课时作业5 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
[练基础]
1．sin(－140°)cos
740°的值( )
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．不确定
2．若sin
θcos
θ<0，则角θ是( )
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第二或第四象限角
3．函数y＝的定义域是( )
A.
B.
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
4．若函数y＝2sin
x＋a的最大值为－2，则a的值等于( )
A．2
B．－2
C．0
D．－4
5．若sin
x＝a－1有意义，则a的取值范围是________．
6．求下列函数的最大值和最小值，并分别写出分别取得最大值和最小值时自变量x的值．
(1)y＝－3sin
x＋1，x∈R；
(2)y＝cos
x＋1，x∈.
[提能力]
7．[多选题]已知x∈，则函数y＝＋的值可能为( )
A．－2
B．0
C．1
D．2
8．已知＝－，且lg(cos
α)有意义，则角α所在的象限为________．
9．求函数f(x)＝2sin2x＋14sin
x－1的最大值与最小值．
[战疑难]
10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P，Q从点A(1,0)出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P，Q两点在第2
019次相遇时，点P的坐标为________．
课时作业5 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
1．解析：因为－140°为第三象限角，故sin(－140°)<0.
因为740°＝2×360°＋20°，所以740°为第一象限角，
故cos
740°>0，
所以sin(－140°)cos
740°<0.故选B.
答案：B
2．解析：设角θ终边上一点的坐标为(x，y)，该点到原点的距离为r(r>0)，则sin
θcos
θ＝·<0，即xy<0，所以角θ终边上点的横、纵坐标异号，故角θ是第二或第四象限角．
答案：D
3．解析：要使函数有意义，则1－2cos
x≥0，即cos
x≤，解得：＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，故选C.
答案：C
4．解析：由已知得2＋a＝－2，所以a＝－4.
答案：D
5．解析：要使sin
x＝a－1有意义，则－1≤a－1≤1，即0≤a≤2.
答案：[0,2]
6．解析：(1)因为函数y＝sin
x的最大值为1，此时x＝＋2kπ，k∈Z；最小值为－1，此时x＝－＋2kπ，k∈Z，所以函数y＝－3sin
x＋1的最大值为4，此时x＝2kπ－，k∈Z；最小值为－2，此时x＝2kπ＋，k∈Z.
(2)因为函数y＝cos
x在上递增，在上递减，且cos＝－，所以函数y＝cos
x在上的最大值为1，此时x＝0，最小值－，此时x＝，故函数y＝cos
x＋1在上的最大值为2，此时x＝0；最小值为，此时x＝.
7．解析：∵x∈，∴当x在第一象限时，y＝1＋1＝2.当x在第二象限时：y＝1－1＝0.当x在第三象限时：y＝－1－1＝－2.当x在第四象限时：y＝－1＋1＝0.故选ABD.
答案：ABD
8．解析：∵＝－，∴sin
α<0 ①，∵lg(cos
α)有意义，∴cos
α>0，②，由①②知角α在第四象限．
答案：第四象限
9．解析：因为f(x)＝2sin2x＋14sin
x－1＝22－，又－1≤sin
x≤1，
所以当sin
x＝1时，f(x)取最大值15；
当sin
x＝－1时，f(x)取最小值－13.
10．解析：因为点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，所以两点相遇1次的路程是单位圆的周长，即2π，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2
019次时，共用了2
019秒，所以此时点P所转过的弧度为＝＝＋336π，由终边相同的角的概念可知，与的终边相同，所以此时点P位于y轴上，故点P的坐标为(0,1)．
答案：(0,1)(共24张PPT)
4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
[教材要点]
要点一 正弦函数、余弦函数的基本性质
1．定义域：________.
2．最大(小)值：当α＝________(k∈Z)时，正弦函数v＝sin
α取得最大值________；
当α＝________________时，正弦函数v＝sin
α取得最小值________．
当α＝__________时，余弦函数u＝cos
α取得最大值________；当α＝____________时，余弦函数取得最小值________．
3．值域：________.
4．周期性：对任意k∈Z，sin(α＋2kπ)＝________，α∈R；对任意k∈Z，cos(α＋2kπ)＝________，α∈R，最小正周期为________．
5．单调性：正弦函数在区间________________上单调递增，在区间________________上单调递减．
余弦函数在区间________________上单调递增，在区间________________上单调递减．
要点二 正弦函数值和余弦函数值的符号
对三角函数值符号的理解
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：
(1)正弦值符号取决于纵坐标y的符号；
(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若sin
α>0，则α是第一或第二象限的角．( )
(2)正弦函数在第一象限是增函数．( )
(3)在区间[0,3π]上，函数y＝cos
x仅在x＝0时取得最大值1.( )
(4)余弦函数y＝cos
x在[0，π]上是减函数．( )
2．sin
780°的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
3．函数y＝－sin
x的值域是( )
A．[－1,1]
B.
C.
D.
4．若α是第三象限角，则点P(sin
α，cos
α)在第________象限．
题型一 正弦函数、余弦函数基本性质的应用——师生共研
可模仿y＝sin
x的有关性质来研究．
例1 已知函数y＝－3sin
x＋1.
(1)求函数的定义域、值域、周期、单调区间；
(2)求函数在区间上的最值．
变式探究 将本例中的“函数y＝－3sin
x＋1”改为“函数y＝2cos
x－4”，又如何呢？
方法归纳
对于形如y＝asin
x＋b的函数性质的研究可借助y＝sin
x的性质．要清楚a，b对函数y＝asin
x＋b的影响，若参数不确定还要注意分类讨论．
题型二 2kπ＋α(k∈Z)的正弦、余弦公式的应用——自主完成
求下列各式的值：
(1)sin
1
470°；
(2)cos；
(3)cos；
(4)sin(－1
395°)cos
1
110°＋cos(－1
020°)sin
750°.
方法归纳
要熟记公式sin(2kπ＋α)＝sin
α，cos(2kπ＋α)＝cos
α，该公式可以将任意角的正、余弦值转化为0～2π或0°～360°内的角的正、余弦值，再通过特殊角的函数值求解．
题型三 正、余弦函数值的符号判断及应用——师生共研
例2 (1)如果点P(sin
θ＋cos
θ，sin
θcos
θ)位于第二象限．那么角θ所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin(－670°)cos
1
230°；②sin
8·cos
8.
方法归纳
一个角的正、余弦函数值的符号取决于这个角的终边所在的象限，可用口诀简记为“一全正，三全负，二正弦，四余弦”(即第一象限角的正、余弦值全为正值，第三象限角的正、余弦值全为负值，第二象限角的正弦值为正，第四象限角的余弦值为正．
跟踪训练 (1)[多选题]下列三角函数值的符号判断正确的是( )
A．sin
156°>0
B．cosπ<0
C．sin
2<0
D．cos
2<0
(2)已知角α的终边经过点P(3a－9，a＋2)，且sin
α>0，cos
α<0，则a的取值范围是________．
4．2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．R
2．2kπ＋ 1 2kπ－(k∈Z) －1 2kπ(k∈Z) 1 (2k＋1)π(k∈Z) －1
3．[－1,1]
4．sin
α cos
α 2π
5.(k∈Z)
(k∈Z) [2kπ－π，2kπ](k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
[基础自测]
1．(1)× 若角α的终边落在y轴的非负半轴上，也有sin
α>0，此时角α不是第一或第二象限角．
(2)× (3)× (4)√
2．解析：sin
780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin
60°＝，故选B.
答案：B
3．解析：因为－1≤sin
x≤1，所以－≤－sin
x≤，即值域为.故选D.
答案：D
4．解析：∵α为第三象限角，
∴sin
α<0，cos
α<0，
∴P(sin
α，cos
α)位于第三象限．
答案：三
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：(1)由y＝sin
x的性质可得y＝－3sin
x＋1的性质如下：
定义域：R
值域：[－2,4]．
周期性：周期为2kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为2π.
单调性：由y＝sin
x在区间(k∈Z)上是增加的，在(k∈Z)上是减少的，知y＝－3sin
x＋1在区间(k∈Z)上是减少的，在区间(k∈Z)上是增加的．
(2)因为函数y＝sin
x在上是增加的，在上是减少的，且sin＝－，sin＝，
y＝sin
x在x＝－时取最小值－，在x＝时取最大值1.故y＝－3sin
x＋1在上的最大值是－3×＋1＝；最小值是－3×1＋1＝－2.
变式探究 解析：(1)由y＝cos
x的基本性质可知函数y＝2cos
x－4的性质如下：
定义域：R
值域：[－6，－2]．
周期：周期为2kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为2π.
单调区间：由y＝cos
x的单调性可知，y＝2cos
x－4在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增的，在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减的．
(2)因为函数y＝cos
x在上是递增的，在上是递减的，且cos＝－，所以y＝cos
x在x＝时取最小值－，在x＝0时取最大值1，故y＝2cos
x－4在上的最大值是－2，最小值是－5.
题型二
解析：(1)sin
1
470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin
30°＝；
(2)cos＝cos＝cos＝.
(3)cos＝cos＝cos＝－.
(4)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin
45°cos
30°＋cos
60°sin
30°
＝×＋×＝＋＝.
题型三
例2 解析：(1)因为点P位于第二象限，所以
从而有
所以角θ在第三象限，故选C.
(2)①因为－670°＝－2×360°＋50°，所以－670°角是第一象限角，则sin(－670°)>0.
又1
230°＝3×360°＋150°，
所以1
230°角是第二象限角，则cos
1
230°<0.
所以sin(－670°)cos
1
230°<0.
②因为2π＋π<8<2π＋π，
所以8
rad是第二象限角，
所以sin
8>0，cos
8<0，
故sin
8·cos
8<0.
答案：(1)C (2)见解析
跟踪训练 解析：(1)∵156°为第二象限角，∴sin
156°>0，A正确；∵＝2π＋为第三象限角，∴cosπ<0，B正确；∵2
rad为第二象限角，∴sin
2>0，cos
2<0，C错误，D正确．故选A、B、D.
(2)∵sin
α>0，cos
α<0，∴角α的终边在第二象限，
∴解得－2
答案：(1)ABD (2)(－2,3)