2020-2021学年青岛新版九年级上册数学《第2章 解直角三角形》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年青岛新版九年级上册数学《第2章
解直角三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．△ABC的周长为36cm，∠C＝90°，tanA＝，则△ABC的面积是（　　）
A．30cm2
B．54cm2
C．60cm2
D．108cm2
2．若0°＜α＜45°，则下列各式中正确的是（　　）
A．sinα＞cosα
B．cosα＞sinα
C．cotα＜1
D．tanα＞cotα
3．若tanα＝2，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．1
4．若α是直角三角形的一个锐角，且cosα＝sin40°，则α的度数为（　　）
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
5．若2cosα﹣＝0，则锐角α＝（　　）
A．30°
B．15°
C．45°
D．60°
6．用计算器求sin20°+tan54°33′的结果等于（结果精确到0.01）（　　）
A．2.25
B．1.55
C．1.73
D．1.75
7．如图，∠α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点的横坐标是3，且tanα＝，则OP＝（　　）
A．3
B．4
C．
D．5
8．如图，C、D、B在同一直线上，∠ACB＝30°，∠ADB＝45°，CD＝14，∠ABC＝90°．那么AB＝（　　）
A．
+7
B．
+7
C．﹣7
D．
+7
9．如图，从小明家到学校有两条路．一条沿北偏东45°方向可直达学校前门，另一条从小明家一直往东到商店处，再向正北走100米到学校后门．若两条路的路程相等，学校南北走向，则学校从前门到后门的距离是（　　）
A．100米
B．100米
C．100米
D．100米
10．如图所示，两建筑物的水平距离为s米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低的建筑物的高为（　　）
A．s?tanβ米
B．s?tan（α﹣β）米
C．s（tanβ﹣tanα）米
D．米
二．填空题（共10小题）
11．如图，B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60
m，则点A到对岸BC的距离是　
　m．
12．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则cosA＝　
　．
13．用“＞”或“＜”连结：
cos18°　
　cos18°3′；
tan31°　
　tan32°；
tan29°30′　
　cot60°29′；
sin39°　
　cos51°；
cot30°　
　sin89°；
sinα+cosα　
　1（α为锐角）
14．用计算器计算：sin35°≈　
　（结果保留两个有效数字）．
15．周长为22的等腰三角形，一边长为8，则底角的余弦值为　
　．
16．某校数学兴趣小组在测量一座池塘边上A，B两点间的距离时用了以下三种测量方法，如图所示．图中a，b，c表示长度，β表示角度．请你求出AB的长度（用含有a，b，c，β字母的式子表示）．
（1）AB＝　
　；（2）AB＝　
　；（3）AB＝　
　．
17．在一坡比为1：7的斜坡上种有两棵小树，它们之间的距离AB为10米，则这两棵树的高度差BC为　
　米．
18．△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，sinB＝|n|﹣，则n＝　
　．
19．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且满足|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数为　
　．
20．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B地，此时观察目标C的俯角是50°，则这座山的高度CD是　
　米（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）
三．解答题（共7小题）
21．计算：
（1）sin60°+
cos45°+sin30°?cos30°；
（2）3tan30°﹣+cos0°?cos45°；
（3）+；
（4）cos21°+cos22°+…+cos288°+cos289°．
22．△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BD＝9，tanB＝，求AD、AC、BC．
23．如图，河流的两岸MN、PQ互相平行，河岸PQ上有一排间隔为50m的电线杆C、D、E…．某人在河岸MN的A处测得∠DAN＝38°，然后沿河岸走了120m到达B处，测得∠CBN＝70°．求河流的宽度CF．（结果精确到0.1m，参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
24．如图，新华都超市的自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角为9°，求扶梯的高度BC为多少米？（精确到0.1米）
25．在Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：a3cosA+b3cosB＝abc．
26．已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，BD为AC边上中线，求sin∠ABD和tan∠ABD的值．
27．如图，在湖边高出水面50m的山顶A处，望见一架直升机停留在湖面上空某处，观察到直升机底部标志P处的仰角为45°，又观察其在湖中之像P′的俯角为60°，试求直升机离湖面的高度h（观察时湖面处于平静状态）．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．解：∵tanA＝＝，
∴设AC＝3x，则BC＝4x，
根据勾股定理可以得到：AB＝5x，
则3x+4x+5x＝36，
解得：x＝3，
则AC＝9cm，BC＝12cm，AB＝15cm．
则△ABC的面积是：
AC?BC＝×9×12＝54cm2．
故选：B．
2．解：∵0°＜α＜45°，
∴sinα＜sin（90°﹣α）＝cosα，
∵tan45°＝cot45°＝1，
∴cotα＞1，tanα＜1，
∴cotα＞tanα．
故选：B．
3．解：因为tanα＝＝2，
∴原式＝＝＝＝．
故选：C．
4．解：∵cosα＝sin40°，
∴α＝90°﹣40°＝50°．
故选：D．
5．解：∵2cosα﹣＝0，
∴cosα＝，
∴α＝30°．
故选：A．
6．解：sin20°+tan54°33′
＝sin20°+tan54.55°
＝0.3420+1.4045
＝1.7465
≈1.75．
故选：D．
7．解：∵tanα＝＝，
∴P点的纵坐标为3tanα＝3×＝4．
OP的长为．
故选：D．
8．解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，故AB＝BD．
在Rt△ACB中，tan∠ACB＝，
解得AB＝7．
故选：D．
9．解：如图，由题意得∠DAB＝45°，BC＝100，AB+100＝AD，
∵cos∠DAB＝＝，
∴AB＝AD＝（AB+100），
解得：AB＝100+100，
∴BD＝AB＝100+100，
∴CD＝100（米）．
故选：A．
10．解：作AE∥BC，与CD延长线相交于E点．
由于两建筑物的水平距离为s米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，
在Rt△ACE中，CE＝tanβ?s；
在Rt△ADE中，DE＝tanα?s，
则CD＝s（tanβ﹣tanα）．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
11．解：由题意可得：∠A＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
AB＝AC＝BC×sin45°＝30．
∵面积S＝AB×AC＝BC×h，
∴h＝30．
故点A到对岸BC的距离是30米．
12．解：
从图形可知：AE＝4，CE＝2，
由勾股定理得：AC＝，
cosA＝＝＝，
故答案为：．
13．解：cos18°＞cos18°3′；
tan31°＜tan32°；
tan29°30′＜cot60°29′（cot60°29′＝tan29°31′）；
sin39°＝cos51°（cos51°＝sin39°）；
cot30°＞sin89°（cot30°＞cot45°＝1）；
sinα+cosα＞1（α为锐角）．
故答案为＞、＜、＜、＝、＞、＞．
14．解：sin35°≈0.5736≈0.57．
故答案为：0.57．
15．解：作AD⊥BC于D，
当腰长AB＝8时，底边长BC＝6，
则BD＝BC＝3，
cosB＝＝；
当底边长BC＝8时，腰长AB＝7，
则BD＝BC＝4，
cosB＝＝，
故答案为：或．
16．解：（1）在直角△ABC中，AB＝；
（2）在直角△ABC中，AB＝a?tanβ；
（3）△ABC∽△EDC，
∴＝，求得AB＝．
故答案为：、a?tanβ、．
17．解：由题意，BC：AC＝1：7，
在Rt△ABC中，AB＝10m，
设BC＝xm，则AC＝7xm，
∴x2+49x2＝100，
解得，x＝（m），
∴BC＝m．
故答案为：．
18．解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinB＝cosA，
∴|n|﹣＝，
∴|n|＝1，
∴n＝±1．
故答案为±1．
19．解：∵|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，
∴sinA＝，cosB＝．
∴∠A＝45°，∠B＝30°．
由三角形的内角和是180°可知∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
故答案为：105°．
20．解：设EC＝x，
在Rt△BCE中，tan∠EBC＝，
则BE＝＝x，
在Rt△ACE中，tan∠EAC＝，
则AE＝＝x，
∵AB+BE＝AE，
∴300+x＝x，
解得：x＝1800，
这座山的高度CD＝DE﹣EC＝3700﹣1800＝1900（米）．
故答案为：1900．
三．解答题（共7小题）
21．（1）sin60°+
cos45°+sin30°?cos30°；
＝×+×+×，
＝+
（2）3tan30°﹣+cos0°?cos45°；
＝3×﹣（﹣1）+1×，
＝﹣+1+，
＝1+，
（3）+；
＝+，
＝1﹣﹣，
＝﹣﹣，
（4）cos21°+cos22°+…+cos288°+cos289°．
＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…cos245°，
＝（cos21°+sin21°）+（cos22°+sin22°）+…cos245°，
＝1+1+…+，
＝44．
22．解：如图所示：∵∠ADB＝90°，tanB＝，BD＝9，
∴tanB＝＝＝，
解得：AD＝12，
故AB＝＝15，
tanB＝＝＝，
解得：AC＝20，
故BC＝＝25．
23．解：过点C作CG∥DA交AB于点G．
∵MN∥PQ，CG∥DA，
∴四边形AGCD是平行四边形．
∴AG＝CD＝50m，∠CGB＝38°．
∴GB＝AB﹣AG＝120﹣50＝70（m）．
∴tan38°＝＝0.78，
在Rt△BFC中，
tan70°＝＝2.75，
∴BF＝，
∴＝＝0.78，
解得：CF≈76.2（m）．
答：河流的宽是76.2米．
24．解：由题意，在Rt△ABC中，
∠A＝9°，有三角函数关系可知，
BC＝AB?sinα＝3.1米
即扶梯的高度约为3.1米．
25．证明：如图，cosA＝，cosB＝，
由勾股定理得，a2+b2＝c2，
所以a3?+b3?＝（a2+b2）＝?c2＝abc，
故a3cosA+b3cosB＝abc．
26．解：
过D作DE⊥AB于E，
设BC＝2a，则AC＝2a，AD＝CD＝a，
由勾股定理得：BD＝＝a，
由勾股定理得：AB＝＝2a，
∵∠A＝∠B＝45°，∠DEA＝90°，
∴AE＝DE＝AD×cosA＝×a＝a，
∵在Rt△BED中，由勾股定理得：BE＝＝a，
∴sin∠ABD＝＝＝，
tan∠ABD＝＝＝．
27．解：设AC＝x，在Rt△ACP中∠PAC＝45°，则∠P＝45°，
所以PC＝AC＝x，
∵山顶A处高出水面50m，
∴BC＝50，
∴BP′＝BP＝PC+BC＝x+50，
∵∠P′AC＝60°，
∴P′C＝tan60°?AC＝x，
∴BP′＝P′C﹣BC＝x﹣50，
∴x+50＝x﹣50，
x＝50（+1），
∴h＝PB＝50（+1）+50＝50+100（m），
答：直升机离湖面的高度是50+100m．