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人教版九年级下册第26章《反比例函数》导学案
[26.1.1
反比例函数的定义]
学习目标
1．理解反比例函数的概念；(难点)
2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；(重点)
3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．(重点)
课前预习
1.什么是函数？
2.什么是一次函数？
3.什么是正比例函数？
4.乘法表中乘积为12的两个因数之间存在什么关系？
导入新课
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式.
问题1：京沪线铁路全程为
1463
km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化．
问题2：某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长
y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化.
问题3：已知北京市的总面积为1.68×104km2，人均占有面积
S（单位:km2/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化．
讲授新课
问题：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？
都具有
的形式，其中
是常数．
反比例函数的概念：
________________________________________________________________________________
思考：反比例函数y=(k≠0)
的自变量
x
的取值范围是什么？
________________________________________________________________________________
思考：反比例函数除了可以用y=(k≠0)的形式表示，还有没有其他表达方式？
反比例函数的三种表达方式：(注意
k
≠
0)
________②_________③_________
【针对练习】下列函数是不是反比例函数？若是，请指出
k
的值.
（1）y=3x-1
（2）y=-
（3）y=-
（4）y=3x-1
（5）y=
典例分析
【例1】已知函数是反比例函数，求
m
的值.
【点睛】已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可，如本题中
x
的次数为－1，且系数不等于0.
【针对练习】
1.当m=
时，是反比例函数.
2.已知函数是反比例函数，则
k
必须满足
.
【例2】已知
y
是
x
的反比例函数，并且当
x=2时，y=6.
(1)
写出
y
关于
x
的函数解析式；
(2)
当
x=4
时，求
y
的值.
【归纳】用待定系数法求解反比例函数解析式的一般步骤：
1.设出含有待定系数的反比例函数关系式；
2.把一对已知的x,y的值代入关系式，得到一个关于待定系数的方程；
3.解这个方程，求出待定系数；
4.将所求得的待定系数代回所设的函数关系式.
【针对练习】
1.y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值；
写出这个反比例函数的表达式；(2)根据函数表达式完成上表.
2.已知
y
与
x+1
成反比例，并且当
x
=
3
时，y
=
4.
(1)
写出
y
关于
x
的函数解析式；(2)
当
x
=
7
时，求
y
的值．
【例3】人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄.
当车速为
50km/h
时，视野为
80
度，如果视野
f
(度)
是车速
v
(km/h)
的反比例函数，求f关于v的函数解析式，并计算当车速为100km/h
时视野的度数.
【例4】如图所示，已知菱形
ABCD
的面积为180，设它的两条对角线
AC，BD的长分别为x，y.
写出变量
y与
x
之间的关系式，并指出它是什么函数.
课堂练习
1.下列函数中，y
是
x
的反比例函数的是
(
)
2.生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，
x
和
y
成反比例函数关系的有
(
)
①
x人共饮水10
kg，平均每人饮水
y
kg；②底面半径为
x
m，高为
y
m的圆柱形水桶的体积为10
m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为
x
cm，做成圆的半径为
y
cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为
x，放满一桶水的时间
y
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
3.填空
(1)若是反比例函数，则
m
的取值范围是___________.
(2)若是反比例函数，则m的取值范围是______________________.
(3)若是反比例函数，则m的取值范围是____________________.
4.已知变量
y
与
x
成反比例，且当
x
=
3时，y
=－4.
(1)
写出
y
关于
x
的函数解析式；
(2)
当
y=6
时，求
x
的值.
5.已知
y
=
y1+y2，y1与
(x－1)
成正比例，y2
与
(x
+
1)
成反比例，当
x=0
时，y
=－3；当
x=1
时，y
=－1，求：(1)
y关于x的关系式；(2)
当
x=-时，y的值.
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2020年秋人教版九年级数学下册
第十六章反比例函数
26.1.1
反比例函数的定义
理解并掌握反比例函数的概念；会判断一个函数是否是反比例函数.
从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式.
学习目标
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式.
(1)
京沪线铁路全程为1463
km，某次列车的平均速度v
(单位：km/h)
随此次列车的全程运行时间
t
(单位：h)
的变化而变化；
新课导入
(2)
某住宅小区要种植一块面积为
1000
m2
的矩形草坪，草坪的长
y
(单位：m)
随宽
x
(单位：m)的变化而变化；
(3)
已知北京市的总面积为1.68×104
km2
，人均占有面积
S
(km2/人)
随全市总人口
n
(单位：人)
的变化而变化.
问题：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？
都具有
的形式，其中
是常数．
分式
分子
(k为常数，k
≠
0)
的函数，叫做反比例函数，
一般地，形如
其中
x
是自变量，y
是函数.
讲授新课
思考：反比例函数
(k≠0)
的自变量
x
的取值范围是什么？
因为
x
作为分母，不能等于零，因此自变量
x
的取值范围是所有非零实数.
但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围.
例如，在前面得到的第一个解析式
中，t
的取值范围是
t＞0，且当
t
取每一个确定的
值时，v
都有唯一确定的值与其对应.
想一想：反比例函数除了可以用
(k
≠
0)
的形式表示，还有没有其他表达方式？
反比例函数的几种表达方式：(注意
k
≠
0)
等价形式：
y=kx-1
xy=k
y与x成反比例
（k≠0）
讲授新课
下列函数是不是反比例函数？若是，请指出
k
的值.
是，k
=
3
不是
不是
不是
是，
针对练习
例1
已知函数
是反比例函数，求
m
的值.
解得
m
=－2.
【点睛】已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可，如本题中
x
的次数为－1，且系数不等于0.
解：因为
是反比例函数，
所以
2m2
+
3m－3=－1，
2m2
+
m－1≠0.
典例分析
2.
已知函数
是反比例函数，则
k
必须满足
.
1.
当m=
时，
是反比例函数.
k≠2
且
k≠－1
±1
针对练习
例2
已知
y
是
x
的反比例函数，并且当
x=2时，y=6.
(1)
写出
y
关于
x
的函数解析式；
【分析】因为
y
是
x
的反比例函数，所以设
.把
x=2
和
y=6
代入上式，就可求出常数
k
的值.
解：设
.
因为当
x=2时，y=6，所以有
解得
k
=12.
因此
典例分析
(2)
当
x=4
时，求
y
的值.
解：把
x=4
代入
，得
用待定系数法求解反比例函数解析式的一般步骤
1.设出含有待定系数的反比例函数关系式；
2.把一对已知的x,y的值代入关系式，得到一个关于待定系数的方程；
3.解这个方程，求出待定系数；
4.将所求得的待定系数代回所设的函数关系式。
讲授新课
1.y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值；
x
…
-2
-1
1
…
y
…
4
-2
…
(1)写出这个反比例函数的表达式；
(2)根据函数表达式完成上表。
2
-4
2
解（1）∵
y是x的反比例函数,
把x=-1,y=4代入解析式，得:
?
?
解得：k=-4
?
针对练习
2.已知
y
与
x+1
成反比例，并且当
x
=
3
时，y
=
4.
(1)
写出
y
关于
x
的函数解析式；
(2)
当
x
=
7
时，求
y
的值．
(2)
当
x
=
7
时，
所以有
，解得
k
=16，因此
.
解：(1)
设
，因为当
x
=
3
时，y
=4
，
针对练习
例3
人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄.
当车速为
50km/h
时，视野为
80
度，如果视野
f
(度)
是车速
v
(km/h)
的反比例函数，求
f
关于
v
的函数解析式，并计算当车速为100km/h
时视野的度数.
当
v=100
时，f
=40.
所以当车速为100km/h
时视野为40度.
解：设
.
由题意知，当
v
=50时，f
=80，
解得
k
=4000.
因此
所以
典例分析
例4
如图所示，已知菱形
ABCD
的面积为180，设它的两条对角线
AC，BD的长分别为x，y.
写出变量
y与
x
之间的关系式，并指出它是什么函数.
A
B
C
D
解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，
所以
所以变量
y与
x
之间的关系式为
，
它是反比例函数.
典例分析
A.
B.
C.
D.
1.
下列函数中，y
是
x
的反比例函数的是
(
)
A
课堂练习
2.
生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，
x
和
y
成反比例函数关系的有
(
)
①
x人共饮水10
kg，平均每人饮水
y
kg；②底面半径为
x
m，高为
y
m的圆柱形水桶的体积为10
m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为
x
cm，做成圆的半径为
y
cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为
x，放满一桶水的时间
y
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
B
3.
填空
(1)
若
是反比例函数，则
m
的取值范围是
.
(2)
若
是反比例函数，则m的取值范围是
.
(3)
若
是反比例函数，则m的取值范围是
.
m
≠
1
m
≠
0
且
m
≠
－2
m
=
－1
4.
已知变量
y
与
x
成反比例，且当
x
=
3时，y
=－4.
(1)
写出
y
关于
x
的函数解析式；
(2)
当
y=6
时，求
x
的值.
解：(1)
设
.
因为当
x
=
3时，y
=－4，
解得
k
=－12.
因此，y
关于
x
的函数解析式为
所以有
(2)
把
y=6
代入
，得
解得
x
=－2.
5.
已知
y
=
y1+y2，y1与
(x－1)
成正比例，y2
与
(x
+
1)
成
反比例，当
x=0
时，y
=－3；当
x
=1
时，y
=
－1，求：
(1)
y
关于
x
的关系式；
解：设
y1
=
k1(x－1)
(k1≠0)，
(k2≠0)，
则
.
∵
x
=
0
时，y
=－3；x
=1
时，y
=
－1，
－3=－k1+k2
，
∴k1=1，k2=－2.
∴
∴
(2)
当
x
=
时，y
的值.
（2）把
x
=
代入
(1)
中函数关系式，得
y
=
?
1.反比例函数的定义：
等价形式：
y=kx-1
xy=k
（k≠0）
课堂小结
用待定系数法求解反比例函数解析式的一般步骤
1.设出含有待定系数的反比例函数关系式；
2.把一对已知的x,y的值代入关系式，得到一个关于待定系数的方程；
3.解这个方程，求出待定系数；
4.将所求得的待定系数带回所设的函数关系式。
谢谢聆听
