《函数与方程》
题型一：求函数的零点
1．函数的零点是
2．函数的零点为
3．函数的零点为_____________.
4．函数的零点为______.
5．已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为
6．若函数的零点是（），则函数的零点是
7．已知和2是函数的两个零点，则不等式的解集为
8．若二次函数的两个零点分别是和，则的值为________.
9．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．
10．已知x＝3是函数的零点，则______
题型二：零点所在区间判断
1．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
2．函数的零点所在的区间为（
）
A．
B．
C．
D．
3．函数的零点所在的一个区间是（
）
A．
B．
C．
D．
4．函数的一个零点落在下列哪个区间（
）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
5．函数的零点一定位于区间（
）
A．
B．
C．
D．
6．方程的解所在区间为（
）
A．
B．
C．
D．
7．设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是（
）
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
8．根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（
）
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x＋2
1
2
3
4
5
A．(－1，0)
B．(0，1)
C．(1，2)
D．(2，3)
题型三：函数的零点个数判断
1．函数的零点个数为
2．函数的零点个数为
3．函数的零点个数有
4．函数的零点的个数为
5．函数的零点个数是
6．已知函数,若实数,则函数的零点个数为
7．函数的零点个数为_______.
8．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.
（1）求出函数在上的解析式；
（2）画出函数的图像，并写出单调区间；
（3）若与有3个交点，求实数的取值范围.
题型四：利用函数零点求参和根的分布
1．已知函数在上存在零点，则的取值范围为
2．设是函数的零点，且，，则
3．若函数的零点所在的区间为,则k=
4．若函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是__
5．已知函数的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围为______________
.
6．若函数的图像与轴只有1个公共点，则实数=_________.
7．一元二次方程的两根均大于2，则实数m的取值范围是
8．已知二次函数只有一个零点，则实数a=__________.
9．已知关于x的一元二次方程.
（1）若方程有两个实数根，其中一个根在区间（-1，0）内，另一个根在区间
（1，2）内，求m的取值范围.
（2）若方程有两个不相等的实数根，且均在区间（0，1）内，求m的取值范围.
10．关于的方程，求为何值时：
（1）方程有一个正根和一个负根；（2）方程的两个根都大于1.
题型五：二分法
1．下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是(
)
A．
B．
C．
D．
2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．在用二分法求方程3x+3x-8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（
）
A．(1,1.25)
B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)
D．不能确定
4．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示：
1
2
1.5
1.625
1.75
1.875
1.8125
-6
3
-2.625
-1.459
-0.14
1.3418
0.5793
则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（
）
A．
B．
C．
D．
5．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在的区间和等二次应计算的函数值分别为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
2
2《函数与方程》
题型一：求函数的零点
1．函数的零点是
【解析】函数的零点就是方程的根，
由可得，解得或
2．函数的零点为
【解析】由，得，即
3．函数的零点为_____________.
【解析】令，即，解得：
4．函数的零点为______.
【解析】由得或，
所以函数的零点为.
5．已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为
【解析】因为是定义在上的奇函数，当时，，
所以，所以，
由，解得或；
由解得或（舍去），
所以函数的零点的集合为.
6．若函数的零点是（），则函数的零点是
【解析】由条件知，∴，
∴的零点为和.
7．已知和2是函数的两个零点，则不等式的解集为
【解析】，所以，
8．若二次函数的两个零点分别是和，则的值为________.
【解析】因为二次函数的两个零点分别是和，
所以一元二次方程的两个根分别是和，
由一元二次方程根与系数关系得：，解得，
因此，.
9．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．
【解析】由题意可知f(1)=
10．已知x＝3是函数的零点，则______
【解析】∵x＝3是函数的零点，即
∴，解得
题型二：零点所在区间判断
1．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】因为，定义域为，在上为连续函数且为减函数，，
所以，所以函数在上存在一个零点；故选：C
2．函数的零点所在的区间为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】函数单调递增，由零点存在定理，，故选：B．
3．函数的零点所在的一个区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】为上的增函数，又，，
故零点所在的区间为.故选：C．
4．函数的一个零点落在下列哪个区间（
）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
【解析】，，
，则函数的一个零点落在区间上.故选：B
5．函数的零点一定位于区间（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】函数f（x）＝在其定义域上连续，
f（2）＝2+2?2﹣6＝ln2﹣2＜0，f（3）＝ln3+2?3﹣6＝ln3＞0；
故函数的零点在区间（2，3）上，故选B．
6．方程的解所在区间为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】方程的解，等价于函数的零点，
又因为，满足，
故在区间上有零点，即方程的解所在区间为.故选：C.
7．设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是（
）
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
【解析】设，则是增函数，又.所以，
所以x0所在的区间是(1，2)，故选：B
8．根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（
）
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x＋2
1
2
3
4
5
A．(－1，0)
B．(0，1)
C．(1，2)
D．(2，3)
【解析】设函数，
，，
，又在区间(1，2)连续，
函数在区间(1，2)存在零点，方程根所在的区间为(1，2)，故选：C.
题型三：函数的零点个数判断
1．函数的零点个数为
【解析】令，其判别式为，
所以方程无解，即函数无零点.
2．函数的零点个数为
【解析】若．则或．又∵∴
若，则满足，综上，函数的零点个数为2．
3．函数的零点个数有
【解析】时，是增函数，，，因此在上存在唯一的零点，
时，，或，舍去，有两个零点，
综上函数有3个零点．
4．函数的零点的个数为
【解析】当时，直接解方程，即，解得：，
当时，为增函数，
，所以在有一零点，
即在有一个零点，
综上，函数有两个零点.
5．函数的零点个数是
【解析】令，则，
在同一坐标系中画出与的图象，
如图所示，的图象与的图象有两个交点，
所以函数的零点个数是2.
6．已知函数,若实数,则函数的零点个数为
【解析】令，得，根据分段函数的解析式，做出函数的图象，如下图所示，因为，由图象可得出函数的零点个数为3个
7．函数的零点个数为_______.
【解析】令，则，
在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图：
由图象可知，函数与的图象有两个交点，
所以方程有两个不同实根，所以函数的零点个数为2.
8．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.
（1）求出函数在上的解析式；
（2）画出函数的图像，并写出单调区间；
（3）若与有3个交点，求实数的取值范围.
【解析】（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则；
②当时，，因为是奇函数，所以．
所以．
综上：．
（2）图象如下图所示：．
单调增区间：
单调减区间：．
（3）因为方程有三个不同的解，由图像可知，
，
即．
题型四：利用函数零点求参和根的分布
1．已知函数在上存在零点，则的取值范围为
【解析】因为在上单调递增,
根据零点存在定理可得,解得.
2．设是函数的零点，且，，则
【解析】由于函数单调递增，且，，由零点存在定理可知，因此，.
3．若函数的零点所在的区间为,则k=
【解析】∵且单调递增,
∴的零点所在的区间为（2,3）,∴.
4．若函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是________．
【解析】由条件可知函数在上单调递增，所以，
即，解之得．
5．已知函数的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围为______________
.
【解析】由题意，解得．
6．若函数的图像与轴只有1个公共点，则实数=_________.
【解析】当时，，与轴只有1个公共点，符合题意，
当时，由得：，故答案为：0或.
7．一元二次方程的两根均大于2，则实数m的取值范围是
【解析】关于x的一元二次方程的两根均大于2，
则,解得.
8．已知二次函数只有一个零点，则实数a=__________.
【解析】因为是二次函数，所以，
又因为二次函数只有一个零点，
所以二次方程只有一个解，
所以（舍去），或，故答案为：1.
9．已知关于x的一元二次方程.
（1）若方程有两个实数根，其中一个根在区间（-1，0）内，另一个根在区间
（1，2）内，求m的取值范围.
（2）若方程有两个不相等的实数根，且均在区间（0，1）内，求m的取值范围.
【解析】（1）令，依题意得函数的图象与x轴的交点分别在区间（1，0）和（1，2）内，画出函数的大致图象，
如图：
由图像得即，∴.
即m的取值范围是.
（2）根据函数图象与x轴的两个交点均在区间（0，1）内，画出函数的大致图象，
如图：
由图像得，即
∴.即m的取值范围是.
10．关于的方程，求为何值时：
（1）方程有一个正根和一个负根；（2）方程的两个根都大于1.
【解析】（1）令，
当方程有一个正根和一个负根时，对应的草图可能如图①，②所示
所以有一个正根和一个负根等价于或，
即或，解得，
所以当时，方程有一个正根和一个负根；
（2）当方程的两个根都大于1时，对应的草图可能如图③，④所示.
所以的两个根都大于1等价于或，
即或，解得，
所以不存在实数，使方程的两个根都大于1.
题型五：二分法
1．下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是(
)
A．
B．
C．
D．
【解析】根据零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点，故选D．
2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解.
而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点.另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点.
根据二分法的理论依据选项B不能用二分法求图中函数零点，故选：B.
3．在用二分法求方程3x+3x-8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（
）
A．(1,1.25)
B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)
D．不能确定
【解析】∵f（1）＜0，f（1.5）＞0，
∴在区间（1，1.5）内函数存在一个零点
又∵f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，
∴在区间（1.25，1.5）内函数存在一个零点，
由此可得方程的根落在区间（1.25，1.5）内，
故选：B．
4．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示：
1
2
1.5
1.625
1.75
1.875
1.8125
-6
3
-2.625
-1.459
-0.14
1.3418
0.5793
则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】根据表中数据可知，，由精确度为可知，，故方程的一个近似解为，选C.
5．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在的区间和等二次应计算的函数值分别为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【解析】函数，且，，
所以其中一个零点所在的区间为，第二次应计算的函数值为和的中点，即时，所以应计算.故选.
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