上海市南模中学2021届高三上学期期中考试数学试卷 Word版含答案

南模中学高三期中数学试卷
2020.11
一. 填空题
1. 已知集合，，则
2. 已知直线的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为
3. 设函数，则不等式的解为
4. 公差不为零的等差数列中，、、成等比数列，且该数列的前10项和为100，
则数列的通项公式为
5. 已知实数、满足关系式，则的最小值为
6. 将函数的图像向左平移个单位后，所得图像关于原点对称，则正实
数的最小值为
7. 若函数的最小值为，最大值为，则
8. 已知点是△的重心，角、、所对的边长分别为、、，且
，则角
9. 已知函数，若函数有两个不同的零点，
则实数的取值范围是
10. 已知椭圆，过右焦点作直线交椭圆于、两点，在第二象限，
，都在椭圆上，且，，则直线的方程为

11. 已知多边形的顶点都在抛物线上，若的横坐标为，
为所在直线的斜率（，，，），则

12. 已知等差数列中，，，则数列的前项和
二. 选择题
13. 下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
14. 函数的反函数是（ ）
A. B.
C. D.
15. 已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
16. 已知函数，各项均不相等的数列满足，
令，给出下列三个命题：
（1）存在不少于3项的数列，使得；
（2）若数列的通项公式为，则对恒成立；
（3）若数列是等差数列，则对恒成立；
其中真命题的序号是（ ）
A. （1）（2） B. （1）（3） C. （2）（3） D. （1）（2）（3）
三. 解答题
17. 已知函数，，且.
（1）求的值；
（2）若，，求.
18. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设函数，且恒成立，求的取值范围.
19. 已知函数，的图像为曲线，两端点为，，点
为线段上的一点，其中，，，点、
均在曲线上，且点的横坐标等于，点的纵坐标为.
（1）设，，，求点、的坐标；
（2）设，，求△的面积的最大值及相应的值.
20. 已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切
线，切点分别为、（、不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分
别为、，证明：为定值.
（3）若、是椭圆上不同的两点，轴，圆过、，且椭
圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆是否存
在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心的坐标，若不存在，请说明理由.
21. 已知项数为（，）的数列中，，若数列
满足，其中，则称为的“数列”.
（1）数列1，3，5，7，9是否存在“数列”，若存在，写出其“数列”，若不存在，
请说明理由；
（2）若为的“数列”，且的第项是最大项（，），
求证：数列的第项是最小项；
（3）已知数列存在“数列”，若，，且单调递增，
求的最大值.
参考答案
一. 填空题
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
11. 12.
二. 选择题
13. B 14. A 15. C 16. D
三. 解答题
17.（1）；（2）.
18.（1）；（2）.
19.（1），；（2），.
20.（1）；（2）定值为，证明略；（3）存在，.
21.（1）不存在；（2）证明略；（3）.