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4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义课时作业4 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
[练基础]
1．当α＝时，cos
α＝( )
A．－
B．－
C.
D.
2．若角α的终边与单位圆相交于点，则sin
α的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
3．若角α的终边过点P(－4,3)，则2sin
α＋cos
α的值为( )
A．－
B.
C．－或
D．1
4．已知P(－，y)为角β的终边上的一点，且sin
β＝，则y的值为( )
A．±
B.
C．－
D．±2
5．已知锐角α的终边交单位圆于点P，则sin
α＝________，cos
α＝________.
6．已知角α的终边上一点P(－，m)，且sin
α＝m，求sin
α与cos
α的值．
[提能力]
7．[多选题]已知角α的终边经过点(m，－2m)(其中m≠0)，则sin
α＋cos
α等于( )
A．－
B.
C．－
D.
8．点P从点(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1按顺时针方向运动弧度到达Q点，则点Q的坐标为________．
9．已知角α的终边在直线y＝－2x上，求sin
α，cos
α的值．
[战疑难]
10．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为________．
课时作业4 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
1．解析：角α＝的终边与单位圆的交点坐标为，所以cos
α＝－，故选B.
答案：B
2．解析：已知交点在单位圆上，根据三角函数的定义可知sin
α＝－.
答案：B
3．解析：由题意知，sin
α＝，cos
α＝－，则2sin
α＋cos
α＝2×－＝.
答案：B
4．解析：r＝
，sin
β＝＝＝>0，解得y＝或y＝－(舍去)．
答案：B
5．解析：由题意得cos
α＝.又角α为锐角，∴α＝60°，∴sin
α＝.
答案：
6．解析：由已知，得m＝，
解得m＝0或m＝±.
①当m＝0时，cos
α＝－1，sin
α＝0；
②当m＝时，cos
α＝－，sin
α＝；
③当m＝－时，cos
α＝－，sin
α＝－.
7．解析：∵角α的终边经过点(m，－2m)，其中m≠0，则当m>0时，x＝m，y＝－2m，r＝|m|＝m，sin
α＝＝＝－，cos
α＝＝＝，sin
α＋cos
α＝－.当m<0时，x＝m，y＝－2m，r＝|m|＝－m，sin
α＝＝＝，cos
α＝＝＝－，sin
α＋cos
α＝.综上可得，sin
α＋cos
α＝±.故选A、B.
答案：AB
8．解析：由题意可得点Q的横坐标为cos＝，点Q的纵坐标为sin＝－sin
＝－，故点Q的坐标为.
答案：
9．解析：设角α终边上一点P(a，－2a)(a≠0)，
则r＝＝|a|.
当a>0时，α终边在第四象限，r＝a.
∴sin
α＝＝－，cos
α＝＝.
当a<0时，α终边在第二象限，r＝－a.
∴sin
α＝＝，cos
α＝＝－.
10．解析：∵角α的终边上一点坐标为M，即M，故点M在第四象限，所以角α的最小正值为.
答案：§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
最新课标
借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦)的定义，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式.
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
[教材要点]
要点 任意角的正弦函数和余弦函数
1．给定任意角α，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，则v＝________，u＝________.
2．利用角的终边上任意一点的坐标定义正、余弦函数
如图所示，在角α终边上任取一点P(x，y)，设|OP|＝r，则sin
α＝________＝________，cos
α＝________＝________.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)三角函数值的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关．( )
(2)若角α的终边与以原点为圆心，以2为半径的圆交于点(，1)，则可以认为sin
α＝1.( )
(3)若角α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上异于原点的一点，则cos
α＝.( )
2．已知角α的终边与单位圆交于点，则sin
α的值为( )
A．－ B．－
C.
D.
3．已知角α的终边过点(3，－4)，则cos
α＝( )
A.
B．－
C.
D．－
4．若锐角β的终边过点(1，m)，且cos
β＝，则m＝________.
题型一 已知角，求三角函数值——自主完成
1．如图所示，直线l的倾斜角为，且与单位圆交于P，Q两点，则点P的横坐标是( )
A.
B．－
C.
D．－
2．已知α＝，则sin
α＝________，cos
α＝________.
方法归纳
作出角α的终边与单位圆相交，求出交点坐标，利用正、余弦函数的定义求解．
题型二 已知角α终边上一点求三角函数值——师生共研
例1 若角α的终边与单位圆的交点是P，则sin
α＝________，cos
α＝________.
变式探究1 本例中条件改为“角α的终边经过点P(－1，)”，则sin
α＝________，cos
α＝________.
变式探究2 本例中的条件改为“角α的终边落在直线x＋y＝0上”，求sin
α，cos
α.
方法归纳
已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin
α＝，cos
α＝.
已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练 (1)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos
α＝－，则sin
α＋cos
α＝________.
(2)已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin
α，cos
α.
易错辨析 利用三角函数定义求值时，忽略参数的范围致错．
例2 已知角α的终边经过点P(2a＋1，a－2)，且cos
α＝－，则实数a的值是________．
解析：|OP|＝＝(O为坐标原点)，由余弦函数的定义知，＝－，化简得11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a＝，又2a＋1<0，即a<－，所以a＝－2.
答案：－2
易错警示
易错原因
纠错心得
因为cos
α＝＝－<0，所以2a＋1<0，这是很多学生容易忽略的地方，也就是出错的原因.
当已知角α的终边上的点的坐标含参数时，一定要结合sin
α(或cos
α)来确定参数的范围，谨防上当.
§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
1．sin
α cos
α
2.
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)×
2．解析：根据任意角的正弦定义，可得sin
α＝y＝－.
答案：B
3．解析：∵x＝3，y＝－4，∴r＝5.∴cos
α＝＝.
答案：C
4．解析：∵cos
β＝＝，∴m＝±2.又∵角β是锐角，∴m＝2符合题意．
答案：2
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：因为cos
＝－，故选B.
答案：B
2．解析：在平面直角坐标系中，作∠AOB＝，如图所示．
易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为.
故sin
α＝－，cos
α＝.
答案：－
题型二
例1 解析：因为点P在单位圆上，所以由正、余弦函数的定义可知sin
α＝，cos
α＝－.
答案： －
变式探究1 解析：因为角α的终边经过点P(－1，)，所以|OP|＝＝2，由正、余弦函数的定义有：sin
α＝，cos
α＝－.
答案： －
变式探究2 解析：直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1,
)，则r＝＝2，所以sin
α＝，cos
α＝－；在第四象限取直线上的点
(1，－)，则r＝
＝2，所以sin
α＝－，cos
α＝.
跟踪训练 解析：(1)因为cos
α＝＝－，
解得：x＝，∴|OP|＝
＝，
∴sin
α＝＝－.
∴sin
α＋cos
α＝－－＝－.
(2)①当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1,2)，则点P到原点的距离为，所以sin
α＝＝，cos
α＝＝.
②当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(－1，－2)，则|OQ|＝，所以sin
α＝＝－，cos
α＝＝－.
答案：(1)－ (2)见解析
