华东师大版九年级数学上册第24章解直角三角形检测题（word版含解析）

第24章
解直角三角形检测题
（本检测题满分:120分，时间：120分钟）
一、选择题（每小题2分，共24分）
1.计算：
A.
B.
C.
D.
2.在直角三角形中，已知，，，则=(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2013·浙江温州中考）如图，在中，则的值是（
）
A.
B.
C.
D.
4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，则tan
B=(
)
A.2
B.2
C.
D.
5.如图，Rt△ABC中，90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（
）
A.
B.
C.4
D.5
6.在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足
BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cos
B=（
）
A.
B.
C.
D.
7.已知，，点,点F分别在射线AD，射线BC上，若点与点关于对称，点与点关于对称，与相交于点，则（
）
A.
B.
C.
D.
第7题图
8.河堤横断面如图所示，堤高BC=6
m，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为（
）
A.12
m
B.4
m
C.5
m
D.6
m
9.如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10
m，此时小球距离地面的高度为(
)
A.5
m
B.2
m
C.4
m
D.
m
10.如图，在菱形中，，，，则的值是(
)
A．
B．2
C．
D．
11.已知直角三角形两直角边长之和为7，面积为6，则斜边长为（
）
A.
5
B.
C.
7
D.
12.如图，已知：45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题（每小题3分，共18分）
13.比较大小：
.（填“＞”“=”或“＜”）
14.如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=∠BAC,CE交AB于点E，交AD于点F，若BC=2,则EF的长为
.
15.如图，小兰想测量南塔的高度，她在处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50
m至处，测得仰角为60°，那么塔高约为
_________
m.（小兰身高忽略不计，）
16.已知等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________
．
17.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________.
18.在△ABC中，∠90°，AB=2BC，现给出下列结论：
①sin
A=；②cos
B=；③tan
A=；④tan
B=，
其中正确的结论是
.（只需填上正确结论的序号）
三、解答题（共78分）
19.（8分）计算下列各题：
(1)；（2）.
20.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin
A=，求BC的长和tan
B的值.
第20题图
第21题图
21.（10分）如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）.有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向.
（1）求点P到海岸线l的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向.求点C与点B之间的距离.（上述2小题的结果都保留根号）
22.（10分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100
m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5
m，请你计算出该建筑物的高度．（取
≈1.732，结果精确到1
m）
23.（8分）如图，在梯形中，，，．
（1）求的值；（2）若长度为，求梯形的面积．
24.（10分）如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC=20
m，求树的高度AB.
（参考数据：，，）
25.（10分）如图，在小山的东侧处有一热气球，以每分钟的速度沿着仰角为60°的方向上升，20
min后升到处，这时热气球上的人发现在的正西方向俯角为45°的处有一着火点，求热气球的升空点与着火点的距离（结果保留根号）.
26.（14分）（2014·福州中考）如图（1），点O在线段AB上，AO2，OB1，OC为射线，且∠BOC60，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.
（1）当t秒时，则OP
，S△ABP
；
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图（2），当APAB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP∠B，求证：AQ·BP3.
第26题图
第24章
解直角三角形检测题参考答案
1.C
解析：
2.D
解析：在中，∵
，，∴
，
∴
，∴
.
3.C
解析：.
4.B
解析：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E，则四边形ABED是平行四边形，
∴
BE=AD=6.
∵
AB⊥AC，∴
DE⊥AC.∵
CA是∠BCD的平分线，∴
CD=CE.
∵
AD∥BC，∴
∠ACB=∠DAC=∠DCA.∴
CD=AD=6.
∴
BC=BE+CE=BE+CD=6+6=12.
∴
AC===8.∴
tan
B===2.
5.C
解析：设BN的长为x，则AN=9x，由题意得DN=AN=9x.因为D为BC的中点，所以.在Rt△BND中，∠B=90°，由勾股定理得，即，解得.
6.C
解析：设，则，，所以，
所以△是直角三角形，且∠．
所以在△ABC中，．
7.A
解析：设.由题意知，，∴
.
在中，，又，
∴
.
根据条件还可以得出，，.
A.在中，，
∴
，故选项A正确.
B.，故选项B错误.
C.，故选项C错误.
D.∵
，∴
，故选项D错误.
8.A
解析：先由坡比的定义，得BC∶AC=1∶.由BC=6
m，可得AC=6
m.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB==12(m).
9.B
解析：设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为
所以解得
10.B
解析：设
又因为在菱形中，所以所以
所以由勾股定理知所以2
11.A
解析：设直角三角形的两直角边长分别为则
所以斜边长
12.B
解析：在锐角三角函数中仅当∠45°时，，所以选项错误；
因为45°＜∠A＜90°，所以∠B＜45°，即∠A＞∠B，所以BC＞AC，所以＞，即，所以选项正确，选项错误；
＞1，＜1，所以选项错误.
13.＞
解析：因为，所以∠.
14.
解析：过F点作FG∥BC交AB于点G.
∵
在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，
∴
BD=CD=BC=1,∠BAD=∠CAD=∠BAC=15°,AD⊥BC.
∵
∠ACE=∠BAC,
∴
∠CAD=∠ACE=15°,
∴
AF=CF.
∵
∠ACD=(180°－30°)÷2=75°,
∴
∠DCE=75°－15°=60°.
在Rt△CDF中,
CF=
=2,DF=CD·tan
60°=.
又AF=CF,∴
AF=2.
∵
FG∥BC,
∴
GF∶BD=AF∶AD,即GF∶1=2∶(2+),
解得GF=4－2,
∴
EF∶EC=GF∶BC,即EF∶(EF+2)=(4－2)∶2,
解得EF=－1.
15.43.3
解析：因为，所以
所以所以.
16.15°或75°
解析：如图，.
在图①中，，所以∠∠；
在图②中，，所以∠∠.
17.76
解析：如图，因为，所以CD=12，
由勾股定理得所以这个风车的外围周长为
18.②③④
解析：因为∠C=90°，AB=2BC，所以∠A=30°，∠B=60°，所以②③④正确.
19.解：（1）
（2）.
20.分析：由sin
A==求出BC的长，根据勾股定理求出AC的长，利用tan
B=求出tan
B的值.
解：∵
sin
A==，AB=10，∴
BC=4.
又∵
AC==2，∴
tan
B==.
21.分析:（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D，设PD=
km，根据AD+BD=2列方程求解.
（2）过点B作BF⊥CA于点F，在Rt△ABF和Rt△BFC中解直角三角形求解.
解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D，
设PD=
km，由题意可知∠PBD=45°，∠PAD=30°，
∴
在Rt△BDP中，BD=PD=
km,在Rt△PDA中，AD=PD=
km.
∵
AB=2
km，∴
=2.∴
==1.
∴
点P到海岸线l的距离为（）km.
（2）如图，过点B作BF⊥CA于点F.
在Rt△ABF中，BF=AB·sin
30°=2×=1（km）.
在△ABC中，∠C=180°∠BAC∠ABC=45°.
在Rt△BFC中，BC=BF=×1=（km）.
∴
点C与点B之间的距离为
km.
点拨：此题是解直角三角形在现实生活中的应用，通过构造直角三角形求解.当利用勾股定理或锐角三角函数不能直接求解时，常采用作垂线、引入未知数（一般为待定的数）构造方程求解.
22.解：设，则由题意可知，m．
在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan
30°＝，
∴，即3x(x＋100)，解得x50＋50.
经检验50＋50是原方程的解．
∴
故该建筑物的高度约为
23.解：(1)∵
，∴
∠∠.
∵
∥，∴
∠∠∠.
在梯形中，∵
，∴
∠∠∠∠
∵
，∴
3∠
，
∴
∠30°
，∴
（2）如图，过点作于点.
在Rt△中，?
∠，
?
∠，∴
在Rt△中，，
∴
梯形的面积为
24.分析：利用解直角三角形求线段长，首先根据锐角三角函数的定义选取恰当的三角函数关系式，然后把已知的数据代入计算.本题根据锐角三角函数的定义得tan
37°＝，把，BC=20
m代入tan
37°＝中求出树的高度AB.
解:因为tan
37°＝≈0.75，BC=20
m，所以AB≈0.75×20＝15（m）.
25.解：过点作于点..
因为∠，300
m，
所以300(－1)即热气球的升空点与着火点的距离为300(－1)
26.（1）解：1，；
（2）解：①∵
∠A<∠BOC60，∴
∠A不可能是直角.
②当∠ABP90时，如图所示（第26题答图（1）），
∵
∠BOC60，∴
∠OPB30.
∴
OP2OB，即2t2.∴
t1.
第26题答图（1）
③当∠APB90时，如图所示（第26题答图（2）），作PD⊥AB，垂足为D，则∠ADP∠PDB90.
在Rt△POD中，∵
∠POD=60，∴
∠OPD=30.
∵
OP2t，
∴
ODt，PDt，AD2t，BD1t（△BOP是锐角三角形）.
第26题答图（2）
方法一：BP2BD2+PD2=（1t）23t2，AP2AD2+PD2=(2t)23t2.
∵
BP2AP2AB2，∴
(1t)23t2(2t)23t29，即4t2t20.
解得t1，t2（舍去）.
方法二：∵
∠APD∠BPD90，∠B∠BPD90，
∴
∠APD∠B.∴
△APD∽△PBD.
∴
∴
PD2AD·BD.
于是(t)2(2t)(1t)，即4t2t20.
解得t1，t2（舍去）.
综上，当△ABP为直角三角形时，t1或.
（3）证法一：∵
APAB，∴
∠APB∠B.
如图所示（第26题答图（3）），作OE∥AP，交BP于点E，
∴
∠OEB∠APB∠B.
∵
AQ∥BP，∴
∠QAB∠B180.
又∵
∠3∠OEB180，∴
∠3∠QAB.
又∵
∠AOC∠2∠B∠1∠QOP，∠B∠QOP，
∴
∠1∠2.
在△QAO和△OEP中，∵
∠3∠QAO，∠1∠2，
∴
△QAO∽△OEP.
∴
，即AQ·EPEO·AO.
∵
OE∥AP，∴
△OBE∽△ABP.
∴
.∴
OEAP1，BPEP.
∴
AQ·BPAQ·EP
AQ·EPAO·EO213.
第26题答图（3）
证法二：如图所示（第26题答图（4）），连接PQ，设AP与OQ相交于点F.
∵
AQ∥BP，∴
∠QAP∠APB.
∵
APAB，∴
∠APB∠B.∴
∠QAP∠B.
又∵
∠QOP∠B，∴
∠QAP∠QOP.
在△QFA和△PFO中，∵
∠QAF∠FOP，∠QFA∠PFO，
∴
△QFA∽△PFO.∴
，即.
又∵
∠PFQ∠OFA，∴
△PFQ∽△OFA.∴
∠3∠1.
∵
∠AOC∠2∠B∠1∠QOP，∠B∠QOP，
∴
∠1∠2.∴
∠2∠3.
∴
△APQ∽△BPO.∴
.∴
AQ·BPAP·BO313.
第26题答图（4）
第3题图
第5题图
第8题图
第9题图
A
B
C
第12题图
①1
A
B
C
②2
A
B
C
第17题图
第14题图
B
C
A
东
西
45°
60°
第25题图
第24题图
第4题答图
第14题答图
第16题答图
B
C
D
②
A
A
B
C
D
①
A
B
C
D
第17题答图
第21题答图
4