－8π＋.
答案：D
2．解析：－＝－×°＝－36°.
答案：D
3．解析：由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转弧度．
答案：B
题型二
例1 解析：(1)∵2
005°＝2
005×
rad＝
rad＝rad，又π<<，
∴角α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)，
由－5π≤2kπ＋<0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.
∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－，－，－.
跟踪训练1 解析：(1)直线y＝－x过原点，它是第二、四象限的角平分线所在的直线，故在0～2π范围内终边在直线y＝－x上的角有两个：，.因此终边在直线y＝－x上的角的集合
S＝∪＝＝.
(2)对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－，60°角的终边即的终边，∴所求集合为.
对于题图(2)，同理可得，所求集合为α∪＝.
答案：(1)D (2)见解析
题型三
例2 解析：(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l
cm，半径为r
cm，
依题意有
将①代入②得r2－5r＋4＝0，解得r＝1或r＝4.
当r＝1时，l＝8，此时θ＝8
rad>2π
rad，舍去；
当r＝4时，l＝2，此时θ＝＝(rad)．∴θ＝
rad.
(2)设扇形的圆心角为θ，半径为r
cm，弧长为l
cm，面积为S
cm2，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r，
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝(20－r)r＝－(r－10)2＋100.
∴当r＝10时，扇形的面积最大．
这个最大值为100
cm2，这时θ＝＝＝2
rad.
变式探究 解析：设此扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则扇形的面积S＝lr＝αr·r＝αr2＝4，
所以αr＝，设扇形的周长为L，
则L＝2r＋αr＝2r＋，r∈(0，＋∞)，
由L＝2r＋≥2＝8
当2r＝，即r＝2时，等号成立．
所以当r＝2时，扇形的周长L取得最小值，
此时扇形的圆心角α＝＝＝2.
跟踪训练2 解析：(1)设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，由扇形的弧长为6，面积为6.
则解得α＝3，
即扇形的圆心角为3
rad.
(2)设扇形的圆心角为α，弧长为l
cm，半径为R
cm，面积为S
cm2，
因为120°＝120×
rad＝(rad)，
所以l＝αR＝×＝(cm)．
所以S＝lR＝××＝π(cm2)．故填π.
答案：(1)C (2)π课时作业3 弧度概念 弧度与角度的换算
[练基础]
1．1
920°的角化为弧度数为( )
A.
B.
C.π
D.π
2．已知α＝－2
rad，则角α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的值是( )
A．－π
B．－2π
C．π
D．－π
4．若三角形三内角之比为3:4:5，则三内角的弧度数分别是________．
5．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．
6．如图，扇形OAB的面积是4
cm2，它的周长是8
cm，求扇形的圆心角及弦AB的长．
[提能力]
7．若一个扇形的半径变为原来的倍，弧长变为原来的倍，则扇形的圆心角变为原来的( )
A．3倍
B．2倍
C.倍
D.倍
8．密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6
000密位制，即将一个圆周分成6
000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于________rad.
9．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10
cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
[战疑难]
10．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有32齿，小轮有18齿．当小轮转动两周时，大轮转动的角为________rad；如果小轮的转速为180转/分，大轮的半径为16
cm，则大轮周上一点每1秒转过的弧长为________cm.
课时作业3 弧度概念 弧度与角度的换算
1．解析：∵1°＝rad，∴1
920°＝1
920×rad＝π
rad.
答案：D
2．解析：∵1
rad＝°，∴α＝－2
rad＝－≈－114.6°.故角α的终边在第三象限．
答案：C
3．解析：∵－π＝－2π＋＝2×(－1)π＋.
∴θ＝－π.
答案：A
4．解析：设三角形三内角弧度数分别为3k,4k,5k，则由3k＋4k＋5k＝π，得k＝，所以3k＝，4k＝，5k＝.
答案：，，
5．解析：135°＝＝，所以扇形的半径为＝4，
面积为×3π×4＝6π.
答案：4 6π
6．解析：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，
弧长为l
cm，半径为R
cm，
依题意有
由①②得R＝2，l＝4，∴θ＝＝2.
过O作OC⊥AB，则OC平分∠BOA，
又∠BOA＝2
rad，
∴∠BOC＝1
rad，
∴BC＝OB·sin
1＝2sin
1(cm)，
∴AB＝2BC＝4sin
1(cm)．
故所求扇形的圆心角为2
rad，弦AB的长为4sin
1
cm.
7．解析：设α1＝，则α2＝＝3＝3α1.
答案：A
8．解析：∵圆周角等于2π，∴1密位＝＝，∴60密位＝·60＝.
答案：
9．解析：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝αR＝(cm)．
S弓＝S扇－S△＝××10－×10×10×cos
＝50(cm2)．
(2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴α＝，
∴S扇＝αR2＝··R2＝(c－2R)R
＝－R2＋cR＝－2＋.
当且仅当R＝，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是.
10．解析：设大齿轮和小齿轮旋转的角速度分别为ω1、ω2，在转动时，两齿轮转过的齿轮数相等，当小轮转动两周时，转过的齿轮数为18×2＝36，
则大齿轮转动的角为×2π＝π(rad)．
由题意可知，＝＝，
∴ω1＝ω2＝×3＝(转/秒)，
所以，大轮周上一点每1秒转过的弧长为
16××2π＝54π(cm)．
答案： 54π
