章末综合测评(一) 三角函数
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在①160°；②480°；③－960°；④1
530°这四个角中，属于第二象限角的是( )
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④
C [160°角显然是第二象限角；480°＝360°＋120°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1
530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．]
2．某广告公司制作一块扇环形的广告牌(如图)，测得该扇环的长为6米，的长为2米，AD与BC的长均为2米．若每平方米制作费用为200元，则此广告牌的制作费用是( )
A．800元
B．1
600元
C．2
400元
D．3
200元
B [设扇环的圆心角为θ，小扇形的半径为r，则大扇形的半径为r＋2，
则解得
所以扇环的面积S＝×32×2－×12×2＝8(平方米)．所以广告牌的制作费用是8×200＝1
600元．]
3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P(－1，)，则cos
α＋sin＝( )
A．－
B．
C．
D．－
D [因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P(－1，)，
所以cos
α＝＝－.
则cos
α＋sin＝2cos
α＝－.]
4．已知sin＝，则cos的值为( )
A．
B．－
C．－
D．
B [根据题意得：cos＝cos
＝－sin＝－，故选B．]
5．函数y＝2sin的图像( )
A．关于原点成中心对称
B．关于y轴成轴对称
C．关于点成中心对称
D．关于直线x＝成轴对称
C [由形如y＝Asin(ωx＋φ)函数图像的对称中心和对称轴的意义，分别将各选项代入检验即可，由于f＝0，故函数的图像关于点成中心对称．]
6．函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则该函数的表达式为( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
C [由图像可知，A＝2，ω＝＝2，当x＝时，y＝2，从而有2×＋φ＝，所以φ＝，故选C．]
7．在△ABC中，C>，若函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是( )
A．f(cos
A)>f(cos
B)
B．f(sin
A)>f(sin
B)
C．f(sin
A)>f(cos
B)
D．f(sin
A)
B)
C [根据0所以sin
AB．
由题意知f(sin
A)＞f(cos
B)．]
8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，A为其图像的对称中心，B，C是该图像上相邻的最高点和最低点，若BC＝4，则f(x)的单调递增区间是( )
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
C [函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，A为f(x)图像的对称中心，B，C是该图像上相邻的最高点和最低点，
若BC＝4，所以(2)2＋＝42，即12＋＝16，得ω＝.
再根据·＋φ＝kπ，k∈Z，可得φ＝－，
所以f(x)＝sin.
令2kπ－≤x－≤2kπ＋，
求得4k－≤x≤4k＋，
故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．若sin
α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )
A．tan
α＝
B．cos
α＝
C．sin
α＋cos
α＝
D．sin
α－cos
α＝－
AB [因为sin
α＝，且α为锐角，
所以cos
α＝＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))))＝，故B正确，
所以tan
α＝＝＝，故A正确，
所以sin
α＋cos
α＝＋＝≠，故C错误，
所以sin
α－cos
α＝－＝≠－，故D错误．]
10．已知函数f(x)＝tan
x，则下列结论正确的是( )
A．2π是f(x)的一个周期
B．f＝f
C．f(x)的值域为R
D．f(x)的图像关于点对称
ACD [A．f(x)＝tan
x的最小正周期为π，所以2π是f(x)的一个周期，该选项正确；
B．f＝1，f＝－1，所以该选项是错误的；
C．f(x)＝tan
x的值域为R，所以该选项是正确的；
D．f(x)＝tan
x的图像关于点对称，所以该选项是正确的．故选ACD．]
11．同时满足下列三个条件的函数为( )
①在上是增函数；②为R上的奇函数；③最小正周期为T≥π.
A．y＝tan
x
B．y＝|cos
x|
C．y＝tan
D．y＝sin
x
ACD [A中y＝tan
x，在上是增函数且为奇函数，又是以π为最小正周期的函数，三个条件均满足；
B中y＝|cos
x|，为偶函数且在上是减函数又是以π为最小正周期的函数，不满足；
C中y＝tan
，在上是增函数，且为奇函数，又是以2π为最小正周期，满足3个条件；
D中y＝sin
，在上是增函数且为奇函数，又是以4π为最小正周期的函数，满足三个条件．故选ACD．]
12．将函数f(x)的图像向右平移个单位，再将所得函数图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像．已知函数g(x)的部分图像如图所示，则函数f(x)( )
A．最小正周期为π，最大值为2
B．最小正周期为π，图像关于点中心对称
C．最小正周期为π，图像关于直线x＝对称
D．最小正周期为π，在区间上单调递减
ACD [由题图可知，A＝2，T＝4＝，ω＝＝3.
又由g＝2可得φ＝－＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ＝－.
所以g(x)＝2sin，f(x)＝2sin.
所以f(x)的最小正周期为π，最大值为2，选项A正确；对于B，令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－，可知函数f(x)图像的对称中心为(k∈Z)，B错误；对于C，令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，所以x＝＋(k∈Z)，函数图像的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，C正确；又当x∈时，2x＋∈，所以f(x)在上是减函数，D正确．故选ACD．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．函数y＝tan的定义域为________．
[2x－≠＋kπ，即x≠＋，k∈Z.]
14．函数y＝sin(x＋1)＋1的值域是________．
[0,2] [因为函数y＝sin(x＋1)的值域是[－1,1]，
所以函数y＝sin(x＋1)＋1的值域是[0,2]．]
15．已知f(x)＝ax3＋bsin
x＋1，且f(1)＝5，则f(－1)的值为________．
－3 [因为f(1)＝5，所以a＋bsin
1＝4，
所以－a－b·sin
1＝－4，
所以f(－1)＝－a－b·sin
1＋1＝－3.]
16．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图像如图所示，则ω＝________；f(0)＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
2 [由题意可知周期为T＝4×＝π，ω＝＝2，
又2sin＝－2，取φ＝，
即f(x)＝2sin，
可得f(0)＝2sin
＝.]
四、解答题(本题共6小题，共70分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知α是第三象限角，且f(α)＝
.
(1)化简f(α)；
(2)若tan(π－α)＝－2，求f(α)的值．
[解] (1)f(α)＝
＝－cos
α.
(2)由已知得tan
α＝2，＝2，sin
α＝2cos
α，sin2α＝4cos2α，1－cos2α＝4cos2α，cos2α＝.因为α是第三象限角，所以cos
α＜0，所以cos
α＝－，所以f(α)＝－cos
α＝.
18．(本小题满分12分)已知sin
α＋3cos
α＝0，求sin
α，cos
α的值．
[解] 因为sin
α＝－3cos
α.
又sin2α＋cos2α＝1，得(－3cos
α)2＋cos2α＝1，
即10cos2α＝1.所以
cos
α＝±.
又由sin
α＝－3cos
α，可知sin
α与cos
α异号，
所以
α在第二、四象限．
当α是第二象限角时，sin
α＝，cos
α＝－.
当α是第四象限角时，sin
α＝－，cos
α＝.
19．(本小题满分12分)已知f(x)＝sin＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)函数f(x)的图像可以由函数y＝sin
2x(x∈R)的图像经过怎样的变换得到？
[解] (1)T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，知kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以所求的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)变换情况如下：
y＝sin＋.
20．(本小题满分12分)在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图像与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
[解] (1)由最低点为M得A＝2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为，
得＝，即T＝π，所以ω＝＝＝2.
由点M在图像上得2sin＝－2，
即sin＝－1，故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
所以φ＝2kπ－(k∈Z)．
又φ∈，所以φ＝，故f(x)＝2sin.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，
故f(x)的值域为[－1,2]．
21．(本小题满分12分)如图，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表示式(t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
[解] (1)设种群数量y关于t的解析式为
y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
则
解得A＝100，b＝800.
因为周期T＝2×(6－0)＝12，
所以ω＝＝，
所以y＝100sin＋800(t≥0)．
又当t＝6时，y＝900，
所以900＝100sin＋800，
所以sin(π＋φ)＝1，
所以sin
φ＝－1，所以取φ＝－，
所以y＝100sin＋800.
(2)当t＝2时，y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin＋1.
(1)用“五点法”作出f(x)在x∈上的简图；
(2)写出f(x)的对称中心以及单调递增区间；
(3)求f(x)的最大值以及取得最大值时x的集合．
[解] (1)因为－≤x≤，
所以0≤2x＋≤2π.
列表如下：
2x＋
0
π
2π
x
－
f(x)
1
2
1
0
1
画出图像如下图所示：
(2)由2x＋＝kπ＋，k∈Z，
得x＝＋，k∈Z，
可知函数图像的对称中心为，k∈Z.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故函数的增区间为，k∈Z.
(3)当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z时，函数f(x)取得最大值，且最大值为2.
故函数f(x)的最大值为2，
此时x＝kπ＋，k∈Z.
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(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在①160°；②480°；③－960°；④1
530°这四个角中，属于第二象限角的是( )
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④
2．某广告公司制作一块扇环形的广告牌(如图)，测得该扇环的长为6米，的长为2米，AD与BC的长均为2米．若每平方米制作费用为200元，则此广告牌的制作费用是( )
A．800元
B．1
600元
C．2
400元
D．3
200元
3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P(－1，)，则cos
α＋sin＝( )
A．－
B．
C．
D．－
4．已知sin＝，则cos的值为( )
A．
B．－
C．－
D．
5．函数y＝2sin的图像( )
A．关于原点成中心对称
B．关于y轴成轴对称
C．关于点成中心对称
D．关于直线x＝成轴对称
6．函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则该函数的表达式为( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
7．在△ABC中，C>，若函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是( )
A．f(cos
A)>f(cos
B)
B．f(sin
A)>f(sin
B)
C．f(sin
A)>f(cos
B)
D．f(sin
A)B)
8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，A为其图像的对称中心，B，C是该图像上相邻的最高点和最低点，若BC＝4，则f(x)的单调递增区间是( )
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．若sin
α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )
A．tan
α＝
B．cos
α＝
C．sin
α＋cos
α＝
D．sin
α－cos
α＝－
10．已知函数f(x)＝tan
x，则下列结论正确的是( )
A．2π是f(x)的一个周期
B．f＝f
C．f(x)的值域为R
D．f(x)的图像关于点对称
11．同时满足下列三个条件的函数为( )
①在上是增函数；②为R上的奇函数；③最小正周期为T≥π.
A．y＝tan
x
B．y＝|cos
x|
C．y＝tan
D．y＝sin
x
12．将函数f(x)的图像向右平移个单位，再将所得函数图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像．已知函数g(x)的部分图像如图所示，则函数f(x)( )
A．最小正周期为π，最大值为2
B．最小正周期为π，图像关于点中心对称
C．最小正周期为π，图像关于直线x＝对称
D．最小正周期为π，在区间上单调递减
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．函数y＝tan的定义域为________．
14．函数y＝sin(x＋1)＋1的值域是________．
15．已知f(x)＝ax3＋bsin
x＋1，且f(1)＝5，则f(－1)的值为________．
16．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图像如图所示，则ω＝________；f(0)＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题(本题共6小题，共70分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知α是第三象限角，且f(α)＝
.
(1)化简f(α)；
(2)若tan(π－α)＝－2，求f(α)的值．
18．(本小题满分12分)已知sin
α＋3cos
α＝0，求sin
α，cos
α的值．
19．(本小题满分12分)已知f(x)＝sin＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)函数f(x)的图像可以由函数y＝sin
2x(x∈R)的图像经过怎样的变换得到？
20．(本小题满分12分)在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图像与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
21．(本小题满分12分)如图，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表示式(t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin＋1.
(1)用“五点法”作出f(x)在x∈上的简图；
(2)写出f(x)的对称中心以及单调递增区间；
(3)求f(x)的最大值以及取得最大值时x的集合．
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