高中数学人教A版（2019）必修第一册教案 5.1.1 任意角（Word）

第五章
三角函数
5.1
任意角和弧度制
5.1.1
任意角
教学设计
一、教学目标
通过实例展示，理解角的概念推广的必要性，理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示，树立运动变化的观点，并由此深刻理解推广之后的角的概念，提升学生数学抽象和直观想象素养，达到水平一的要求.
二、教学重难点
1.教学重点
将0°到360°范围的角推广到任意角，终边相同的角的集合表示.
2.教学难点
用集合来表示终边相同的角.
三、教学过程
（一）新课导入
思考：（1）假如你的手表慢了5分钟，你是怎样校准的?当时间校准后，分针旋转了多少度?
（2）假如你的手表快了
1.25
小时，你应该如何将它校准?当时间校准后，分钟旋转了多少度?
教师提出问题，引发学生的认知冲突，说明角的概念的扩展的必要性.
（二）探究一：角的概念的推广
教师提问：
活动1：过去我们是如何定义一个角的?角的范围是什么?
学生：射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0°~360°范围内的角.
活动2：举出不在0°~360°的角的实例，并加以说明.
例如：前空翻转体540°，后空翻转体720°.
教师：展示课件，演示角可以看成平面内一-条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置的图形.例子中的角为什么不在0°~360°范围内?
学生思考、讨论.
教师引导学生从旋转量、旋转方向这两个方面进行思考.
教师讲解：我们规定，一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角，这样，零角的始边和终边重合.如果是零角，那么=0°.
说明：（1）钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角；
（2）为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“∠”可以简记作“”.
（3）设，β是任意两个角，我们规定，把角的终边旋转角β，这时终边所对应的角是+β.
（4）我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为一.则角的减法可以转化为角的加法，即-β=+（-β）.
探究二：象限角的概念
教师：大家先以同一射线为始边作出角：210°，-150°，-660°，然后思考问题：如果把角放在直角坐标系中，那么怎么放比较方便、合理?
学生：画图探究、讨论、交流，总结分析合理放法.
教师总结：我们通常在直角坐标系中研究和讨论角，为了讨论问题的方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.
注意：（1）角与直角坐标系的关系——角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合；（2）如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.
思考：（1）锐角是第几象限角?（2）钝角是第几象限角?（3）直角是第几象限角?
学生根据所学知识思考回答：（1）第一象限角；（2）第二象限角；（3）非象限角.
教师提问：以上问题如果反过来还成立吗?
学生思考，反之是不成立的.
探究三：终边相同的角的概念
提问：（1）在直角坐标系中标出210°，-150°角的终边，你有什么发现?
它们有怎样的数量关系?
328°，-32°，-392°角的终边及数量关系是怎样的?
终边相同的角有什么关系?
（2）所有与角终边相同的角，连同角在内，怎样用一个式子表示出来?
学生：思考每组角的数量关系.
教师：引导学生用含有一个角的关系式表示另一个角.同时展示课件，让学生利用计算机在旋转终边的过程中发现“终边相同”的角的关系，并利用集合表示出来.
教师总结终边相同的角的概念：一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S={β|β=+k·360°，k∈Z}，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
（三）课堂练习
例1.在0°到360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角?
解：-950°12′=129°48′-3×360°，所以在0°到360°范围内，与-950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角.
例2.写出终边在y轴上的角的集合?
教师提问：在0°~360°范围内，找出y轴上的角.
生：90°，270°
师：这两个角之间有什么关系?
生：相差180°.
师：你能用一个式子表示出答案吗?
学生思考讨论回答.
教师总结：所有与90°角终边相同的角构成集合S1={
β
|
β=90°+
k·360°，k∈Z}，
而所有与270°角终边相同的角构成集合S2={
β
|
β=270°+
k·360°，k∈Z}，
于是，终边在y轴上的角的集合S=
S1∪S2={
β
|
β=90°+
2k·180°，k∈Z}∪{
β
|
β=90°+180°+
2k·180°，k∈Z}={
β
|
β=90°+
2k·180°，k∈Z}∪{
β
|
β=90°+
（2k+1）·180°，k∈Z}={
β
|
β=90°+
n·180°，n∈Z}；
教师讲解：注意答案表示方式不唯一，但是要采用简洁的形式.
（四）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容?
1.你知道角是如何推广的吗?象限角是如何定义的?
2.你掌握了与角终边相同的角的集合的表示方法了吗?
3.本节课你体会到那些数学思想方法?
四、板书设计
1.角的概念的推广；
2.
象限角；
3.终边相同的角：所有与终边相同的角，连同角在内，可以构成一个集合S={
β
|
β=+
k·360°，k∈Z}.
2