江苏省南京市金中、一中2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题 PDF版含解析

金中 、 一中 联考 2020-2021 学年度第一学期 期中
高一数学
一、 单项选择题 ： 本大题共 8小题 ,每小题 5分 ，共 40分 ，请把答案直接填写在答题卡相应位置上
1. 已知集合 ， ， 则 （ ） ．
A. B. C. D.
2. 命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.

3. 函数 的定义域为（ ） ．
A. B.
C. D.
4. 函数 的最小值为（ ） ．
A. B. C. D.
5. 函数 的图象大致为（ ） ．
A. B.
C. D.
6. 若函数 在 上 是 增函数 ， 则 实数 的 取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
7. 若关于 的不等式 有实数解，则 的取值范围是（ ） ．
A. B. C. D.

8. 若非空数集 满足“对于 ，都有 ，且当 时， ”，则称 是一个
“理想数集”，给出下列四个命题：
① 是任何“理想数集”的元素；
②若“理想数集” 有非零元素，则 ；
③集合 是一个“理想数集”；
④集合 是“理想数集” ．
其中真命题的个数是（ ） ．
A. B. C. D.

二 、 多项选择题：（ 本大题共 4小题 ,每小题 5分 ，共 20分 ．在 每小题给出的选项中，有 多项 符合题目要
求，全部选对得 5分 ，选对但不全的得 3分 ，有选错的得 0分）
9. 以下说法中正确的有（ ） ．
A. “ 是 定义在 上的偶函数”的含义是“存在 ，使得 ”
B. “ 是 定义在 上的增函数”的含义是“ ，当 时，有 ”
C. 设 ， 是两个非空集合，则 的含义是“对于 ， ”
D. 设 是 定义在 上的函数，则“ ”是“ 是 奇函数”的必要条件
10. 已知 ，则下 列 结论中正确的有 （ ）
A. 若 ， 则 B. 若 ， 则
C. 若 ， 则 D. 若 ， 则
11. 下列说法中不正确的有（ ） ．
A.设 是两个集合，若 ，则
B. 函数 与 为同一个函数
C. 函数 的最小值为
D. 设 是定义在 上的函数，则函数 是奇函数




12. 若函数 同时满足：
① 对于定义域内的 ，都有 ；
②对于定义域内的 ，当 时，都有 ，则称函数 为“颜值函数” ．
下 列 函数中，是“颜值函数”的有（ ） ．
A. B.
C. D.

三 、填空 题 ：本大题 共 4小题 ，每 小 题 5分 ， 共 20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上
13. 设 ，则“ ”是“ ”的 条件 （填“充分且不必要”“必要且不充分”
“充要”“既不充分也不必要”） ．
14. 已知函数 分别 是定义在 上 的偶函数和奇函数，且 ， 则
．
15. 在平面直角坐标系 中，若直线 与函数 的图象有且只有一个公共点，则实数
的值为 ．
16. 已知 ，则 的最小值为 ．

三、解答 题 ：本大题 共 6小题 ，共 70分，请把答案填写在答题卡相应位置上
17. （本小题 满分 10分）计算
⑴ ；
⑵ ．

18. （本小题 满分 12分）
设全集 ，已知 集合 ， ， ．
⑴ 求 和 ；
⑵ 若 ， 求实数 的 取值范围．



19. （ 本小题满分 12分）
设 函数 ， 已知 的 解集为区间 ．
⑴ 求 的 值 ；
⑵ 若函数 在 区间 上 的最小值为 ， 求实数 的 值 ．









20. （本小题 满分 12分）
根据试验 检测，一辆 P型运输汽车在高速公路上匀速行驶时，耗油 率 （ L/h） 近似 与车速（ km/h） 的
平方成正比，且当车速是 100km/h时 ，耗油率为 L/h．已知 两地 间有一条长 130km的高速公
路，最低限速 60km/h， 最高限速 120km/h． 若 某环保公司用一辆该型号运输车将垃圾从 地 转运至
地 ， 已知 过路费为 40元 ，支付给雇用司机的工资平均每小时 80元．假设汽油 的价格是 8元 /L， 汽车
匀速行驶（ 起步 、必要的减速或提速等忽略不计） ， 问：当行车速度为多少时，转运一次的总费用最
低？最低 为 多少元？ ．


21. （ 本小题 满分 12分）
已知 函数 为 奇函数 ．
⑴ 求实数 的 值 ；
⑵ 求证 ： 在 区间 上 是增函数；
⑶ 若 对任意的 ， 都有 ，求 实数 的取值范围 ．







22. （ 本小题 满分 12分）
设 是 上 的减函数，且 对 任意实数 ， 都有 ；函数
．
⑴ 判断函数 的 奇偶性，并证明 你的 结论 ；
⑵ 若 ， ， 且 （① 存在 ； ② 对 任意 ）， 不等式
成立 ，求实数 的 取值范围；
请从 以上两个条件中选择一个填在横线处，并完成求解 ．
⑶ 当 时 ，若关于 的 不等式 与 的 解集相等且非空，求 的 取值范围．


1.
【答案】 B；
【解析】 ，由交集定义知 选 B．
2.
【答案】 B；
【解析】 存在量词命题的否定，只需把存在量词改成全称量词，并把后面的结论否定， 故选 B．
3.
【答案】 D；
【解析】 由题意知， ，解得 ，故选 D．
4.
【答案】 C；
【解析】 当 时， 单调递减，所以 的最小值为 ，
当 时， ， 故选 C．
5.
【答案】 B；
【解析】 函数 为奇函数，且当 时， ， 故选 B．
6.
【答案】 B；
【解析】 由题意 可得 在 递增 ， 在 递增 ，
且 ，
即 ， ， ，
解得 ． 故选 B．
7.
【答案】 D；
【解析】 当 时，符合题意，当 时， ，解得 ，故选 D．
8.
【答案】 B；
【解析】 ① 是非空数集，所以存在 ，所以 ，故选项①正确；
②若 且 ，则 ，所以 ， ……，所以 ，故选项
②正确；
③如果 是“理想数集”，则 ，矛盾，故选项③错误；
④如果 是“理想数集”，则 ，矛盾，故选项④错误，
故选 B．
9.
【答案】 BCD；
【解析】 A选项， 要对任意 都成立 ， 错误 ；
B选项 ， 正确 ；
C选项， 正确 ；
D选项 ，如果 为奇函数，则 ，正确，
故 选 BCD．
10.
【答案】 AD；
【解析】 A选项，由 可得 ，则 ， A正确；
B选项，由 ， 是一个反例， B错误；
C选项， 是一个反例 ， C错误；
D选项， ， D正确；
故 选 AD．
11.
【答案】 BC；
【解析】 A选项， 若 ，则 ， A正确；
B选项， 定义域为 ， 定义域为 ， B错误；
C选项， ，但是 ，等号不能成立 ， C错误；
D选项 ，令 ，则 ， ，且 ， D正
确；
故 选 BC．
12.
【答案】 CD；
【解析】 由题意知，函数 是定义域上单调递减的奇函数，
A选项， 在是定义域上不是单调递减，故错误；
B选项， 不是奇函数，故错误；

C， D选项正确；
故 选 CD．
13.
【答案】 必要且不充分 ；
【解析】 的解集为 是 的子集，
故答案为必要且不充分 ．
14.
【答案】 2；
【解析】 令 可得 ， 由 分别 是定义在 上 的偶函数和奇函数
可得 ， ， 则 ．
15.
【答案】 1；
【解析】 令 ，可得
因为只有一个根，所以 ， ．
16.
【答案】 16；
【解析】 原式 ；
当且仅当 即 时取等
17.
【答案】 ⑴ 3； ⑵ ．
【解析】 ⑴ 原式 ；
⑵ 原式 ．
18. ．
【答案】 ⑴ ， ； ⑵ 或 ．
【解析】 ⑴ ， ，
则 ， ， ；
⑵ 因为 ，所以
① ， ，解得 ；
② ，即 ，
因为 ，
所以 ，解得 ；
综上 或 ．
19.
【答案】 ⑴ ； ⑵ ．
【解析】 ⑴ 由 的 解集为区间 可得 的 解为 ，
则 ， ， 则 ， 此时 即为 ， 满足题意 ；
⑵ ，
二次函数 在 递减 ， 递增 ，
① 即 时 ，
最小值 为 ， 则 ， 解得 不满足 ；
② 即 时 ，
最小值 为 ， 则 ，解得 或 ，
由 可得 ；
③ 即 时 ，
最小值 为 ， 不满足最小值为 ；
综上 ， ．
20.
【答案】 行车速度为 80km/h时 ， 转运一次的总费用最低 ， 最低为 300元 ．
【解析】 设车速 为 km/h时耗油率 L/h，由题意可得 ，
且 时 ， ， 则 ， 则 ， 则 ，
车速 为 km/h时 地 转运至 地所需 时间为 h，
耗油 L， 油费 元 ，司机 工资 元 ，过路费 40元 ，
则 总费用 ， ，
则 ， 当且仅当 即 时 等号成立，
答 ：行车速度为 80km/h时 ， 转运一次的总费用最低 ， 最低为 300元 ．
21.
【答案】 ⑴ 0； ⑵ 证明 详见解析 ； ⑶ ；
【解析】 ⑴ 由 为 奇函数，定义域为 ， 可得 ，
即 ， 解得 ，
此时 ， 对任意 ， ， 满足 为 奇函
数；
⑵ 对 任意 ， ，
，
由 ，可得 ， ， 则 ，
则 ， 则 在 区间 上 是增函数 ；
⑶ 由 在 区间 上 是增函数 ，
可得 对 任意 ， ,
则 ， 解得 或 ， 实数 的 取值范围是 ．
22.
【答案】 ⑴ 奇函数 ， 证明详见解析 ； ⑵ 详见解析 ．
【解析】 ⑴ 为 奇函数，证明如下：
令 可得 ， 则 ，
对任意 ， 令 ，可得 ， 则 ，
则 为 奇函数 ；
⑵ 时 ， ，
由 为 奇函数，可得 ，
可化为 ，
由 是 上 的减函数 ， 等价于 ，
即 ， 即 ，
若 选 ① ， 存在 ， ，
在 上为 增函数， 上 为减函数，最大值为 ，
则 ；
若选 ② ， 对任意 ， ，
在 上为 增函数， 上 为减函数，
时 等于 ， 时 等于 ， 最小值为 ，则 ；
⑶ 可 化为 ， ，
由 解集 非空可得 ，
此时 即 ， ，
则 有 两不等实根 ，
解集 为 ，
即 ，
则 与 解集 相 等 且非空 ；
则 ，且 ，
由 为 两根， 代入 可得 ，
则 ，
则 ， 即 ， 即 ，
由 ， 可得 ，
则 ．