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北师大版数学七年级上5.3应用一元一次方程--水箱变高了导学案
课题
5.3
应用一元一次方程--水箱变高了
单元
第5章
学科
数学
年级
七年级
学习
目标
1.通过分析图形问题中的数量关系，运用方程解决问题.进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，并认识方程的重要性.
2.通过对“变化中的不变量”的分析，提高分析问题、解决问题的能力.
重点
难点
寻找面积、体积问题中的等量关系。
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
长方形的面积公式？
长方体的体积公式？
合
作
探
究
探究一：
解应用题的一般步骤？
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4
m的圆柱形储水箱。现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4
m减少为3.2
m。那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4
m增高为多少米?
图5-1
在这个问题中有如下的等量关系:旧水箱的容积=新水箱的容积。设水箱的高变为xm，填写下表:
旧水箱新水箱底面半径/m高/m容积/m3
根据等量关系，列出方程:_________________________
解得x=____
因此，水箱的变高了_____________
列方程时，关键是找出问题中的等量关系.
例
用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.
使得该长方形的长比宽多1.4
m，此时长方形的长、宽各为多少米?
使得该长方形的长比宽多0.8
m，此时长方形的长、宽各为多少米?它所围成的长方形与(1)中所围长方形相比，面积有什么变化?
使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米?它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化?
分析:由题意可知，长方形的周长始终是不变的，即长与宽的和为:
10×=5(m).在解决这个问题的过程中，要抓住这个等量关系.
同样长的铁丝可以围更大的地方.
当
堂
检
测
如果长方形的长是x厘米，长比宽长5厘米，周长是17厘米，则可列出方程_________________．
2、一个长方形的周长为30cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可以变成一个正方形，设长方形的宽为xcm，可列方程为（
）?
A.
x-2=(30-x)+1
B.x-2=(15-x)+1
C.
x+2=(30-x)-1
D.
x+2=(15-x)-1
3、如图，正方形的一边长减少2
cm后，得到一个长方形(图中阴影部分).若长方形的周长为26
cm，求正方形的边长．设正方形的边长为x
cm，可列方程为(
)
A.
x+(x+2)=26
B.
2x+2(x+2)=26
C.
x+(x-2)=26
D.
2x+2(x-2)=26
4、一个梯形的面积是84
cm2，高为8
cm，它的下底比上底的2倍少3
cm，求这个梯形的上底和下底的长度．解题时，设梯形的上底为x
cm，那么下面方程正确的是(
)．
A.
8[x+(2x+3)]=84
B.
8[x+(2x-3)]=84
C.×8×[x+(2x+3)]=84
D.
×8×[x+(2x-3)]=84
5、在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽AE。若AE=x(cm)，依题意可得方程（
）
A.6+2x=14-3x
B.6+2x=x+(14-3x)
C.14-3x=6
D.6+2x=14-x
课
堂
小
结
水箱变高了，实质上是等积变形问题。关键是要抓住变化过程中的不变量，列方程求解。
一 物体锻压或液体更换容器题，体积（或容积）不变。
二 固定长度，虽然围成的图形形状及面积不同，但是应抓住图形的总周长不变。
三 图形的拼接、割补、平移、旋转等类型题，应抓住图形的面积、体积不变。
参考答案
自主学习：
长方形的面积公式S=ab（a长b宽）
长方体的体积公式V=abc(a长b宽c高)
合作探究：
探究一：
解方程步骤
审题（2）设未知数（3）列方程
（4）解题（5）检验（6）解答
例
2
1.6
4
x
16π
16π
π×1.6?x=16π
6.25
6.25m
例
解:
(1)设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+
1.4)m.
根据题意，得x+x+1.4=10x
解这个方程，得
x=1.8.
1.8+
1.4=3.2.
此时长方形的长为3.2m,宽为1.8
m.
(2)设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+0.8
)m.
根据题意，得x+x+0.8=10x
.
解这个方程，得
x=2.1.
2.1
+0.8=2.9
此时长方形的长为2.9m,宽为2.1
m,
面积为2.9×2.1=
6.09(m2),
(1)中长方形的面积为3.2×1.8
=
5.76(m2).
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大
6.09-
5.76=0.33(m2).
(3)设正方形的边长为xm.
根据题意，得x+x=10x
解这个方程，得x=2.5.
正方形的边长为2.5m,
正方形的面积为2.5x2.5=6.25(m2),
比(2)中面积增大6.25-6.09=
0.16(
m2).
当堂检测：
1解：如果长方形的长是x厘米，则宽为(x-5)厘米，其周长为2(x+x-5)厘米，所以可列方程2(2x-5)=17．
故答案是：2(2x-5)=17．
2解：设长方形的宽为xcm，
则长方形的长为(15-x)cm，
依题意列方程：x+2=(15-x)-1．
故选D．
3解：设正方形的边长为xcm，可列方程是2(x-2)+2x=26．故选D．
4解：梯形的上底为x
cm，它的下底比上底的2倍少3
cm，
∴下底为(2x-3)cm，
又梯形的面积是84
cm2，高为8
cm，
∴×8×[x+(2x-3)]=84，
故选D．
5
解：设AE为xcm，则AM为(14-3x)cm，
根据题意得出：∵AB=CD，∴AN+6=x+MR，
即6+2x=x+(14-3x)
故选：B．
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精品试卷·第
2
页
（共
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5.3
应用一元一次方程
--水箱变高了
数学北师大版
七年级上
复习导入
解应用题的一般步骤？
（1）审题
（2）设未知数
（3）列方程
（4）解题
（5）检验
（6）解答
新知讲解
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4
m的圆柱形储水箱。现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4
m减少为3.2
m。那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4
m增高为多少米?
图5-1
新知讲解
在这个问题中有如下的等量关系:旧水箱的容积=新水箱的容积。设水箱的高变为xm，填写下表:
旧水箱
新水箱
底面半径/m
高/m
容积/m3
16π
16π
4
x
2
1.6
新知讲解
根据等量关系，列出方程:_________________________
解得x=____
因此，水箱的变高了______________
列方程时，关键是找出问题中的等量关系.
π×1.6?x=16π
6.25
6.25m
新知讲解
例
用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.
(1)使得该长方形的长比宽多1.4
m，此时长方形的长、宽各为多少米?
(2)使得该长方形的长比宽多0.8
m，此时长方形的长、宽各为多少米?它所围成的长方形与(1)中所围长方形相比，面积有什么变化?
新知讲解
(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米?它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化?
分析:由题意可知，长方形的周长始终是不变的，即长与宽的和为:
10x
=5(m).在解决这个问题的过程中，要抓住这个等量关系.
新知讲解
解:
(1)设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m.
根据题意，得x+x+1.4=10x
解这个方程，得
x=1.8.
1.8+1.4=3.2.
此时长方形的长为3.2m,宽为1.8
m.
新知讲解
(2)设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+0.8
)m.
根据题意，得x+x+0.8=10x
.
解这个方程，得
x=2.1.
2.1+0.8=2.9.
新知讲解
此时长方形的长为2.9m,宽为2.1
m,
面积为2.9x2.1=
6.09(m2),
(1)中长方形的面积为3.2x
1.8
=
5.76(m2).
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大
6.09-
5.76=0.33(m2).
新知讲解
(3)设正方形的边长为xm.
根据题意，得x+x=10x
解这个方程，得x=2.5.
正方形的边长为2.5m,
正方形的面积为2.5x2.5=6.25(m2),
比(2)中面积增大6.25-6.09=
0.16(m2).
同样长的铁丝可以围更大的地方.
新知讲解
变式：
如图，根据图中的信息，可得正确的方程是(
)
A.
π×42
x=π×32×(x-5)
B.
π×42x=π×32×(x+5)
C.
π×82
x=π×62×(x+5)
D.
π×82
x=π×62×5
B
新知讲解
解：依题意，得：π×42x=π×32×(x+5)．
故选：B．
新知讲解
水箱变高了，实质上是等积变形问题。关键是要抓住变化过程中的不变量，列方程求解。
一 物体锻压或液体更换容器题，体积（或容积）不变。
二 固定长度，虽然围成的图形形状及面积不同，但是应抓住图形的总周长不变。
三 图形的拼接、割补、平移、旋转等类型题，应抓住图形的面积、体积不变。
1、如果长方形的长是x厘米，长比宽长5厘米，周长是17厘米，则可列出方程_________________．
课堂练习
2(2x-5)=17
课堂练习
解：如果长方形的长是x厘米，
则宽为(x-5)厘米，
其周长为2(x+x-5)厘米，
所以可列方程2(2x-5)=17．
故答案是：2(2x-5)=17．
课堂练习
2、一个长方形的周长为30cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可以变成一个正方形，设长方形的宽为xcm，可列方程为（
）?
A.
x-2=(30-x)+1
B.x-2=(15-x)+1
C.
x+2=(30-x)-1
D.
x+2=(15-x)-1
D
课堂练习
解：设长方形的宽为xcm，
则长方形的长为(15-x)cm，
依题意列方程：x+2=(15-x)-1．
故选D．
课堂练习
3、如图，正方形的一边长减少2
cm后，得到一个长方形(图中阴影部分).若长方形的周长为26
cm，求正方形的边长．设正方形的边长为x
cm，可列方程为(
)
A.
x+(x+2)=26
B.
2x+2(x+2)=26
C.
x+(x-2)=26
D.
2x+2(x-2)=26
D
解：设正方形的边长为xcm，
可列方程是2(x-2)+2x=26．
故选D．
课堂练习
4、一个梯形的面积是84cm2，高为8cm，它的下底比上底的
2倍少3cm，求这个梯形的上底和下底的长度．解题时，设梯形的上底为xcm，那么下面方程正确的是(
)．
A.
8[x+(2x+3)]=84
B.
8[x+(2x-3)]=84
C.
×8×[x+(2x+3)]=84
D.
×8×[x+(2x-3)]=84
D
课堂练习
解：梯形的上底为x
cm，它的下底比上底的2倍少3
cm，
∴下底为(2x-3)cm，
又梯形的面积是84
cm2，高为8
cm，
∴
×8×[x+(2x-3)]=84，
故选D．
5、在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽AE。若AE=x(cm)，依题意可得方程（
）
A.6+2x=14-3x
B.6+2x=x+(14-3x)
C.14-3x=6
D.6+2x=14-x
B
拓展提高
拓展提高
解：设AE为xcm，则AM为(14-3x)cm，
根据题意得出：∵AB=CD，∴AN+6=x+MR，
即6+2x=x+(14-3x)
故选：B．
课堂总结
水箱变高了
（等积变形问题）
一 物体锻压或液体更换容器题，体积（或容积）不变。
二 固定长度，虽然围成的图形形状及面积不同，但是应抓住图形的总周长不变。
三 图形的拼接、割补、平移、旋转等类型题，应抓住图形的面积、体积不变。
板书设计
课题：5.3
应用一元一次方程
--水箱变高了
?
教师板演区
?
学生展示区
一、解应用题
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P142练习题
练习册基础
能力作业：
课本P142练习题
