§1 周期变化
最新课标
了解周期性的概念和几何意义.
[教材要点]
要点 周期函数
1．一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足________，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．
2．如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个________数，那么这个________数就称作函数y＝f(x)的最小正周期．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)周期函数的周期有无数个．( )
(2)若函数f(x)＝x2满足f(－3＋6)＝f(－3)，则它是以6为周期的函数．( )
(3)钟表的分针每小时转一圈，它的变化是周期变化．( )
(4)函数f(x)＝(－1)[x]不是周期函数．( )
2．下列现象是周期现象的是( )
①日出日落 ②潮汐 ③海啸 ④地震
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．③④
3．如果今天是星期六，那么16天后的那一天是( )
A．星期一
B．星期三
C．星期四
D．星期五
4．已知函数f(x)是周期为5的奇函数，则f(2
020)＝________.
题型一 周期性的判断——自主完成
1．下列函数图象中，不具有周期性的是( )
2．下列图象中，是不是周期变化，如果是，写出它的周期，如果不是，请说明理由．
(1)
(2)
(3)
(4)
方法归纳
一些变化是不是周期变化，其判断的依据是周期变化的特征，即每次都以相同的间隔出现，而且变化是无差别的重复出现．
题型二 利用周期性求函数值——师生共研
例1 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( )
A．－2
B．2
C．－98
D．98
变式探究1 本例中的条件“f(x＋4)＝f(x)”改为“f(x＋2)＝－f(x)”，其它条件不变，结果如何呢？
变式探究2 本例中的条件“f(x＋4)＝f(x)”改为“f(x＋2)＝”，其它条件不变，结果如何呢？
变式探究3 本例中的条件“f(x＋4)＝f(x)”改为“f(x＋2)＝－”，其它条件不变，结果如何呢？
方法归纳
判断函数周期性的三个常用结论
(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2a是它的一个周期．
(2)f(x＋a)＝(a≠0)，则函数f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
(3)f(x＋a)＝－(a≠0)，则函数f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
题型三 利用函数的周期性求函数解析式——师生共研
例2 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；
(2)若f(x)＝(0方法归纳
(1)遇到周期问题，要学会区间转移，将未知区间中的x加减整周期，转化到已知区间，再将含x式子代入已知函数．
(2)遇到周期性＋奇偶性综合问题，可根据条件，求出一个周期上的函数关系．
跟踪训练 函数f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[0,1]时，f(x)＝3x－1，求f(x)在[4,5]上的解析式．
第一章 三角函数
§1 周期变化
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
1．f(x＋T)＝f(x) 2.最小的正 最小正
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．解析：显然日出日落和潮汐是周期现象．故选A.
答案：A
3．解析：因为16＝7×2＋2，而今天是星期六，所以16天后的那一天是星期一．
答案：A
4．解析：由题意知f(2
020)＝f(5×404)＝f(0)＝0.
答案：0
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：C中，x∈[－2,2]之间的图象在前后都没有重复出现．
答案：C
2．解析：(1)是周期变化，周期为π.
(2)是周期变化，周期为π.
(3)不是周期变化，因为每段的端点不一致，不是重复出现．
(4)是周期变化，周期为1.
题型二
例1 解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数，
∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)．
又∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(－1)＝－f(1)
而当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2，
∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A.
答案：A
变式探究1 解析：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的函数．
(下同例1)．
变式探究2 解析：∵f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝＝＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的函数．
(下同例1)．
变式探究3 解析：∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝－＝－＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的函数．
(下同例1)．
题型三
例2 解析：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)，
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)．
故f(x＋2)＝－f(x)，
从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即f(x)是周期为4的周期函数．
(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数有f(0)＝0，x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－，
故x∈[－1,0]时，f(x)＝－，
x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0)
f(x)＝f(x＋4)＝－
从而x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－.
跟踪训练 解析：当x∈[4,5]时，则x－4∈[0,1]，∴f(x－4)＝3x－4－1，又函数f(x)的周期为2，∴f(x－4)＝f(x)＝3x－4－1，故f(x)＝3x－4－1，x∈[4,5]．(共22张PPT)
§1 周期变化课时作业1 周期变化
[练基础]
1．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1)上的图象，则f(2
020)＋f(2
021)＝( )
A．3
B．2
C．1
D．0
2．f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝( )
A．－5
B．－
C.
D．5
3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3，f(x)＝x，则f(5.5)＝( )
A．5.5
B．－5.5
C．－2.5
D．2.5
4．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )
A．(1,3)
B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3)
D．(－1,0)∪(0,1)
5．设f(x)是定义在R上的以5为周期的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________.
6．如图是一单摆，摆球从点B到点O，再到点C用时1.6
s(不计阻力)．若从摆球在点B处开始计时，经过1
min后，请估计摆球相对于点O的位置．
[提能力]
7．[多选题]给出定义：若m－A．y＝f(x)的定义域是R，值域是
B．点(k,0)是y＝f(x)的图象的对称中心，k∈Z
C．函数y＝f(x)的周期为1
D．函数y＝f(x)在上是增函数
8．设f(x)是定义在R上周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝a∈R，若f＝f，则f(5a)的值是________．
9．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
[战疑难]
10．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f(x＋T)＝T·f(x)，则称函数y＝f(x)是“似周期函数”，非零常数T为函数y＝f(x)的“似周期”．现有下面三个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”y＝f(x)的“似周期”为－1，那么它是周期为2的周期函数；
②函数f(x)＝x是“似周期函数”；
③函数f(x)＝2－x是“似周期函数”；
其中是真命题的有________(填满足条件的序号)．
课时作业1 周期变化
1．解析：由图象知f(1)＝1，f(－1)＝2，
由题意知f(2
020)＋f(2
021)＝f(3×673＋1)＋f(3×673＋2)
＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(－1)＝1＋2＝3.故选A.
答案：A
2．解析：∵f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝＝＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的函数
∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)
又f(－1)＝＝＝－，故选B.
答案：B
3．解析：∵f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝－＝－＝f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的一个周期为4.
∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(5.5)＝f(1.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)＝2.5，∴故选D.
答案：D
4．解析：f(x)的图象如图，当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；
当x∈(0,1)时，由xf(x)>0得x∈?；
当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)，
故x∈(－1,0)∪(1,3)，故选C.
答案：C
5．解析：由题意可知f(8)＝f(8－10)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，
f(14)＝f(14－15)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
∴f(8)－f(14)＝－2－(－1)＝－1.
答案：－1
6．解析：由题意知，该摆球摆一个来回需用时3.2
s，
因为1
min＝60
s＝(18×3.2＋2.4)
s，而2.4
s－1.6
s＝0.8
s，
所以1
min后摆球在点O处．
7．解析：由题意知，{x}－答案：AC
8．解析：∵f＝f＝f＝f，
∴f＝＝，f＝－＋a，
∴－＋a＝，解得a＝，
∴f(5a)＝f(3)＝f(1)＝f(－1)＝－1＋＝－.
答案：－
9．解析：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，
由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2
又f(x)是奇函数
∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)
又f(x)是周期为4的周期函数
∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
故当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
10．解析：若函数y＝f(x)的“似周期”为－1，则f(x－1)＝－f(x)＝f(x＋1)，即它是周期为2的周期函数，①正确；若f(x)＝x是“似周期函数”，则存在非零常数T，对任意x∈R满足f(x＋T)＝x＋T＝Tf(x)＝Tx，显然不可能，②错误；若f(x)＝2－x是“似周期函数”，则存在非零常数T，对任意x∈R满足f(x＋T)＝2－(x＋T)＝Tf(x)＝T·2－x，即2－T＝T＝T，而已知函数y＝x，y＝x的图象有一个交点，即非零常数T存在，所以③正确．
答案：①③
