北京市首师大附中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
文档属性
| 名称 | 北京市首师大附中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 620.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-13 14:38:23 | ||
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文档简介
首都师大附中2020-2021学年第一学期
高二数学期中考试（1-4）
第Ⅰ卷（共30分）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1.双曲线的方程为false，则其离心率为（ ）
A.false B.false C.false D.false
2.已知直线false：false与false：false平行，则false的值是（ ）
A.1或0 B.5 C.0或5 D.1或5
3.设false，false是两条不同的直线，false，false是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若false，false，则false
B.若false，false，则false
C.若false，false，false，则false
D.若false，false，false，则false
4.将6枚相同的硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且毎行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有（ ）种.
A.6 B.12 C.18 D,36
5.圆false：false与圆false：false的公切线的条数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.双曲线false的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A.false B.false C.false D.false
7.已知椭圆false的焦点为false，false.过点false的直线与false交于false，false两点，若false周长为8，则椭圆false的标准方程为（ ）
A.false B.false C.false D.false
8.如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为false，底面半径为false，一只小虫从圆锥的底面圆上的点false出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点false处，则该小虫爬行的最短路程为（ ）
A.false B.false
C.false D.false
9.要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ）
A.84 B.54 C.42 D.18
10.佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1中的false由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊.那么在图2这个六面体中，棱false与false所在直线的位置关系为（ ）
A.平行 B.相交
C.异面且垂直 D.异面且不垂直
第Ⅱ卷（共70分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11.在false的展开式中，常数项为________.（用数字作答）
12.false为抛物线false的焦点，false，false，false在抛物线上，若false，则false________.
13.某种产品的加工需要false，false，false，false，false五道工艺，其中false必须在false的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，false与false必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有________种.（用数字作答）
14.若方程false所表示的曲线为false，给出下列四个命题：
①若false为椭圆，则实数false的取值范围为false；
②若false为双曲线，则实数false的取值范围为false；
③曲线false不可能是圆；
④若false表示椭圆，且长轴在false轴上，则实数false的取值范围为false.
其中真命题的序号为________.（把所有正确命题的序号都填在横线上）
15.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排false，false，false，false，false五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有________种.（用数字作答）
16.设false为椭圆false：false的左焦点，false为椭圆false上给定一点，以false为直径作圆false，点false为圆false上的动点，则坐标原点false到false的距离的最大值为________.
17.已知棱长为2的正方体false，false为棱false中点，现有一只妈蚁从点false出发，在正方体false表面上行走一周后再回到点false，这只蚂蚁在行走过程中与平面false的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为________.
8.关于曲线false：false，给出下列四个结论：
①出线false关于原点对称，但不关于false轴、false轴对称；
②曲线false恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③曲线false上任意一点都不在圆false的内部；
④曲线false上任意一点到原点的距离都不大于false.
其中，正确结论的序号是________.
三、解答题（本大题共4小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（本小题9分）
如图所示，平行六面体false中，false平面false，false，false，false分别为false，false的中点，false.
（Ⅰ）求证：false平面false；
（Ⅱ）求证：false平面false；
（Ⅲ）求点false到平面false的距离.
20.（本小题8分）
已知点false为坐标原点，false，动点false使得false.
（Ⅰ）求点false的轨迹方程；
（Ⅱ）设点false的轨迹为false，过点false的直线false与false交于两点false、false，若false，求直线false的方程.
21.（本小题11分）
四棱锥false中，false平面false，底面false是平行四边形，false，false，点false是棱false上一点.
（Ⅰ）求证：平面false平面false；
（Ⅱ）当false为false中点时，求二面角false的余弦值；
（Ⅲ）若直线false与平面false所成的角为false时，求false.
22.（本小题10分）
已知椭圆false：false（其中false）的右焦点为false，直线false过点false与椭圆false交于false，false两点，false为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆false的长轴长和离心率；
（Ⅱ）求false的面积的最大值；
（Ⅲ）若false为直角三角形，求直线false的方程.
首都师大附中2020-2021学年第一学期
高二数学期中考试参考答案（1-4）
第Ⅰ卷（共30分）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1-5：BCCAB 6-10：CCACB
第Ⅱ卷（共70分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11.15 12.6 13.24 14.② 15.45 16.false 17.false 18.①④
三、解答题（本大题共4小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.证明：因为false平面false，所以false，false.
因为false，如图建立空间直角坐标系，则
false，false，false，false，false，false，false，false，false，false
此时false，false，false，false，false.
（Ⅰ）因为false，所以false.
因为false平面false，所以false平面false.
（Ⅱ）因为false，false，
所以false是平面false的法向量，
所以false平面false.
（Ⅲ）点false到平面false的距离为false.
20.解：（Ⅰ）设点false，则false，false.
由题意，false.
整理得：false.
即点false的轨迹方程为false.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，false为以false为圆心，以false为半径的圆，设false的中点为false，连结false，false.由垂径定理，false.
false
即点false到直线false的距离为2.
（1）当直线false的斜率不存在时，false：false，经检验符合题意；
（2）当直线false的斜率存在时，设false：false，即false
所以，false.
解得：false.
所以，false：false，即false.
由（1）、（2）可知，直线false的方程为false或false.
21.证明：（Ⅰ）因为平行四边形false中，false，
所以四边形false是菱形，所以false.
因为false平面false，所以false.
又因为false，所以false平面false.
所以平面false平面false.
（Ⅱ）在平面false内，过点false作false，则false，因为false平面false，
false平面false，所以false.如图建立空间直角坐标系，则
false，false，false，false，false.
当false为false中点时，false.
所以false，false，false，false.
设平面false的方向量为false，则false
令false，得false，false，所以false.
设平面false的方向量为false，则false
则false，令false，则false.
所以，false.
因为二面角false为锐二面角，得二面角false的余弦值为false.
（Ⅲ）设false，则
false.
由（Ⅰ）得，false平面false.所以，平面false的一个方向量为false，
由题意：false，故false，即false.
所以，false，即false.
解得false，false.
所以false或false.
22.解：（Ⅰ）由题意，false，解得false.
所以，椭圆false的长轴长为false，离心率为false.
（Ⅱ）设直线false的方程为false，联立false
整理得：false，
即false.
设false，false，由false，得false，false.
所以，false.
所以，false的面积false，
令false，则false，得false.
当且仅当false时（即false时）等号成立，此时false：false.
（Ⅲ）（1）若false，则false，故false，false，则false
因为false，故false，即false，无解.
即false.同理，false.
（2）若false，得false，即false，得false.
故false.故false.
解得false，故false.故false：false（即false）
所以false.
所以false.
所以false，false，false三点共线.…10分
（3）（i）当直线false的斜率不存在时，易知false，此时false的面积为false.
（ii）当直线false的斜率存在时，显然斜率false.
所以false.
又因为false，
所以false的面积falsefalse.
令false，则false.
所以falsefalse
因为false，所以false，所以false，所以false
所以false.
综上所述，当直线false轴时，false的面积取得最大值.…16分
高二数学期中考试（1-4）
第Ⅰ卷（共30分）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1.双曲线的方程为false，则其离心率为（ ）
A.false B.false C.false D.false
2.已知直线false：false与false：false平行，则false的值是（ ）
A.1或0 B.5 C.0或5 D.1或5
3.设false，false是两条不同的直线，false，false是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若false，false，则false
B.若false，false，则false
C.若false，false，false，则false
D.若false，false，false，则false
4.将6枚相同的硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且毎行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有（ ）种.
A.6 B.12 C.18 D,36
5.圆false：false与圆false：false的公切线的条数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.双曲线false的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A.false B.false C.false D.false
7.已知椭圆false的焦点为false，false.过点false的直线与false交于false，false两点，若false周长为8，则椭圆false的标准方程为（ ）
A.false B.false C.false D.false
8.如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为false，底面半径为false，一只小虫从圆锥的底面圆上的点false出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点false处，则该小虫爬行的最短路程为（ ）
A.false B.false
C.false D.false
9.要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ）
A.84 B.54 C.42 D.18
10.佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1中的false由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊.那么在图2这个六面体中，棱false与false所在直线的位置关系为（ ）
A.平行 B.相交
C.异面且垂直 D.异面且不垂直
第Ⅱ卷（共70分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11.在false的展开式中，常数项为________.（用数字作答）
12.false为抛物线false的焦点，false，false，false在抛物线上，若false，则false________.
13.某种产品的加工需要false，false，false，false，false五道工艺，其中false必须在false的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，false与false必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有________种.（用数字作答）
14.若方程false所表示的曲线为false，给出下列四个命题：
①若false为椭圆，则实数false的取值范围为false；
②若false为双曲线，则实数false的取值范围为false；
③曲线false不可能是圆；
④若false表示椭圆，且长轴在false轴上，则实数false的取值范围为false.
其中真命题的序号为________.（把所有正确命题的序号都填在横线上）
15.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排false，false，false，false，false五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有________种.（用数字作答）
16.设false为椭圆false：false的左焦点，false为椭圆false上给定一点，以false为直径作圆false，点false为圆false上的动点，则坐标原点false到false的距离的最大值为________.
17.已知棱长为2的正方体false，false为棱false中点，现有一只妈蚁从点false出发，在正方体false表面上行走一周后再回到点false，这只蚂蚁在行走过程中与平面false的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为________.
8.关于曲线false：false，给出下列四个结论：
①出线false关于原点对称，但不关于false轴、false轴对称；
②曲线false恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③曲线false上任意一点都不在圆false的内部；
④曲线false上任意一点到原点的距离都不大于false.
其中，正确结论的序号是________.
三、解答题（本大题共4小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（本小题9分）
如图所示，平行六面体false中，false平面false，false，false，false分别为false，false的中点，false.
（Ⅰ）求证：false平面false；
（Ⅱ）求证：false平面false；
（Ⅲ）求点false到平面false的距离.
20.（本小题8分）
已知点false为坐标原点，false，动点false使得false.
（Ⅰ）求点false的轨迹方程；
（Ⅱ）设点false的轨迹为false，过点false的直线false与false交于两点false、false，若false，求直线false的方程.
21.（本小题11分）
四棱锥false中，false平面false，底面false是平行四边形，false，false，点false是棱false上一点.
（Ⅰ）求证：平面false平面false；
（Ⅱ）当false为false中点时，求二面角false的余弦值；
（Ⅲ）若直线false与平面false所成的角为false时，求false.
22.（本小题10分）
已知椭圆false：false（其中false）的右焦点为false，直线false过点false与椭圆false交于false，false两点，false为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆false的长轴长和离心率；
（Ⅱ）求false的面积的最大值；
（Ⅲ）若false为直角三角形，求直线false的方程.
首都师大附中2020-2021学年第一学期
高二数学期中考试参考答案（1-4）
第Ⅰ卷（共30分）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1-5：BCCAB 6-10：CCACB
第Ⅱ卷（共70分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11.15 12.6 13.24 14.② 15.45 16.false 17.false 18.①④
三、解答题（本大题共4小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.证明：因为false平面false，所以false，false.
因为false，如图建立空间直角坐标系，则
false，false，false，false，false，false，false，false，false，false
此时false，false，false，false，false.
（Ⅰ）因为false，所以false.
因为false平面false，所以false平面false.
（Ⅱ）因为false，false，
所以false是平面false的法向量，
所以false平面false.
（Ⅲ）点false到平面false的距离为false.
20.解：（Ⅰ）设点false，则false，false.
由题意，false.
整理得：false.
即点false的轨迹方程为false.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，false为以false为圆心，以false为半径的圆，设false的中点为false，连结false，false.由垂径定理，false.
false
即点false到直线false的距离为2.
（1）当直线false的斜率不存在时，false：false，经检验符合题意；
（2）当直线false的斜率存在时，设false：false，即false
所以，false.
解得：false.
所以，false：false，即false.
由（1）、（2）可知，直线false的方程为false或false.
21.证明：（Ⅰ）因为平行四边形false中，false，
所以四边形false是菱形，所以false.
因为false平面false，所以false.
又因为false，所以false平面false.
所以平面false平面false.
（Ⅱ）在平面false内，过点false作false，则false，因为false平面false，
false平面false，所以false.如图建立空间直角坐标系，则
false，false，false，false，false.
当false为false中点时，false.
所以false，false，false，false.
设平面false的方向量为false，则false
令false，得false，false，所以false.
设平面false的方向量为false，则false
则false，令false，则false.
所以，false.
因为二面角false为锐二面角，得二面角false的余弦值为false.
（Ⅲ）设false，则
false.
由（Ⅰ）得，false平面false.所以，平面false的一个方向量为false，
由题意：false，故false，即false.
所以，false，即false.
解得false，false.
所以false或false.
22.解：（Ⅰ）由题意，false，解得false.
所以，椭圆false的长轴长为false，离心率为false.
（Ⅱ）设直线false的方程为false，联立false
整理得：false，
即false.
设false，false，由false，得false，false.
所以，false.
所以，false的面积false，
令false，则false，得false.
当且仅当false时（即false时）等号成立，此时false：false.
（Ⅲ）（1）若false，则false，故false，false，则false
因为false，故false，即false，无解.
即false.同理，false.
（2）若false，得false，即false，得false.
故false.故false.
解得false，故false.故false：false（即false）
所以false.
所以false.
所以false，false，false三点共线.…10分
（3）（i）当直线false的斜率不存在时，易知false，此时false的面积为false.
（ii）当直线false的斜率存在时，显然斜率false.
所以false.
又因为false，
所以false的面积falsefalse.
令false，则false.
所以falsefalse
因为false，所以false，所以false，所以false
所以false.
综上所述，当直线false轴时，false的面积取得最大值.…16分
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