(共26张PPT)
2020年秋人教版九年级数学下册
第十六章反比例函数
26.1.3
反比例函数k的几何意义
理解并掌握反比例函数有关面积的三个性质.
能灵活利用反比例函数“K”的几何意义解决问题.
学习目标
问题1：反比例函数的图象是什么？
问题2：反比例函数的性质与
k
有怎样的关系？
反比例函数的图象是双曲线
当
k
>
0
时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y
随
x
的增大而减小；
当
k
<
0
时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y
随
x
的增大而增大.
复习回顾
2.若P(3，b)，则矩形OAPB的面积＝_________;
3.若P(5，c)，则矩形OAPB的面积＝_________.
反比例函数中“k”
的几何意义
x
y
O
P(1,a)
B
A
6
6
6
想一想：若P(x，y)，则矩形OAPB的面积＝_____.
6
?
B
A
P(3,b)
B
A
P(5,c)
讲授新课
?
P(m,n)
A
o
y
x
B
A
o
y
x
B
面积性质（一）
过反比例函数图象上任一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A,B，它们与坐标轴形成的矩形面积是不变的.
S矩形OAPB=OA·AP=|m|·|n|=|k|
讲授新课
例1：如图，A,B是双曲线
上的点，分别经过A,B两点向X轴、y轴作垂线段，若
.
。
.
4
典例分析
A.
SA
>SB>SC
B.
SAC.
SA
=SB=SC
D.
SA1.如图，在函数
(x＞0)的图像上有三点A，B
，C，过这三点分别向
x
轴、y
轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、
y轴围成的矩形的面积分别为SA
，SB，SC，则
(
)
y
x
O
A
B
C
C
针对练习
或
2.在双曲线
上任一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴y轴围成矩形面积为12，求函数解析式__________.
y
O
x
针对练习
3.如图,点P、Q是反比例函数图象上的两点,过点P、Q分别向x轴、y轴作垂线,则S1(黄色三角形）S2(绿色三角形）的面积大小关系是：S1
____
S2.
=
y
O
x
∟
P
Q
∟
∟
∟
A
B
C
D
A
B
C
A
B
D
C
A
B
D
C
B
D
C
A
B
D
C
s1
s2
E
针对练习
?
C
x
B
A
y
O
D
E
2
针对练习
A
o
y
x
P(m,n)
P(m,n)
A
o
y
x
过P作x轴(y轴)的垂线，垂足为A,则它与坐标轴形成的三角形的面积是不变的.
面积性质（二）
?
P(m,n)
P(m,n)
P(m,n)
讲授新课
例2：
如图所示，点A在反比例函数
的图象上，AC垂直
x
轴于点
C，且
△AOC
的面积为
2，求该反比例函数的表达式．
解：设点
A
的坐标为(xA，yA)，
∵点
A
在反比例函数
的图象上，∴
xA·yA＝k，
∴
S△AOC＝
·k＝2，
∴
k＝4，
∴反比例函数的表达式为
典例分析
1.
如图，过反比例函数
图象上的一点
P，作
PA⊥x
轴于A.
若△POA
的面积为
6，则
k
=
.
－12
提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意k＜0.
y
x
O
P
A
针对练习
?
O
y
B
y2
y1
y
A
y
O
O
O
x
O
C
?
针对练习
3.如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数
和
的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则?ABC的面积为
（
）
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
x
o
C
y
A
P
B
y=
y=
A
针对练习
4.如图，点A是反比例函数
(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数
的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在轴上，则S平行四边形ABCD为（
）
y
x
C
B
E
o
D
A
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
D
针对练习
面积性质（三）
设P(m,n)关于原点的对称点是P’(-m,-n)，过P作x轴的垂线与过P’作y轴的垂线交于A点，则：
O
P(m,n)
A
o
y
x
P’(-m,-n)
O
讲授新课
A.S
=
1
B.1C.S
=
2
D.S>2
A
C
o
y
x
B
C
o
如图，A、B是函数
的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，?ABC的面积为S，则
.
针对练习
1.若点
P
是反比例函数图象上的一点，过点
P
分别向x
轴、y
轴作垂线，垂足分别为点
M，N，若四边形PMON
的面积为
3，则这个反比例函数的关系式是
.
或
课堂练习
y
D
B
A
C
x
2.如图，点
A
是反比例函数
(x＞0)的图象上任意一点，AB//x
轴交反比例函数
(x＜0)
的图象于点
B，以
AB
为边作平行四边形
ABCD，其中点
C，D
在
x
轴上，则
S平行四边形ABCD
=_________.
3
2
5
方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.
课堂练习
3.如图所示，直线与双曲线交于
A，B
两点，P
是AB
上的点，△
AOC
的面积
S1、△
BOD
的面积
S2、
△
POE
的面积
S3
的大小关系为
.
S1
=
S2
<
S3
解析：由反比例函数面积的不变性易知
S1
=
S2.
PE
与双曲线的一支交于点
F，连接
OF，易知，S△OFE
=
S1
=
S2，而
S3＞S△OFE，
所以
S1，S2，S3的大小关系为S1
=
S2
<
S3
F
S1
S2
S3
课堂练习
4.如图，函数
y＝－x
与函数
的图象相交于
A，B
两点，过点
A，B
分别作
y
轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为
(
)
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
D
y
x
O
C
A
B
D
4
4
课堂练习
x
y
O
P1
P2
P3
P4
1
2
3
4
5.如图，在反比例函数
的图象上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4。分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为
，则
（x>0)
（x>0)
?
课堂练习
反比例函数中“k”
的几何意义
面积性质（一）
S矩形OAPB=|k|
面积性质（二）
面积性质（三）
以形助数
用数解形
课堂小结
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人教版九年级下册第26章《反比例函数》导学案
[26.1.3
反比例函数k的几何意义]
学习目标
1．理解并掌握反比例函数有关面积的三个性质；(难点)
2．能灵活利用反比例函数“K”的几何意义解决问题.(重点)
复习回顾
1.
反比例函数的图象是什么？
2.
反比例函数的性质与
k
有怎样的关系？
讲授新课
反比例函数中“k”
的几何意义
如图，是
的图象，点P是图象上的一个动点.
1.若P(1，a)，则矩形OAPB的面积＝________;
2.若P(3，b)，则矩形OAPB的面积＝_________;
3.若P(5，c)，则矩形OAPB的面积＝_________.
想一想：若P(x，y)，则矩形OAPB的面积＝_____.
【归纳】面积性质（一）
设P(m,n)是
的图象上任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A，B,则：
S矩形OAPB=_______.
过反比例函数图象上任一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A,B，它们与坐标轴形成的矩形面积是不变的.
典例分析
【例1】如图，A,B是双曲线上的点，分别经过A,B两点向x轴、y轴作垂线段，若
.
【针对练习】
1.如图，在函数(x＞0)的图像上有三点A，B
，C，过这三点分别向
x
轴、y
轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、
y轴围成的矩形的面积分别为SA
，SB，SC，则
(
)
A.
SA
>SB>SC
B.
SAC.
SA
=SB=SC
D.
SA2.在双曲线上任一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴y轴围成矩形面积为12，求函数解析式__________.
3.如图,点P、Q是反比例函数图象上的两点,过点P、Q分别向x轴、y轴作垂线,则S1(黄色三角形）S2(绿色三角形）的面积大小关系是：S1
____
S2.
4.如图，点A在双曲线
y=上，点B在双曲线y=
上，且AB∥x轴，C、D在x轴上,若四边形ABCD为长方形，则它的面积为_______.
讲授新课
面积性质（二）
设P(m,n)是
（k≠0）的图象上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为A,连接OP，则：
过P作x轴(y轴)的垂线，垂足为A,则它与坐标轴形成的三角形的面积是不变的.
典例分析
【例2】如图所示，点A在反比例函数的图象上，AC垂直
x
轴于点
C，且
△AOC
的面积为
2，求该反比例函数的表达式．
【针对练习】
1.如图，过反比例函数图象上的一点
P，作
PA⊥x
轴于A.
若△POA
的面积为
6，则
k
=
.
2.双曲线y1
,y2在第一象限的图象如图所示.已知y1﹦,
过y1上的任意一点A作x轴的平行线交y2与点B，交y轴于点C.若S△AOB=1,则y2的解析式是_______.
3.如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和
的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则?ABC的面积为（
）
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
4.如图，点A是反比例函数
(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数
的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在轴上，则S平行四边形ABCD为（
）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
讲授新课
面积性质（三）
设P(m,n)关于原点的对称点是P’(-m,-n)，过P作x轴的垂线与过P’作y轴的垂线交于A点，则：
【针对练习】
如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，?ABC的面积为S，则(
)
A.S
=
1
B.1C.S
=
2
D.S>2
课堂练习
1.若点
P
是反比例函数图象上的一点，过点
P
分别向x
轴、y
轴作垂线，垂足分别为点
M，N，若四边形PMON
的面积为
3，则这个反比例函数的关系式是
.
2.如图，点
A
是反比例函数
(x＞0)的图象上任意一点，AB//x
轴交反比例函数
(x＜0)
的图象于点
B，以
AB
为边作平行四边形
ABCD，其中点
C，D
在
x
轴上，则
S平行四边形ABCD
=_________.
3.如图所示，直线与双曲线交于
A，B
两点，P
是AB
上的点，△
AOC
的面积
S1、△
BOD
的面积
S2、
△
POE
的面积
S3
的大小关系为
.
4.如图，函数
y＝－x与函数的图象相交于
A，B
两点，过点
A，B
分别作
y
轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为
(
)
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
5.如图(上面)，在反比例函数（x>0)的图象上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则
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