江西省宜春市丰城中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学文试卷 Word版含答案

丰城中学2020-2021学年上学期高二期中考试试卷
数 学（文科）
2020．11．10
本试卷总分值为150分 考试时长为120分钟
考试范围：必修二三65%，必修一四五35%
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
总体由编号为01，02，03，……，49，50的50个个体组成，利用随机数表（下表是随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和
第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（　　）
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01
A．05 B．09 C．07 D．20
3．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　)
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
4．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
5．圆关于轴对称的圆的方程为( )
A． B．
C． D．
6．根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是
，则下列说法正确的是（　　）
A．至少有一个样本点落在回归直线上
B．若所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为1
C．对所有的变量,的值一定与有误差
D．若回归直线的斜率，则变量与正相关
7．如图，在四面体中，，、分别是、的中点，若与所成的角的大小为30°，则和所成的角的大小为
A．15° B．75°
C．30°或60° D．15°或75°
8．已知偶函数y＝f(x)，x∈R满足：f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数则y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　 )
A．1 B．3 C．2 D．4
9．如图所示正方形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点，则向正方形内随机掷一点P，
该点落在阴影部分内的概率为（　　）
B．
C． D．
10．直线与圆的两个交点恰好关于轴对称，则等于（ ） A． B． C． D．
11．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为1，，，，则此球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示的四个正方体中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号为
A．①② B．③④ C．①②③ D．②④
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出_______.
14．某公司对2019年1～4月份的获利情况进行了数据统计，如表所示：
月份x 1 2 3 4
利润y/万元 5 6 6．5 8
利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y关于x的线性回归方程为_______.
15．已知，是圆：上的两个动点，，.若是线段的中点，则的值为 .
16．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点，则的取值范围是_______.
三、解答题(本大题共6小题共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17（10分)已知圆的圆心为，直线与圆相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线过点，且被圆所截得弦长为2，求直线的方程．
18（12分）已知分别为内角的对边，且．
求角A；
（2）若，求的面积．
19（12分）已知数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
20（12分）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），……第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
（1）根据图表,计算第七组的频率,并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；
（2）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．
21（12分）如图，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，M、N分别为AB、PC的中点，．
（1）求证：平面MPC⊥平面PCD；
（2）求三棱锥的高．
22（12分）已知函数g（x）对一切实数x，y∈R都有g（x+y）﹣g（y）＝x（x+2y﹣2）成立，且g（1）＝0,
（1）求g（0）的值和g（x）的解析式；
（2）若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
丰城中学2020-2021学年上学期高二期中考试答案
数 学（文科）
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C B B A D D B D A B C
填空题
13. 14. 15, 3 16.．，
三、解答题
17．解：（1）圆心C（1，1）到直线x+y﹣4＝0的距离d＝＝．
∵直线x+y﹣4＝0与圆C相切，∴r＝d＝．.................................2分
∴圆的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．.................................4分
(2①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：y﹣3＝k（x﹣2），
即：kx﹣y+3﹣2k＝0，d＝，又d2+1＝2，∴d＝1．
解得：k＝．.................................7分
∴直线l的方程为：3x﹣4y+6＝0．
②当l的斜率不存在时，x＝2，代入圆的方程可得：（y﹣1）2＝1，解得y＝1±1，可得弦长＝2，满足条件．.................................9分
故l的方程为：3x﹣4y+6＝0或x＝2．.................................10分
18．解：．
由正弦定理可得：，.................................3分
，，即，
，
.............................................................6分
，，，
由余弦定理，可得：，可得：，解得：，负值舍去，.................................9分
..................................................12分
19（1）当时，.....................................................1分
当且时，.................4分
综上所述：.................................................................6分
（2）由（1）知：
.....................12分
20．解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：
1﹣（0．004+0．012+0．016+0．030+0．020+0．006+0．004）×10＝0．08........3分．
用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：
70×0．004×10+80×0．012×10+90×0．016×10+100×0．030×10+110×0．020×10+120×0．006×10+130×0．008×10+140×0．004×10＝102．.................................6分
（2）样本成绩属于第六组的有0．006×10×50＝3人设为A,B,C，样本成绩属于第八组的有0．004×10×50＝2人，设为a,b，.................................8分
从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，
基本事件有：AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10个
他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数AB,AC，BC，ab 4个......10分
∴他们的分差的绝对值小于10分的概率p＝＝．...........................12分
21．解：（1）证明：取PD中点为G，连接NG，AG，M、N分别为AB、PC的中点，∴，
∴AMNG是平行四边形，MN∥AG，
∵AG?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD
∴MN∥AG，.................................3分
∵PM＝MC＝，N为PC中点，∴MN⊥PC，即AG⊥PC，
∵G为PD的中点，AP＝AD，∴AG⊥PD，且PD∩PC＝P，
AG⊥平面PDC，∴MN⊥平面PDC，
∵MN?平面MPC，∴平面MPC⊥平面PCD.................................6分
，
，，
则点B到平面MNC的距离为.................................12分
22.解：（1）令x＝1，y＝0得g（1）﹣g（0）＝﹣1，
∵g（1）＝0，∴g（0）＝1，.................................1分
令y＝0得g（x）﹣g（0）＝x（x﹣2），即g（x）＝x2﹣2x+1．......................4分
（2）当x＝0时，2x﹣1＝0则x＝0不是方程的根，
方程f（|2x﹣1|）3k＝0可化为：
|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）＝0，|2x﹣1|≠0，
令|2x﹣1|＝t，则方程化为
t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0，（t＞0），................................7分
∵方程f（|2x﹣1|）3k﹣1＝0有三个不同的实数解，∴由t＝|2x﹣1|的图象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0，（t＞0），有两个根t1、t2，
且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2＝1．记h（t）＝t2﹣（2+3k）t+（1+2k），
则，此时k＞0，
或，此时k无解，
综上实数k的取值范围是（0，+∞）．.................................12分