4.3 诱导公式与对称
[教材要点]
要点一 特殊角的终边的对称关系
1．角－α的终边与角α的终边关于________对称．
2．角α±π的终边与角α的终边关于________对称．
3．角π－α的终边与角α的终边关于________对称．
要点二 诱导公式
－α：sin(－α)＝________
cos(－α)＝________
α＋π：sin(α＋π)＝________
cos(α＋π)＝________
α－π：sin(α－π)＝________
cos(α－π)＝________
π－α：sin(π－α)＝________
cos(π－α)＝________
①记忆方法：－α、α±π、π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”．
②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin
α.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若α＋β＝π，则α与β的终边关于y轴对称．( )
(2)诱导公式中的角α一定是锐角．( )
(3)存在角α，使sin(π＋α)＝sin
α，cos(π－α)＝cos
α.( )
(4)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin
C．( )
2．sin
600°的值是( )
A.
B．－
C.
D．－
3．若sin(π＋α)＝－，则sin(4π－α)的值是( )
A．－
B.
C．－
D.
4．已知cos(α－π)＝，则cos(π＋α)＝________.
题型一 利用诱导公式求值——微点探究
微点1 给角求值
例1 (1)sin·cos的值是( )
A．－
B.
C．－
D.
(2)sin2120°＋cos
180°－cos2(－330°)＋sin(－210°)＝________.
方法归纳
利用诱导公式解决给角求值问题的方法
(1)“负化正”，用－α的诱导公式；
(2)“大化小”，用2kπ＋α(k∈Z)的诱导公式将角化为0到2π间的角；
(3)“小化锐”用π±α的诱导公式将大于的角转化为锐角；
(4)“锐角求值”．微点2 给值求值
例2 (1)已知cos＝，则cos的值是________．
(2)设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a，b，α，β为非零常数．若f(2
019)＝1，则f(2
020)＝________.
方法归纳
解决条件求值问题的方法
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
跟踪训练1 (1)cos
240°＝( )
A．－
B．－
C.
D.
(2)若sin＝，则sin＝________.
题型二 利用诱导公式化简——师生共研
例3 (1)化简＝( )
A．cos
α
B．sin
α
C．－sin
α
D．－cos
α
(2)化简：＝________.
方法归纳
三角函数式化简的关键是抓住2kπ＋α(k∈Z)，－α，α±π，π－α这几组的诱导公式，它们的特点都是同名间的关系，不同的是符号的变化．
跟踪训练2 (1)化简：1－cos(α－2π)cos(π＋α)－2cos2(－α)＝________.
(2)化简：＝________.
易错辨析 忽略讨论参数的取值致误
例4 化简(n∈Z)的结果为________．
解析：当n＝2k(k∈Z)时，
原式＝＝＝－sin
α，
当n＝2k＋1(k∈Z)时
原式＝
＝＝sin
α，
所以化简所得的结果为(－1)n＋1sin
α(n∈Z)．
易错警示
易错原因
纠错心得
没有对n分类讨论.
由于本题中含n(n∈Z)，正弦、余弦值的符号受n的限制，因此要按n为偶数与奇数两种情况进行分类讨论.
4．3 诱导公式与对称
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
x轴 原点 y轴
要点二
－sin
α cos
α －sin
α －cos
α －sin
α －cos
α sin
α －cos
α
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：sin
600°＝sin(600°－720°)＝sin(－120°)＝－sin
120°＝－sin
60°＝－.
答案：D
3．解析：∵sin(π＋α)＝－，
∴sin
α＝，sin(4π－α)＝－sin
α＝－.
答案：A
4．解析：∵cos(α－π)＝－cos
α＝，
∴cos(π＋α)＝－cos
α＝.
答案：
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：(1)sin·cos＝sin·cos＝·＝·＝.故选D.
(2)原式＝sin260°＋(－1)－cos230°＋sin
30°＝2＋(－1)－2＋＝－.
答案：(1)D (2)－
例2 解析：(1)cos＝cos
＝－cos＝－.
(2)f(2
019)＝asin(2
019π＋α)＋bcos(2
019π＋β)＋2
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2
＝－asin
α－bcos
β＋2＝1，
即asin
α＋bcos
β＝1.
∴f(2
020)＝asin(2
020π＋α)＋bcos(2
020π＋β)＋2＝asin
α＋bcos
β＋2＝3.
答案：(1)－ (2)3
跟踪训练1 解析：(1)cos
240°＝cos(180°＋60°)＝－cos
60°＝－.
(2)∵sin＝－sin＝，∴sin＝－，
∴sin＝sin＝sin＝－.
答案：(1)A (2)－
题型二
例3 解析：(1)原式＝＝－cos
α.故选D.
(2)原式＝＝＝－2.
答案：(1)D (2)－2
跟踪训练2 解析：(1)原式＝1－cos
α·(－cos
α)－2cos2α＝1＋cos2α－2cos2α＝1－cos2α.
(2)原式＝＝＝2.
答案：(1)1－cos2α (2)2(共21张PPT)
4.3 诱导公式与对称课时作业6 诱导公式与对称
[练基础]
1．cos＝( )
A．－
B.
C．－
D.
2．[多选题]下列四个等式正确的是( )
A．sin(360°＋300°)＝sin
300°
B．cos(180°－300°)＝cos
300°
C．sin(180°＋300°)＝－sin
300°
D．cos(－300°)＝cos
300°
3．已知sin(π＋α)＝－，则sin(－5π＋α)等于( )
A．－
B.
C.
D．－
4．化简所得的结果是( )
A．sin
α
B．－sin
α
C．cos
α
D．－cos
α
5．化简：＝________.
6．(1)sin(－1
395°)cos
1
110°＋cos(－1
020°)sin
750°；
(2)sin＋cos.
[提能力]
7．[多选题]若α＋β＝π，则下列等式中成立的是( )
A．cos
α＝cos
β
B．cos
α＝－cos
β
C．sin
α＝sin
β
D．sin
α＝－sin
β
8．若f(n)＝sin(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
018)＝________.
9．化简：.
[战疑难]
10．求sin·cos(n∈Z)的值．
课时作业6 诱导公式与对称
1．解析：cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.故选C.
答案：C
2．解析：B中，cos(180°－300°)＝－cos
300°，B错误，A、C、D正确．
答案：ACD
3．解析：∵sin(π＋α)＝－sin
α＝－，∴sin
α＝，∴sin(－5π＋α)＝sin(－π＋α)＝－sin
α＝－.故选A.
答案：A
4．解析：原式＝＝cos
α，故选C.
答案：C
5．解析：原式＝＝＝－1.
答案：－1
6．解析：(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin
45°cos
30°＋cos
60°sin
30°
＝×＋×＝＋＝.
(2)原式＝sin＋cos
＝sin＋cos
＝＋＝0.
7．解析：由α＋β＝π得α＝π－β.
∴cos
α＝cos(π－β)＝－cos
β，
sin
α＝sin(π－β)＝sin
β，故B、C正确．
答案：BC
8．解析：f(1)＝sin＝，f(2)＝sin＝，f(3)＝sin
π＝0，f(4)＝sin＝－，f(5)＝sin＝－，f(6)＝sin
2π＝0，f(7)＝sin＝sin＝f(1)，f(8)＝f(2)，……，∵f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
018)＝f(1)＋f(2)＋336×0＝.
答案：
9．解析：方法一：当n＝2k，k∈Z时，
原式＝＝.
当n＝2k＋1，k∈Z时，
原式＝＝－.
所以原式＝
方法二：原式＝＝.
10．解析：方法一 ①当n为奇数时，原式＝sin·(－cos)＝sin·＝sin·cos＝×＝.
②当n为偶数时，原式＝sin·cos＝sin·cos＝sin·＝×＝－.
综上可知，原式＝(－1)n＋1.
方法二 原式＝sin·(－1)ncos＝sin·(－1)ncos＝sin·(－1)n·(－cos)＝(－1)n××＝(－1)n＋1.
