4.2 指数与对数运算的函数性质 同步教案（含答案）

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高中基本初等函数1：指数函数与对数函数
课前回顾
函数要素与基本性质：定义域，值域，对应关系，奇偶性，单调性等
【考点1：指数函数运算】
基本公式：（指数乘除乘方，负指数，分数指数，0的非正指数幂没有意义）
根式与指数关系：
；
奇数情况：
，；
的取值不受限制；
偶数情况：
，
的取值不受限制；
，此时。
【指数运算1：公式应用】
1.化成分数指数幂为
。
2.已知（a为常数），则的值是______________。
3.若x>0，则(2＋)(2－)－4·(x－)＝______.
4.若xy≠0，那么等式＝－2xy成立的条件是(　
)
A．x>0，y>0
　　
B．x>0，y<0　　
C．x<0，y>0
　　
D．x<0，y<0
1.答案：；
2.答案：1；
3.答案：－23；
4答案：　C
解析：　由－2xy≥0得xy≤0，[]
又∵xy≠0，∴xy<0.
由有意义得y>0
∴x<0，故选C.
【指数运算2：根式运算】
1.计算＋＝______.
2.化简＋＝_______.
1.答案：　4
解析：　原式＝＋[]
＝2－＋2＋
＝4
2.答案：6
解析：
＋＝＋＝3＋＋(3－)＝6.
【考点2：对数函数运算】
1.指数与对数的关系：即可表示为
2.基本公式：；
；
；
（难点）
；
；
；
；
3.特殊对数：常把以
为底的对数叫作常用对数，N的常用对数简记为
.以无理数为底数的对数叫作自然对数，N的自然对数简记为
.
【对数运算：基本应用】
1.若，则
。
2.计算：的值为
3.计算：；
4.
5.的值为(　　)
A．6
B.
C．8
D.
6.化简的结果是(　
)
A．2
　　
B.　　
C．1
　　
D．4
7.如果lg2＝a，lg3＝b，则等于(　
　)
A.
　　
B.　　
　　
C.
　　
D.
8.已知loga3=m,loga4=n,
则a2m+n=___________
9.已知log89＝a，log25＝b，则lg
3等于(　
)
A.
B.
C.
D.
10.
设a、b、c都是正数，且，则（
）
A、
B、
C、
D、
13.(1)已知log147＝a,14b＝5，用a，b表示log3528.
(2)设3x＝4y＝36，求＋的值
12.已知ln
a＋ln
b＝2ln(a－2b)，求log2的值
1.答案：；
2.答案：0；
3.答案：1
4.答案：27
5.答案：C；
　[()－1＋log0.54＝()－1·()＝2×4＝8.]
6.答案：A；
解析：选A.＝
＝＝＝2.
7.答案：C；
解析：选C.∵lg2＝a，lg3＝b，∴＝＝
＝.
8.答案：36；
9.答案：C；
　[∵log89＝a，∴＝a.∴log23＝a.lg
3＝＝＝.]
10.答案：B
11解析：　(1)∵log147＝a,14b＝5，∴b＝log145.
∴log3528＝＝
＝＝.
(2)∵3x＝36,4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
∴＝＝＝log363，
＝＝＝log364，∴＋＝2log363＋log364[]
＝log36(9×4)＝1.
12.解析：　因为ln
a＋ln
b＝2ln(a－2b)，解得ab＝(a－2b)2.
a2－5ab＋4b2＝0，解得a＝b或a＝4b，
又所以a>2b>0，故a＝4b，log2＝log24＝2，
即log2的值是2.
【考点3：指数函数图像与性质】
1．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是___
R．
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性
质
过定点
过点(0,1)，即x＝0_时，y＝1
函数值
的变化
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x>0时，_0当x<0时，y>1__
单调性
是R上的__增函数__
是R上的__减函数____
3.讨论a的大小与指数图像的关系：
【指数函数1：图像判别】
1.函数y＝a|x|(a>1)的图象是(　
　)
答案：B；
　[该函数是偶函数．可先画出x≥0时，y＝ax的图象，然后沿y轴翻折过去，便得到x<0时的函数图象．]
2.函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　　)
答案：D
3.在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝ax(a＞0且a≠1)的图象可能是(　
)
答案：B；
解析：选B.由题意知，a>0，
故f(x)＝ax经过一、三象限，∴A、D不正确．
若g(x)＝ax为增函数，则a>1，
与y＝ax的斜率小于1矛盾，故C不正确；
B中04..
函数y＝2x－x2的图象大致是(　
)
答案：A；
　[当x→－∞时，2x→0，所以y＝2x－x2→－∞，所以排除C、D.
当x＝3时，y＝－1，所以排除B.故选A.]
5.若方程|3x－1|＝k有两个解，则实数k的取值范围是________．
【答案】　(0，1),
【指数函数2：函数性质】
1.设<<<1，那么(　　)
A．aaB．aaC．abD．ab．C　由于y＝是减函数，<<<1.所以02.已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)
A．bB．aC．bD．c2．A　∵b＝4＝(22)＝2，
又a＝2，∴a＞b.
∵a＝2＝(22)＝4，c＝(25)＝(52)＝5，∴a＜c，∴b＜a＜c.
3.若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域为R，则(　
　)
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
答案：B；
解析：选B.∵f(x)＝3x＋3－x，∴f(－x)＝3－x＋3x.
∴f(x)＝f(－x)，即f(x)是偶函数．
又∵g(x)＝3x－3－x，∴g(－x)＝3－x－3x.
∴g(x)＝－g(－x)，即函数g(x)是奇函数．
4.不论a取何正实数，函数f(x)＝ax＋1－2恒过点(　
　)
A．(－1，－1)
B．(－1,0)
C．(0，－1)
D．(－1，－3)
答案：A；
解析：选A.f(－1)＝－1，所以，函数f(x)＝ax＋1－2的图象一定过点(－1，－1)
5.使不等式23x－1＞2成立的x的取值为(　　)
A．(，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(，＋∞)
D．(－，＋∞)
答案：A；
解析：选A.23x－1＞2?3x－1＞1?x＞.
6.函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为(　　)
A．(0，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
．B　令2x＝t，
则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2(t>0)．
∵函数y＝(t＋1)2在(0，＋∞)上单调递增，
∴y>1.∴所求函数值域为(1，＋∞)．故选B.
7.若不等式(m2－m)2x－＜1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是________．
【考点4：对数函数图像与性质】
1.
一般地，我们把函数（，且）叫做
，其中是自变量.
2.对数函数（，且）的性质：（1）定义域为
；（2）值域为
；（3）图象恒过定点
；（4）单调性：时，在上是
函数；时，在上是
函数
3.
对数函数与指数函数互为
，它们的图象关于
对称
4.对数函数的底越大，函数图象在轴上方的部分越
a>1
0图象
性质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当时，
时，时
时，时
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
不同底数图像识记：
【对数函数1：图像判别】
1.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)
A．a＞1，c＞1
B．a＞1，0＜c＜1
C．0＜a＜1，c＞1
D．0＜a＜1，0＜c＜1
D
2.
当a>1
时，函数y=logax
和y=(1-a)x的图象只可能是（
)
答案：B；
3.
图中的曲线是的图象，已知的值为，，，，则相应曲线的依次为（
）.
A.
，，，
B.
，，，
C.
，，，
D.
，，，
答案：A；
4.
当a＞1时,函数y=a-x与y=logax的图像是（
）
答案：A；
5.函数的图象的大致形状是(
　)
答案：D
【对数函数2：函数性质】
1.已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则(　　)
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．c>b>a
2.设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3.已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0]
B．(－∞，1]
C．[－2，1]
D．[－2，0]
【解析】　(1)由于0<2－<20，所以0log＝1，所以c>1.综上，c>a>b.
(2)由3a>3b>31，得a＞b>1，∴log3a＞log3b＞0.
由换底公式得，＞＞0，即loga3＜logb3.
而由loga3b>1，
例如，当a<1，b>1时，满足loga3故“3a>3b>3”是“loga34.当0A.
B.
C．(1，)
D．(，2)
B　方法一：由题意得，当0又当x＝时，4＝2，即函数y＝4x的图象过点，把点代入函数y＝logax，得a＝，若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需当a>1时，不符合题意，舍去．
所以实数a的取值范围是.
5.若函数f(x)＝loga(x3－ax)(a>0且a≠1)在区间内单调递增，则
a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
5.已知a＞0且a≠1，若函数f(x)＝loga(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是________．
【答案】　(1，＋∞),
6.
设函数是定义在上的奇函数，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案：D；
，
故选D.
7.函数f(x)＝ln(a≠2)为奇函数，则实数a等于_____
答案：a＝－2；
解析：依题意有f(－x)＋f(x)＝ln＋ln＝0，即·＝1，故1－a2x2＝1－4x2，解得a2＝4，但a≠2，故a＝－2.
8.
，则的取值范围是（
）
A、
B、
C、
D、
答案：A；
9.
函数y=logax在上恒有|y|>1，求a的取值范围。
答案：；
10.
已知指数函数，当时，有，解关于x的不等式。
答案：解：∵
在时，有，
∴
。
于是由，得，解得，
∴
不等式的解集为
.
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