人教B版（2019）必修 第一册第二章 等式与不等式2.2.4均值不等式及其应用说课(共25张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）必修 第一册第二章 等式与不等式2.2.4均值不等式及其应用说课(共25张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 208.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-13 14:18:23 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
均值不等式
乐陵一中
耿欣
说教材
01
说学生
02
说教法学法
03
说教学过程
04
过程
说教材
01
1、教材的地位与作用
2、教学目标
3、教学重点与难点
教材的地位与作用：
均值不等式又称基本不等式，选自普通高中教科书人教B版必修一第二章第二节第四课内容，教参设计两课时，本节为第一课，主要讲均值不等式的推导及简单的应用。
均值不等式是不等式这一章的核心，在高中数学中有着比较重要的地位，对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等实际问题都起到工具性作用。通过本节的学习有利于学生对后面不等式的证明及函数的一些最值值域进一步研究，起到承前启后的作用。
教学目标：
1、知识与技能：
（1）掌握均值不等式以及其成立的条件；
（2）能运用均值不等式解决一些较为简单的问题。
2、过程与方法：
（1）探索并了解均值不等式的证明过程、体会均值不等式的证明方法；
（2）培养探究能力以及分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度与价值观：
（1）通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、钻研、合作精神；
（2）通过对均值不等式成立条件的分析，养成严谨的科学态度；
(3)认识到数学是从实际中来，通过数学思维认知世界。
教学重点、难点：
重点：理解并掌握均值不等式的推导以及应用。
难点：掌握均值不等式成立的条件。
说学生
02
学生已经学习了不等式的性质，对于比较大小的方法已经有了一定的了解。尽管学生尚不知道均值不等式的内容，但学生已对不等式的证明与应用有一定的认识。
在研究不等式的性质时，学生懂得了由形象到具体，然后再由具体到一般的科学处理方法，具备一定数学研究方法的感性认识。
高一学生具备一定的观察能力，但观察的深刻性及稳定性也都还有待于提高。
高一学生的学习心理具备一定的稳定性，有明确的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容。
2、说学生
说教法与学法
03
教学方法：
为了达到目标、突出重点、突破难点、解决疑点，我本着以教师为主导的原则，再结合本节的实际特点，确定本节课的教学方法。
突出重点的方法：我将通过引导启发、学生展示来突出均值不等式的推导；通过多媒体展示、精讲点拨来突出均值不等式及其成立的条件。
突破难点的方法：我将采用重复法（在课堂的每一环节，以各种方式进行强调均值不等式和其成立的条件）、辨析法（借助多媒体判断对错）、有效训练来突破均值不等式成立的条件这个难点。
学习方法：
在学生的学习中，注重知识与能力，过程与方法，情感态度和价值观三个方面的共同发展。充分体现学生是主体，具体如下：
1、课前预习----学会自主学习；
2、分组讨论----
合作探究、明确重点、解决疑点；
3、积极参与----敢于展示、大胆质疑、争相回答；
4、自主探究----学生实践，巩固提高；
说教学过程
04
情境导入、引入新课
此图是公元前1000多年前中国古代数学家赵爽发现并记录在《周脾算经》中的发现和证明勾股定理的《赵爽弦图》，它比欧洲毕达哥拉斯学派的发现早了500多年。
设计意图：由图引入，勾起学生强烈的民族自豪感和强烈的求知欲。
你能从这幅图中找出一些相等或不等关系吗？
情景与问题：
问题 给定两个正数a，b，数
称为a，b的算术平均值；数
称为a，b的几何平均值．两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢？
设计意图：开门见山地给出算术平均值和几何平均值的概念，为学生自己得出均值不等式及其几何意义做好准备。
【尝试与发现】（10分钟）
（1）假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；
（2）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据（1）说出结论的几何意义．
a
1
2
b
1
4
1
3
1
设计意图：让学生从熟悉的矩形和正方形入手发现算术平均值和几何平均值的几何意义，再通过自己的比较，猜想两个数值的大小关系。
新知探究
均值不等式 如果a，b都是正数，那么
，当且仅当a＝b时，等号成立．
设计意图：由表格可以得出大小关系，但此关系是否具有普遍性？课本采用的证明方法是做差法，证明过程不难，让学生自己证明，这样既能较好地复习不等式的性质和证明方法，又能帮助他们准确地理解定理中等号成立的条件。
深入探究
问题：均值不等式的实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．那么，均值不等式有什么几何意义呢？
将均值不等式两边平方可得
≥ab．
如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab，
可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．
如图所示半圆中，AB为直径，O为圆心．已知AC＝a，BC＝b，D为半圆上一点，且DC⊥AB，算出OD和CD，是否可以给出均值不等式的另一个几何意义？
探索与研究
A
B
D
O
C
在RtΔABD中，由于DC⊥AB，利用三角形相似可得CD＝
，又CO＝
，由图可知CO≥CD，所以
，
变形为a＋b≥2
．
结论：均值不等式的几何意义是：一个圆的直径大于等于垂直该直径的弦．
典例分析、合作探究（10分钟）
例1（1）已知x＞0，求y＝x＋
的最小值，并说明x为何值时y取得最小值．
（2）已知
并推导出等号成立的条件
（3）求
的最小值，以及取到最小值时x的值。
设计意图：（1）整体替换a,b,再应用均值不等式。（2）在利用均值不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”：（3）两个正数的积为常数时，它们的和有最小值．（4）利用均值不等式求最值时，等号必须取得到才能求出最值，若题设条件中的限制条件使等号不能成立，则要转换到另一种形式解答．
例2 （1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
方法总结：求实际问题中最值的一般思路：
（1）读懂题意，设出变量，列出函数关系式；
（2）把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题；
（3）在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不等式，当用均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑利用第三章要学习的函数的单调性求解．
（4）正确地写出答案，回归实际问题．
归纳小结
回顾本节课，你有什么收获？
（1）什么叫均值不等式？如何证明？
（2）均值不等式的几何意义是什么？
（3）如何利用均值不等式求最值？
拓展迁移，能力提高
1、已知a为大于0的常数，x＞0，求y＝x＋
的最小值，并求y取得最小值时相应的x的值；
2、已知x＜0，求y＝x＋
的最大值，并求y取得最大值时相应x的值；
3、已知
设计意图：通过课堂检测，深入理解均值不等式的内容，重点注意“一正二定三相等”的条件。
课后作业：
必做题：课本76页练习A---1、2、
选做题：77页习题A---8
必做题比较基础，就是例1的变式，学生必须完成。
选做题需要先进行一步化简，构造均值不等式的形式才可以用，这一步对
一些同学来说较难，可以选做，将在习题课中带领学生共同完成。
教学反思：
均值不等式的几何意义和推导是本节课的难点，从学生熟悉的矩形和同周长的正方形入手，得出不等式，再由学生自己动手证明，加深印象，随后又用圆的直径和弦长来辅以理解，突破了本节的难点。用均值不等式是这一节的重点，应用时经常不是a,b，所以要引导学生观察给出的形式，利用整体替换的方式得出均值不等式的类型，另外三相等是公式应用时最容易忽略的地方，提醒学生注意。本节当中主要练习了积为定值求和的最小值，关于和为定值求积的最大值下节课再练习。
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均值不等式
乐陵一中
耿欣
说教材
01
说学生
02
说教法学法
03
说教学过程
04
过程
说教材
01
1、教材的地位与作用
2、教学目标
3、教学重点与难点
教材的地位与作用：
均值不等式又称基本不等式，选自普通高中教科书人教B版必修一第二章第二节第四课内容，教参设计两课时，本节为第一课，主要讲均值不等式的推导及简单的应用。
均值不等式是不等式这一章的核心，在高中数学中有着比较重要的地位，对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等实际问题都起到工具性作用。通过本节的学习有利于学生对后面不等式的证明及函数的一些最值值域进一步研究，起到承前启后的作用。
教学目标：
1、知识与技能：
（1）掌握均值不等式以及其成立的条件；
（2）能运用均值不等式解决一些较为简单的问题。
2、过程与方法：
（1）探索并了解均值不等式的证明过程、体会均值不等式的证明方法；
（2）培养探究能力以及分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度与价值观：
（1）通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、钻研、合作精神；
（2）通过对均值不等式成立条件的分析，养成严谨的科学态度；
(3)认识到数学是从实际中来，通过数学思维认知世界。
教学重点、难点：
重点：理解并掌握均值不等式的推导以及应用。
难点：掌握均值不等式成立的条件。
说学生
02
学生已经学习了不等式的性质，对于比较大小的方法已经有了一定的了解。尽管学生尚不知道均值不等式的内容，但学生已对不等式的证明与应用有一定的认识。
在研究不等式的性质时，学生懂得了由形象到具体，然后再由具体到一般的科学处理方法，具备一定数学研究方法的感性认识。
高一学生具备一定的观察能力，但观察的深刻性及稳定性也都还有待于提高。
高一学生的学习心理具备一定的稳定性，有明确的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容。
2、说学生
说教法与学法
03
教学方法：
为了达到目标、突出重点、突破难点、解决疑点，我本着以教师为主导的原则，再结合本节的实际特点，确定本节课的教学方法。
突出重点的方法：我将通过引导启发、学生展示来突出均值不等式的推导；通过多媒体展示、精讲点拨来突出均值不等式及其成立的条件。
突破难点的方法：我将采用重复法（在课堂的每一环节，以各种方式进行强调均值不等式和其成立的条件）、辨析法（借助多媒体判断对错）、有效训练来突破均值不等式成立的条件这个难点。
学习方法：
在学生的学习中，注重知识与能力，过程与方法，情感态度和价值观三个方面的共同发展。充分体现学生是主体，具体如下：
1、课前预习----学会自主学习；
2、分组讨论----
合作探究、明确重点、解决疑点；
3、积极参与----敢于展示、大胆质疑、争相回答；
4、自主探究----学生实践，巩固提高；
说教学过程
04
情境导入、引入新课
此图是公元前1000多年前中国古代数学家赵爽发现并记录在《周脾算经》中的发现和证明勾股定理的《赵爽弦图》，它比欧洲毕达哥拉斯学派的发现早了500多年。
设计意图：由图引入，勾起学生强烈的民族自豪感和强烈的求知欲。
你能从这幅图中找出一些相等或不等关系吗？
情景与问题：
问题 给定两个正数a，b，数
称为a，b的算术平均值；数
称为a，b的几何平均值．两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢？
设计意图：开门见山地给出算术平均值和几何平均值的概念，为学生自己得出均值不等式及其几何意义做好准备。
【尝试与发现】（10分钟）
（1）假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；
（2）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据（1）说出结论的几何意义．
a
1
2
b
1
4
1
3
1
设计意图：让学生从熟悉的矩形和正方形入手发现算术平均值和几何平均值的几何意义，再通过自己的比较，猜想两个数值的大小关系。
新知探究
均值不等式 如果a，b都是正数，那么
，当且仅当a＝b时，等号成立．
设计意图：由表格可以得出大小关系，但此关系是否具有普遍性？课本采用的证明方法是做差法，证明过程不难，让学生自己证明，这样既能较好地复习不等式的性质和证明方法，又能帮助他们准确地理解定理中等号成立的条件。
深入探究
问题：均值不等式的实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．那么，均值不等式有什么几何意义呢？
将均值不等式两边平方可得
≥ab．
如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab，
可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．
如图所示半圆中，AB为直径，O为圆心．已知AC＝a，BC＝b，D为半圆上一点，且DC⊥AB，算出OD和CD，是否可以给出均值不等式的另一个几何意义？
探索与研究
A
B
D
O
C
在RtΔABD中，由于DC⊥AB，利用三角形相似可得CD＝
，又CO＝
，由图可知CO≥CD，所以
，
变形为a＋b≥2
．
结论：均值不等式的几何意义是：一个圆的直径大于等于垂直该直径的弦．
典例分析、合作探究（10分钟）
例1（1）已知x＞0，求y＝x＋
的最小值，并说明x为何值时y取得最小值．
（2）已知
并推导出等号成立的条件
（3）求
的最小值，以及取到最小值时x的值。
设计意图：（1）整体替换a,b,再应用均值不等式。（2）在利用均值不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”：（3）两个正数的积为常数时，它们的和有最小值．（4）利用均值不等式求最值时，等号必须取得到才能求出最值，若题设条件中的限制条件使等号不能成立，则要转换到另一种形式解答．
例2 （1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
方法总结：求实际问题中最值的一般思路：
（1）读懂题意，设出变量，列出函数关系式；
（2）把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题；
（3）在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不等式，当用均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑利用第三章要学习的函数的单调性求解．
（4）正确地写出答案，回归实际问题．
归纳小结
回顾本节课，你有什么收获？
（1）什么叫均值不等式？如何证明？
（2）均值不等式的几何意义是什么？
（3）如何利用均值不等式求最值？
拓展迁移，能力提高
1、已知a为大于0的常数，x＞0，求y＝x＋
的最小值，并求y取得最小值时相应的x的值；
2、已知x＜0，求y＝x＋
的最大值，并求y取得最大值时相应x的值；
3、已知
设计意图：通过课堂检测，深入理解均值不等式的内容，重点注意“一正二定三相等”的条件。
课后作业：
必做题：课本76页练习A---1、2、
选做题：77页习题A---8
必做题比较基础，就是例1的变式，学生必须完成。
选做题需要先进行一步化简，构造均值不等式的形式才可以用，这一步对
一些同学来说较难，可以选做，将在习题课中带领学生共同完成。
教学反思：
均值不等式的几何意义和推导是本节课的难点，从学生熟悉的矩形和同周长的正方形入手，得出不等式，再由学生自己动手证明，加深印象，随后又用圆的直径和弦长来辅以理解，突破了本节的难点。用均值不等式是这一节的重点，应用时经常不是a,b，所以要引导学生观察给出的形式，利用整体替换的方式得出均值不等式的类型，另外三相等是公式应用时最容易忽略的地方，提醒学生注意。本节当中主要练习了积为定值求和的最小值，关于和为定值求积的最大值下节课再练习。
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