北师大版九年级数学上册第五章投影与视图知识精讲(附答案）

第五章
视图与投影
知识要点
1.
主要概念：
（1）圆柱的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆。
（2）圆锥的主视图是三角形；左视图是三角形；俯视图是圆，还要画上圆心。
（3）球的主视图是圆；左视图是圆；俯视图是圆。
（4）投影：物体在光线的照射下，会在地面或墙上留下它的影子，这就是投影现象。
（5）平行投影：太阳光线可以看成是平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。
（6）中心投影：由一点发出的光线形成的投影是中心投影。
（7）视点：眼睛的位置称为视点。
（8）视线：由视点出发的线称为视线。
（9）盲区：视线看不到的地方称为盲区。
2.
主要原理：
（1）画视图时，看得见的部分的轮廓通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线。
（2）我们在画三视图时，主、左视图的高要相等；俯、左视图的宽要相等。
（3）在同一时刻，不同物体的影子与它们的高度是成比例的。
（4）在同一天中，由早晨到傍晚，物体的影子由正西、北偏西、正北、北偏东、正东的方向移动。
（5）当投影光线与投影面垂直时，形成的投影就是物体的正投影。
【典型例题】
例1.
如图，画出正三棱柱在这两种位置时的视图。
解：图中正三棱柱在位置（一）时的三视图如下图所示。
图中正三棱柱在位置（二）时的三视图如下图所示：
例2.
如图所示，画出下列物体的三视图。
答：两个物体的三视图如图（a）（b）
例3.
图1是底面为等腰直角三角形的三棱柱俯视图，画出它们主视图和左视图。
解：如图2。
例4.
某校墙边有甲、乙两根木杆。
（1）某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图（1）所示，你能画出此时乙木杆的影子吗？
（2）当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？
（3）在你所画的图形中有相似的三角形吗？为什么？
解答：（1）如图（2），作直线，过E作的平行线，交所在直线于，则就是乙木杆的影子；
（2）平移由乙杆、乙杆的影子和太阳光线所构成的图形（即△BE），直到其影子的顶端抵达墙角为止；
（3）△与△相似。
例5.
（山西省中考题）如图，小明想测量电线杆AB的高度，他发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为_____________米（结果保留两位有效数字，）。
解答：延长BC、AD，二线交于点E，过点D作DF⊥BE于点F，则BE为旗杆AB的影子。
∵∠DCF=30°，CD=4m
∴DF=，∴
∵∠ABC=∠DFE=90°，∠E=∠E，
∴△ABE∽△DFE，∴
∵在同一时刻两物体的物高与影长成比例，∴
设AB=x米，则BE=2x米
∴
∴（米）
答：电线杆的高度约为8.7米。
例6.
如图所示，路灯下某公路护栏AB的影子为，某果树CD的影子为，请画出电线杆EF的影子。
解答：如图所示，作直线，交于点O，连结OF并延长交AE于，即为EF的影子。
例7.
同一时刻，一棵树和一竿旗的影子如图所示，这是白天还是夜晚，请画出小明此刻的影子。
解：是夜晚，分别过小树及其影子顶端，旗杆及其影子顶端作直线交点为O，过O点及小明头部顶点作直线，此直线与地面交于点B，设小明立足点为A，则AB是小明的影子。
例8.
与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花和一棵树。晚上，幕墙反射路灯灯光形成了那盆花的影子，树影是路灯灯光形成的，如下图所示，你能确定此时路灯光源的位置吗？
解：过盆花及其影子顶端作直线，作反射面法线，作∠2=∠1，得光线l1，过树及其影子顶端作直线l2，两线交点O，则O处为灯光位置。
例9.
小明、小刚在同一座楼的四层、六层。他们楼前有一商店，他们的同学小江在下面喊，小明说，小江在哪儿呢？小刚说我看到小江啦！请问此时小江在什么位置？
解：将六楼处设为点A，四楼处设为点，商店顶部一点设为点B，过A、B，、B分别作直线交地面于C、D两点，如图所示。小江在CD区域内。
真题演练
一、选择题
1.
如图（1）所示，所对应的物体还是图（2）所示中的（
）
图（1）
图（2）
2.
如图（3）所示的空心几何体的俯视图是图（4）中的（
）
图（3）
图（4）
3.
物体在太阳光的照射下，不同的时刻会发生的现象是（
）
A.
影子的大小不变，方向在变
B.
影子的大小在变，方向不变
C.
影子的大小、方向都在变
D.
影子的大小、方向都不变
4.
强强和亮亮在路灯下走，本来很高的强强的影长却比矮的亮亮的影子短，因为（
）
A.
强强离路灯近
B.
亮亮离路灯近
C.
强强和亮亮分别在路灯的两旁
D.
路灯比强强高
5.
货车司机的驾驶室一般都设计得较高，而且尽量靠前，这是为了（
）
A.
接触到更好的阳光
B.
看得更远
C.
减小因车头挡住视线产生的盲区
D.
空气更新鲜
6.
下列投影中，不属于中心投影的是（
）
A.
晚上路灯下小孩的影子
B.
汽车灯光照射下行人的影子
C.
阳光下沙滩上人的影子
D.
舞台上一束灯光下演员的影子
7.
小明拿了一张正方形卡片，使卡片面与墙面平行，这时发现墙面上形成了卡片的影子，则下列关于其影子的叙述正确的是（
）
A.
墙上形成的影子的形状和大小一定与卡片相同
B.
墙上形成的影子有可能比卡片小
C.
墙上形成的影子比卡片大或小都有可能
D.
墙上形成的影子有可能比卡片大
8.一个几何体的主视图和左视图都是相同的长方形，府视图为圆，则这个几何体为（
）
A、圆柱
B、圆锥
C、圆台
D、球
9.从早上太阳升起的某一时刻开始到晚上，旭日广场的旗杆在地面上的影子的变化规律是（
）
A、先变长，后变短
B、先变短，后变长
C、方向改变，长短不变
D、以上都不正确
10.在相同的时刻，物高与影长成比例.如果高为1.5米人测竿的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（
）
A、20米
B、16米
C、18米
D、15米
11.下列说法正确的是（
）
A、物体在阳光下的投影只与物体的高度有关
B、小明的个子比小亮高，我们可以肯定，不论什么情况，小明的影子一定比小亮的影子长.
C、物体在阳光照射下，不同时刻，影长可能发生变化，方向也可能发生变化.
D、物体在阳光照射下，影子的长度和方向都是固定不变的.
12.关于盲区的说法正确的有（
）
（1）我们把视线看不到的地方称为盲区
（2）我们上山与下山时视野盲区是相同的
（3）我们坐车向前行驶，有时会发现一些高大的建筑物会被比它矮的建筑物挡住
（4）人们常说“站得高，看得远”，说明在高处视野盲区要小，视野范围大
A、1
个
B、2个
C、3个
D、4个
13.如图1是空心圆柱体在指定方向上的视图，正确的是（
）
图1
14.如图2所示，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发
出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图.
已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡距离地
面3m，则地面上阴影部分的面积为（
）
图
2
A、0.36m2
B、0.81m2
C、2m2
D、3.24m2
15.如图3是小明一天上学、放学时看到的一根电线杆的影子的府视图，按时间先后顺序进行排列正确的是（
）
A、（1）（2）（3）（4）
B、（4）（3）（1）（2）
C、（4）（3）（2）（1）
D、（2）（3）（4）（1）
16.“皮影戏”作为我国一种民间艺术，对它的叙述错误的是（
）
A.它是用兽皮或纸板做成的人物剪影，来表演故事的戏曲
B.表演时，要用灯光把剪影照在银幕上
C.灯光下，做不同的手势可以形成不同的手影
D.表演时，也可用阳光把剪影照在银幕上
17.给出下列结论正确的有（
）
①物体在阳光照射下，影子的方向是相同的
②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的
③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关
④物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题
18.
明明和亮亮为了踢好足球，练习追逐跑，于是他们两人决定玩踩影子的游戏，即踩到对方影子为获胜，你认为在阳光下练习还是在路灯下练习更有意义？_____________。
19.
现有甲、乙两个长方体盒子，甲的规格为：15cm×40cm×60cm，乙的规格为：20cm×30cm×30cm。
（1）乙盒子____________（填“能”或“不能”）放在甲盒子中；
（2）在阳光下乙盒子的影子____________（填“能”或“不能”）藏在甲盒子的影子中。
20.
明明和爸爸玩将手影投在墙上的游戏，爸爸的手大，手影做出了一只大狗，明明的手小，但手影却做出了一只更大的狗，明明的手比爸爸手_____________（填“靠近”或“远离”）墙。
21.
阳光下，在同一时刻，物体越高，它的影子越_____________。在灯光下，物体的影长不仅与物体的_____________有关，还与物体到光源的_____________有关。
22.
三种视图都相同的几何体有_____________。
23.
根据下列物体的三视图，如图，可知几何体是_____________
1
24.主视图、左视图、府视图都相同的几何体为
（写出两个）.
25、太阳光线形成的投影称为
，手电筒、路灯、台灯的光线形成的投影称为
.
26、我们把大型会场、体育看台、电影院建为阶梯形状，是为了
.
27、为了测量一根电线杆的高度，取一根2米长的竹竿竖直放在阳光下，2米长的竹竿的影长为1米，并且在同一时刻测得电线杆的影长为7.3米，则电线杆的高为
米.
28、如果一个几何体的主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图为圆，那么我们可以确定这个几何体是
.
29、将一个三角板放在太阳光下，它所形成的投影是
，也可能是
.
30、身高相同的小明和小华站在灯光下的不同位置，如果小明离灯较远，那么小明的投影比小华的投影
.
31、展览厅内要用相同的正方体木块搭成一个三视图如图4的展台，则此展台共需这样的正方体______块。
32、一张桌子摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共
有
个碟子。
33、身高相同的小明和小丽站在灯光下的不同位置，已知小明的投影比小丽的投影长，我们可以判定小明离灯光较_________.
三、解答题
34.
如图，某汽车司机在平坦的公路上行驶，前面出现两个建筑物，在A处司机能看到甲建筑物的一部分（把汽车看成一个点），这时视线与公路夹角α=30°，乙建筑物的高度为15米，若汽车刚好看不到甲建筑物时，司机的视线与公路的夹角为45°，请问他行驶了多少千米？
35
如图所示，添线补全下列物体的三种视图：
36.
如图所示，分别是两根木杆及其影子的情形。
（1）哪个图形反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？
（2）请你画出图中表示小树影长的线段。
37某个有阳光的上午，战士们队列整齐地在操场上做操，战士甲和战士乙在同一列，战士甲恰好能踩到战士乙的影子，但战士甲的影子却不能被他后面的战士踩到，你知道战士甲和战士乙谁高吗？为什么？
38
如图，某小区宿舍楼甲楼坐落在正南正北方向，楼高16m，现在要在甲楼后面盖一座乙楼，冬天太阳最低时的正午时刻，若两楼相距20m，则甲楼的影子将落在乙楼上6m，若使甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光，那么两楼的距离应是多少米？
39、某糖果厂为儿童设计一种新型的装糖果的不倒翁（如图5所示）
请你为包装厂设计出它的主视图、左视图和府视图.
40、画出图6中三棱柱的主视图、左视图、俯视图.
41、画出图7中空心圆柱的主视图、左视图、俯视图.
42、如图8所示，屋顶上有一只小猫，院子里有一只小老鼠，若小猫看见了小老鼠，则小老鼠就会有危险，试画出小老鼠在墙的左端的安全区.
拓广探索（共20分）
43、如图9为住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=30m，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况，（1）当太阳光与水平线的夹角为30°角时，求甲楼的影子在乙楼上有多高（精确到0.1m，1.73）；（2）若要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上，此时太阳与水平线的夹角为多少度？
44、阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1m长的影子[如图（10）所示]，已知窗框的影子DE到窗下墙脚的距离CE=3.9m，窗口底边离地面的距离BC=1.2m，试求窗口的高度（即AB的值）
45、一位同学想利用有关知识测旗杆的高度，他在某一时刻测得高为0.5m的小木棒的影长为0.3m，但当他马上测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影子CD=1.0m，又测地面部分的影长BC=3.0m，你能根据上述数据帮他测出旗杆的高度吗？
46、学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图7，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得．
（1）请在图中画出形成影子的光线，交确定路灯灯泡所在的位置；
（2）求路灯灯泡的垂直高度；
（3）如果小明沿线段向小颖（点）走去，当小明走到中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处，…按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为
m（直接用的代数式表示）．
【试题答案】
一、
1.
A
2.
A
3.
D
4.
A
5.
C
6.
C
7.
D
8、A；9、B；10、C；11、C；12、C；13、C；14、B；15、B；16、D；17、B；
二、
18.
阳光下
19
（1）不能
（2）能
20.
远离
21.
长，高度，距离
22
球
23
五棱柱
24、正方体或圆；25、平行投影，中心投影；26、减小盲区；27、14.6；28、圆锥；29、三角形，一条线段；30、长31、10；32、12；133、远；
三、
34.
解：过甲、乙建筑物顶端B、C两点作直线交地面于D，则汽车行至D点时刚好看不到甲建筑物，且∠BDE=45°。
在Rt△ACF中，
∠A=30°，CF=15
∴
在Rt△CFD中，
∵∠BDE=45°，∴∠FCD=45°
∴FD=CF=15
∴DA=AF－DF=。
答：他行驶了米。
35
36
（1）上图为路灯下的情形
下图为阳光下的情形
（2）上图先找到灯泡的位置再画树影
下图找出太阳光的方向，作平行线得到树影
37
乙比甲高
38.
由已知条件可求影长与物高的比为2，所以要使乙楼恰好采光不受影响，两楼的距离应为32m。
39、
40、
41、
42、略
43、（1）如图2，延长OB交DC于E，作EF⊥AB，交AB于F，
在Rt△BEF中，∵EF=AC=30m，∠FEB=30°，∴BE=2BF.
设BF=x,则
BE=2x.
根据勾股定理知
BE2=BF2＋EF2
∴（2x）2=x2+302
∴(负值舍去)，∴（m）
因此，EC=30－17.3=12.7（m）。
（2）当甲幢楼的影子刚好落在点C处时，△ABC为等腰三角形，因此，当太阳光与水平线夹角为45°时，甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上。
44、解：由于阳光是平行光线，即AE∥BD，
所以∠AEC=∠BDC.
又因为∠C是公共角，
所以△AEC∽△BDC，从而有.
又AC=AB+BC，DC=EC－ED，EC=3.9，ED=2.1，BC=1.2，
于是有，解得
AB=1.4(m)。
答：窗口的高度为1.4m。
45、能。旗杆的高度为6.0m。
分析：本题可以通过小明的身高和他的影子找出光源（即灯泡）的位置，由于路灯光线的投影是中心投影，然后利用相似三角形对应边成比例进行计算即可
46、解：（1）连接CA并延长交HE于G（如图3）
（2）由题意得：，
，，（m）．
（3），，
图4
俯视图
主视图
左视图
图5
图6
图7
图8
图9
图10
图11
图2
图3
1