4.4 诱导公式与旋转
[教材要点]
要点 ±α与α的诱导公式
sin＝________，cos＝________.
sin＝________，cos＝________.
(1)记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”．
(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．
(3)这八组诱导公式可归纳为“k·90
°±α(k∈Z)”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k为偶数时得角α的同名三角函数值，当k为奇数时得角α的异名三角函数值，然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号，可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)存在角α，使sin＝sin
α.( )
(2)α＋可以看作角α的终边旋转了.( )
(3)对于α＋(n∈Z)的诱导公式，公式的等号两边三角函数名不同．( )
(4)在△ABC中，若A＋B＝，则均有sin
A＝cos
B，cos
A＝sin
B．( )
2．化简：sin＝( )
A．sin
x B．cos
x
C．－sin
x
D．－cos
x
3．已知sin
θ＝，则cos(450°＋θ)的值是( )
A. B．－
C．－
D.
4．sin
95°＋cos
175°的值为________．
题型一 利用诱导公式求值——微点探究
微点1 给角求值
例1 求值：cossin＋sin·cos＝________.
微点2 给值求值
例2 已知sin(π＋α)＝，则cos的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
方法归纳
利用诱导公式求值的两个关注点
(1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一．
(2)函数名称：对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名．
提醒：当角比较复杂时，要注意分析两个角之间是否具有互余、互补关系，或两个角的和、差为特殊角等，常见的如±α，＋α与－α的关系．
跟踪训练1 (1)cos等于( )
A.
B.
C．－
D．－
(2)已知sin(－α)＝，则cos的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
题型二 利用诱导公式化简——师生共研
例3 化简：.
方法归纳
对于角α＋，其中n＝1,2,3,4，…，k(k∈Z)的诱导公式：当n取奇数时，公式的等号两边一个是正弦函数，另一个是余弦函数；当n取偶数时，公式的等号两边都是正弦函数或都是余弦函数，其符号由角所在的象限决定．
跟踪训练2 化简：·sin(α－2π)·cos(2π－α)．
题型三 诱导公式的综合应用——师生共研
例4 已知f(α)＝
(1)化简f(α)；
(2)若sin＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
方法归纳
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，即用诱导公式化简变形，达到角的统一．
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．
跟踪训练3 已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，求的值．
4．4 诱导公式与旋转
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
cos
α sin
α cos
α －sin
α
[基础自测]
1．(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．解析：sin＝sin＝sin＝cos
x.
答案：B
3．解析：cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin
θ＝－.
答案：B
4．解析：sin
95°＋cos
175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos
5°－cos
5°＝0.
答案：0
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：原式＝cossin＋sincos
＝·sin＋sincos
＝·cos＋·
＝×＋×
＝.
答案：
例2 解析：∵sin(π＋α)＝－sin
α＝，∴sin
α＝－，
∴cos＝－sin
α＝－＝.
答案：A
跟踪训练1 解析：(1)cos＝cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.故选C.
(2)∵sin(－α)＝－sin
α＝，∴sin
α＝－，
∴cos＝－sin
α＝－＝.故选A.
答案：(1)C (2)A
题型二
例3 解析：原式＝
＝
＝1.
跟踪训练2 解析：原式＝·[－sin(2π－α)]·cos(－α)＝·sin
α·cos
α
＝sin2α.
题型三
例4 解析：(1)f(α)＝
＝＝－cos
α.
(2)∵sin＝－sin
＝－sin
＝sin
＝cos
α＝，
∴f(α)＝－cos
α＝－.
(3)α＝－π时，f(α)＝－cos
α＝－cos＝－cos＝－cos＝－.
跟踪训练3 解析：因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P，
所以a2＋＝1(a<0)，所以a＝－，所以sin
α＝，cos
α＝－，
所以原式＝＝－·＝×＝2.(共21张PPT)
4.4 诱导公式与旋转课时作业7 诱导公式与旋转
[练基础]
1．如果cos(π＋A)＝－，那么sin等于( )
A．－ B.
C．－
D.
2．下列式子与sin相等的是( )
A．sin
B．cos
C．cos
D．sin
3．若sin(π－α)＝－，那么cos的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
4．若sin＝，cos＝，则等于( )
A．1
B．－1
C.
D．－
5．求值：cos＋cos＋cos＋cos＝________.
6．(1)求值：cos＋sin
(2)化简：
[提能力]
7．[多选题]若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中不成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos
C
B．sin(A＋B)＝－sin
C
C．cos＝sin
B
D．sin＝cos
8．已知角α的终边在直线y＝x上，则＝________.
9．已知＝，求.
[战疑难]
10．已知f(x)＝则f＋f的值为( )
A．3
B．－3
C．2
D．－2
课时作业7 诱导公式与旋转
1．解析：cos(π＋A)＝－cos
A＝－，
∴cos
A＝，
∴sin＝cos
A＝.
答案：B
2．解析：因为sin＝－sin＝－cos
θ，
对于A，sin＝cos
θ；
对于B，cos＝－sin
θ；
对于C，cos＝cos
＝－cos＝－sin
θ；
对于D，sin＝sin
＝－sin＝－cos
θ.
答案：D
3．解析：∵sin(π－α)＝sin
α＝－，
∴cos＝cos
＝cos
＝－sin
α＝－＝.故选A.
答案：A
4．解析：∵sin＝，cos＝，∴cos
α＝，sin
α＝－，∴原式＝＝＝＝.故选C.
答案：C
5．解析：原式＝cos＋cos＋cos＋cos＝cos＋cos－cos－cos＝0.
答案：0
6．解析：(1)原式＝cos＋
＝－cos－sin
＝－－sin
＝sin＋sin＝2sin＝2×＝.
(2)原式＝
＝＝.
7．解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos
C，
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin
C，故A、B错误．
又A＋C＝π－B，∴＝，
∴cos＝cos＝sin，故C错误．
又∵B＋C＝π－A，∴sin＝sin＝cos，故D正确．故选A、B、C.
答案：ABC
8．解析：因为角α的终边在直线y＝x上，所以sin
α＝cos
α＝或sin
α＝cos
α＝－，∴＝＝＝＝－1.
答案：－1
9．解析：由＝，
得：16cos
α－4sin
α＝3sin
α＋2cos
α
∴sin
α＝2cos
α
∴＝＝＝＝＝2.
10．解析：f＝sin＝sin＝，f＝f－1＝f－2＝sin－2＝－，∴f＋f＝－＝－2.
答案：D
