《三角形的面积》教学设计
一、教学目标
1、知识与能力
在探究环节经历三角形的面积计算公式的探索过程，解释理解并掌握三角形的面积计算公式，能应用公式解决一些简单的实际问题，培养学生应用新知识解决新问题的能力。
2、过程与方法
经历探究三角形的面积计算方法的过程，培养学生操作、观察、推理及概括能力，体会转化思想，在解决实际问题的过程中感受数学与生活的密切联系。
3、情感、态度与价值观
让学生体验数学与实际生活的密切联系，并在探究活动中获得积极的情感体
验，进一步培养学生的数学学习兴趣。
二、教学重难点
1、教学重点
三角形面积公式的推导及应用公式进行计算。
2、教学难点
理解拼成的平行四边形的面积与原来三角形的面积之间关系。
三、教学方法
自主、合作、探究
四、教学过程
一、引入环节
师：大约在2000年前，我国数学名著《九章算术》中的方田章就论述了平面图形面积的算法。书中说：“方田术曰，广从步数相乘得积步。”其中“方田”是指长方形田地，“广”和“从”是指长和宽，也就是说：长方形的面积=长×宽。
师：上节课，我们又利用长方形的面积推导出了平行四边形的面积，谁来具体说一说？
生：我们是通过割补的方法，将平行四边形转化成长方形，我们知道转化后长方形的面积与原来平行四边形的面积相等，长方形的长与原来平行四边形的底相等，长方形的宽与原来三角形的高相等。我们知道长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高。
师：你表达得很清楚，我们把平行四边形转化成长方形，然后沟通了转化后的长方形和转化前的平行四边形这两个图形之间的联系，进而推导出平行四边形的面积计算公式。在数学学习上，像这样把新知转化为旧知的研究方法很常用。
师：在《九章算术》里还讲到了一种平面图形面积的计算，“圭田术曰：半广以乘正从。”也就是说：三角形的面积=底×高÷2。要知道“尽信书不如无书”。今天这节课，我们继续用转化的方法来研究三角形的面积。【板书课题：三角形的面积】
【设计意图】以中国古代数学名著《九章算术》作为引入，激发学生的求知欲，增强民族自豪感，极大地调动学生的数学学习积极性。同时，也让学生了解数学来源于生活，符合“以实际情景为抓手，直击学生现实”的教学策略。
二、探究环节
师：请小组长拿出学具袋，大家一起看一看都有什么？
生：对，每组都有一些三角形，有的完全一样，有的不一样。
师：好，看完坐端正，想一想你打算把它转化成什么图形呢？为了使研究更深入，我们进行小组合作，请一位同学来读一读合作要求：
活动一：利用手中的三角形拼一拼、折一折甚至剪一剪将它转化成已学图形。先独立操作，再在小组内交流你的发现。
活动二：根据活动一的操作与交流，你对推导三角形面积计算公式有什么想法？
活动三：请验证你的想法，推导出三角形的面积公式，并把你的推导过程记录下来。
学生进行分组讨论，查阅资料，然后动手操作验证。教师对整个过程巡视，观察学生的实践情况，倾听学生的想法，给予学生必要的指导。
三、解释环节
师：请学生代表汇报。
生1：我们小组是用拼一拼的方法，把两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形，直角三角形的底等于长方形的长，直角三角形的高等于长方形的宽，直角三角形的面积是拼成的长方形的面积的一半，长方形的面积是长乘宽，三角形的面积是底乘高÷2。
师：关于两个直角三角形，你还有什么要说的吗？
生2：我们小组还发现两个完全一样的直角三角形不仅可以拼成长方形，还可以拼成平行四边形，直角三角形的底等于平行四边形的底，直角三角形的高等于平行四边形的高，直角三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，平行四边形的面积等于底乘高，三角形的面积就是底乘高÷2。
生3：我们小组是用两个完全一样的锐角三角形可以拼成平行四边形，锐角三角形的底等于平行四边形的底，锐角三角形的高等于平行四边形的高，锐角三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，平行四边形的面积等于底乘高，三角形的面积就是底乘高÷2。
生4：我们小组是用两个完全一样的钝角三角形可以拼成平行四边形，钝角三角形的底等于平行四边形的底钝角三角形的高等于平行四边形的高钝角三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，平行四边形的面积等于底乘高，三角形的面积就是底乘高÷2。
师：长方形和正方形是特殊的平行四边形，看来不管是锐角三角形、直角三角形、还是钝角三角形，只要是两个完全一样的三角形就能拼成一个平行四边形，大家都说其中一个三角形的面积是平行四边形面积的一半，那三角形的面积计算公式是：底乘高除以2。
那这里的底是谁的？高是谁的？
师：也就是三角形和拼成的平行四边形等底等高，
那底乘高表示什么意思，为什么要除以2？
生：底乘高表示的两个完全一样的三角形拼成的平行四边形的面积，一个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，所以要除以2。
师：那除了拼一拼。还有其他研究方法吗？
生5：我们小组利用的是割补法，将三角形沿高的一半剪下来，补在剩余图形的右边，拼成一个平行四边形。拼成的平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形高的一半。三角形的面积=底×（高÷2）也就等于底×高÷2
师：非常棒，谁还有不同方法？
生6：我们小组是利用的折一折的方法，将三角形折成长方形。折出的长方形的面积是三角形面积的一半，长和宽分别是三角形底和高的一半。三角形的面积=长方形的面积×2=（底÷2×高÷2）×2=底×高÷2
师：你们小组也很了不起，掌声送给他们。
师：最后两种方法，和我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积不谋而合。出入相补原理就是把一个图形分割、移补，而面积保持不变，来计算出它的面积。我们一起来看一下。我国古代数学家固然伟大，但是老师觉得你们也很了不起。因为你们用拼一拼、折一折、割补法，三种方法将三角形转化平行四边形或长方形推导出了三角形的面积，把最热烈的掌声送给自己。
师：那如果用a表示三角形的底，h表示三角形的高，s表示三角形的面积，三角形的面积计算公式用字母怎么表示：S=ah÷2
【设计意图】通过让学生观察、思考、动手操作进行验证，利用图形的直观描述来把复杂的问题简单化、形象化，有助于学生探索问题，理解数学，培养了学生的几何直观能力。同时把三角形分类讨论，然后归纳类比得出三角形的面积计算公式，发展合情推理能力，为学生后继发展演绎推理能力做准备。
四、精致环节
【基础练习】
运用公式求下列三角形的面积。
【拓展提高】
判断
1、三角形的面积是平行四边形面积的一半。
2、一个三角形的面积是20平方米，与它等底等高的平行四边形的面积是40平方米。
3、一个三角形的底和高都是4厘米，它的面积是16平方厘米。
【发散思维】
下图中哪个三角形的面积与涂色三角形的面积相等？为什么？
【设计意图】在“以学生为主体，整体把握学生”的教学策略的指导下，设计层层递进的练习，既训练学生的基础知识，又考虑到学生的个体差异。形式多样的练习有利于训练学生的计算能力，应用公式解决问题的能力。
五、总结提升
好了，同学们，恭喜大家顺利闯关。
那么这节课你有那些收获呢?
生：知道了三角形的面积计算公式
生：学会了用转化的方法推导三角形的面积计算公式。
师：这节课我们通过转化、沟通、推导的思路又研究了三角形的面积计算公式，不仅平行四边形、三角形可以运用这种方法，以后学习梯形的面积、组合图形的面积、圆的面积等等都可以运用这种方法。
最后，老师想告诉大家，数学的世界充满乐趣。有时候，只要我们稍微改变一下思考的角度，就会有奇妙的发现！(共16张PPT)
人教版五年级上册
三角形的面积
原文：今有田广十二步，从十四步。问为田几何？
答曰：一百六十八步。
方田术曰：广从(zòng)相乘得积步。
注释：
（1）广：宽，从：长。
（2）方田：指方形（含长方形、正方形）田地的计算问题。术：计算法则。
（3）积步：边长以步为单位的面积的平方步数，即长（步）×宽（步）。
广
从
长
底
宽
高
长方形面积
＝
长
×
宽
平行四边形面积
底
高
＝
×
S
＝
ah
原文：今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何？
答曰：一百二十六步。
术曰：半广以乘正从。
注释：
（1）圭：圭形，指三角形。
（2）广：三角形底边长。
（3）正从：三角形底边上的高。
广
正从
小组合作要求：
活动一：利用手中的三角形拼一拼、折一折或者剪一剪将它转化成已学图形。先独立操作，再在小组内交流你的发现。
活动二：根据活动一的操作与交流，你对推导三角形面积计算公式有什么想法？
活动三：请验证你的想法，推导出三角形的面积公式，并把你的推导过程记录下来。
我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积。出入相补原理就是把一个图形分割、移补，而面积保持不变，来计算出它的面积。
如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，那么三角形的面积计算公式可以写成：
S=ah÷2
基础练习
1.
运用公式求下列三角形的面积。（单位：厘米）
S＝ah÷2
＝10×7÷2
＝35（cm2）
S＝ah÷2
＝8×5÷2
＝20（cm2）
S＝ah÷2
＝10×6÷2
＝30（cm2）
7
5
8
6
8
10
10
拓展提高
判断
1、三角形的面积是平行四边形面积的一半。
2、一个三角形的面积是20平方米，与它等底等高的平行四边形的面积是40平方米。
3、一个三角形的底和高都是4厘米，它的面积是16平方厘米。
×
√
×
1、下图中哪个三角形的面积与涂色三角形的面积相等？为什么？
注意：同底等高的三角形的面积相等。
发散思维
课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？
请用今天学过的知识，在方格纸上构造一个面积为12平方厘米的三角形，看看谁画的多。
课后作业
丰奥嘉园小学
数学的世界充满乐趣。有时候，只要我们稍微改变一下思考的角度，就会有奇妙的发现！
