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人教版九年级下册第26章《反比例函数》导学案
[26.1.2
反比例函数的图象和性质]
学习目标
1.经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程.
(难点)
2.会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质.
(重点)
3.能够初步应用反比例函数的图象和性质解题．(重点)
复习回顾
1.反比例函数的定义？
2.反比例函数的三种等价形式？
3.用待定系数法求解反比例函数解析式的一般步骤？
4.
如何画函数的图像？
讲授新课
画出反比例函数y=和y=-的函数图象.
1.列表:
2.描点:
3.连线:
【思考】观察反比例函数y
和
y的函数图象，有什么相同点和不同点？
________________________________________________________________________________
【思考】
反比例函数y和y的图象在哪两个象限？它们相同吗？
________________________________________________________________________________
反比例函数y的图象在哪两个象限？由什么确定？
________________________________________________________________________________
3.
反比例函数y的图象的变化趋势是怎样的,它和两条坐标轴的位置关系是怎样的？
________________________________________________________________________________
【归纳】反比例函数的性质：
典例分析
【例1】已知反比例函数，y
随
x
的增大而增大，求a的值.
【例2】反比例函数的图象上有两点
A(x1，y1)，B(x2，
y2)，且A，B
均在该函数图象的第一象限部分，若
x1＞x2，则
y1与y2的大小关系为
(
)
A.
y1
>
y2
B.
y1
=
y2
C.
y1
<
y2
D.
无法确定
【针对练习】
1.已知反比例函数的函数图象位于第一、三象限,则m的取值范围是
.
2.下列函数中，其图象位于第二、四象限的有
,在其图象所在的象限内，y随x的减小而增大的有
.
3.函数的图象在第__________象限.
4.下列反比例函数图像的一个分支,在第三象限的是(
)
5.
已知k<0,则函数
y1=kx,y2=
在同一坐标系中的图象大致是
(
)
6.若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在反比例函数的图象上，则（
）
A.y1>y2>y3
B.y2>y1>y3
C.y3>y1>y2
D.y3>y2>y1
【例3】已知反比例函数的图象经过点
A
(2，6).
(1)
这个函数的图象位于哪些象限？y
随
x
的增大如何变化？
(2)
点B(3，4)，C(-2,-4)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
【针对练习】已知反比例函数的图象经过点
A
(2，3)．
(1)
求这个函数的表达式；
(2)
判断点
B
(－1，6)，C(3，2)
是否在这个函数的图象上，并说明理由；
(3)
当
－3<
x
<－1
时，求
y
的取值范围．
课堂练习
1.反比例函数的图象在
(
)
A.
第一、二象限
B.
第一、三象限
C.
第二、三象限
D.第二、四象限
2.在同一直角坐标系中，函数
y
=
2x
与的图象大致是
(
)
3.下列关于反比例函数的图象的三个结论：
(1)
经过点
(－1，12)
和点
(10，－1.2)；
(2)
在每一个象限内，y
随
x
的增大而减小；
(3)
双曲线位于二、四象限.
其中正确的是____________(填序号).
4.已知反比例函数的图象过点(－2，－3)，图象上有两点
A
(x1，y1)，B
(x2，y2)，
且
x1
>
x2
>
0，则
y1－y2
________0.
5.已知反比例函数在每个象限内，y
随着
x
的增大而减小，求
m
的值．
6.已知反比例函数
y
=
mxm?－5，它的两个分支分别在第一、第三象限，求
m
的值.
7.点
(a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数(k＞0)的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围.
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2020年秋人教版九年级数学下册
第十六章反比例函数
26.1.2
反比例函数的图象和性质
经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的
图象特征和性质的过程.
会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质.
能够初步应用反比例函数的图象和性质解题.
学习目标
?
1.反比例函数的定义：
等价形式：
y=kx-1
xy=k
（k≠0）
复习回顾
用待定系数法求解反比例函数解析式的一般步骤
1.设出含有待定系数的反比例函数关系式；
2.把一对已知的x,y的值代入关系式，得到一个关于待定系数的方程；
3.解这个方程，求出待定系数；
4.将所求得的待定系数带回所设的函数关系式。
如何画函数的图像？
提问：反比例函数的图像与性质又如何呢？
函数图象画法
描点法
列
表
描
点
连
线
x
画出反比例函数
和
的函数图象.
y
=
x
6
y
=
x
6
y
=
x
6
y
=
x
6
1.列表:
1
2
3
4
5
6
…
…
-6
-5
-4
-3
-2
-1
6
3
2
1.5
1.2
1
…
-1
-1.2
-1.5
-2
-3
-6
-6
-3
-2
-1.5
-1.2
-1
…
1
1.2
1.5
2
3
6
…
…
讲授新课
y
=
x
6
y
=
x
6
2.描点:
3.连线:
讲授新课
y
=
x
6
y
=
x
6
?
有两条曲线共同组成一个反比例函数的图像，叫双曲线.
?
?
?
思考：
?
思考：
?
?
思考：
当K＞0时图像经过第一、三象限；当K＜0时图象经过第二、四象限.
?
思考：
当k>0时,在每个象限内函数值y随自变量x的增大而减小；当k<0时,在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大。
讲授新课
例1:已知反比例函数
，y
随
x
的增大而增大，求a的值.
解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．
解得
a=－3.
典例分析
例2:
反比例函数
的图象上有两点
A(x1，y1)，B(x2，
y2)，且A，B
均在该函数图象的第一象限部分，若
x1＞x2，则
y1与y2的大小关系为
(
)
A.
y1
>
y2
B.
y1
=
y2
C.
y1
<
y2
D.
无法确定
C
提示：因为8＞0，且
A，B
两点均在该函数图象的第一象限部分，根据
x1＞x2，可知y1，y2的大小关系.
m<2
4.下列反比例函数图像的一个分支,在第三象限的是(
)
二、四
B
1.已知反比例函数
的函数图象位于第一、三象限,则m的取值范围是
.
3.函数
的图象在第
象限.
2.下列函数中，其图象位于第二、四象限的有
,在其图象
所在的象限内，y随x的减小而增大的有
.
(1),(4)
(2),(3)
针对练习
?
C
6.若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在反比例函数
的图象上，则（
）
A、y1>y2>y3
B、y2>y1>y3
C、y3>y1>y2
D、y3>y2>y1
B
例3：
已知反比例函数的图象经过点
A
(2，6).
(1)
这个函数的图象位于哪些象限？y
随
x
的增大如何变化？
解：因为点
A
(2，6)
在第一象限，所以这个函数的
图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y
随
x
的增大而减小.
典例分析
(2)
点B(3，4)，C(
，
)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为
，因为点
A
(2，6)在其图象上，所以有
，解得
k
=12.
因为点
B，C
的坐标都满足该解析式，而点
D的坐标不满足，所以点
B，C
在这个函数的图象上，点
D
不在这个函数的图象上.
所以反比例函数的解析式为
.
已知反比例函数
的图象经过点
A
(2，3)．
(1)
求这个函数的表达式；
解：∵
反比例函数
的图象经过点
A(2，3)，
∴
把点
A
的坐标代入表达式，得
，
解得
k
=
6.
∴
这个函数的表达式为
.
针对练习
(2)
判断点
B
(－1，6)，C(3，2)
是否在这个函数的图象上，并说明理由；
解：分别把点
B，C
的坐标代入反比例函数的解析式，因为点
B
的坐标不满足该解析式，点
C的坐标满足该解析式，所以点
B
不在该函数的图象上，点
C
在该函数的图象上．
(3)
当
－3<
x
<－1
时，求
y
的取值范围．
解：∵
当
x
=
－3时，y
=－2；
当
x
=
－1时，y
=－6，且
k
>
0，
∴
当
x
<
0
时，y
随
x
的增大而减小，
∴
当
－3
<
x
<
－1
时，－6
<
y
<
－2.
(1)
图象的另一支位于哪个象限？常数
m
的取值范围是什么？
O
x
y
例4：
如图，是反比例函数
图象的一支.
根据图象，回答下列问题：
解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.
由因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m－5＞0，解得m＞5.
典例分析
(2)
在这个函数图象的某一支上任取点
A
(x1，y1)
和点B
(x2，y2).
如果x1＞x2，那么
y1
和
y2
有怎样的大小关系？
解：因为
m－5
＞
0，所以在这个函数图象的任一支上，y
都随
x
的增大而减小，因此当x1＞x2时，y1＜y2.
O
x
y
1.
反比例函数
的图象在
(
)
A.
第一、二象限
B.
第一、三象限
C.
第二、三象限
D.第二、四象限
B
课堂练习
2.
在同一直角坐标系中，函数
y
=
2x
与
的图象大致是
(
)
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
A.
B.
C.
D.
B
3.
下列关于反比例函数
的图象的三个结论：
(1)
经过点
(－1，12)
和点
(10，－1.2)；
(2)
在每一个象限内，y
随
x
的增大而减小；
(3)
双曲线位于二、四象限.
其中正确的是
(填序号).
(1)(3)
4.
已知反比例函数
的图象过点(－2，－3)，图象上有两点
A
(x1，y1)，B
(x2，y2)，
且
x1
>
x2
>
0，则
y1－y2
0.
＜
5.已知反比例函数
在每个象限内，y
随着
x
的增大而减小，求
m
的值．
解：由题意得
m2－10=－1，且
3m－8＞0．
解得
m=3.
6.
已知反比例函数
y
=
mxm?－5，它的两个分支分别在第一、第三象限，求
m
的值.
解：因为反比例函数
y
=
mxm?－5
的两个分支分别在第一、第三象限，
所以有
m2－5=－1，
m＞0，
解得
m=2.
7.
点
(a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数
(k＞0)的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围.
解：由题意知，在图象的每一支上，y
随
x
的增大而减小.
①
当这两点在图象的同一支上时，
∵y1＜y2，∴a－1＞a+1，
无解；
②当这两点分别位于图象的两支上时，
∵y1＜y2，∴必有
y1＜0＜y2.
∴a－1＜0，a+1＞0，
解得：－1＜a＜1.
故
a
的取值范围为：－1＜a＜1．
课堂小结
谢谢聆听
