人教版九年级上册：24.3正多边形和圆同步练习卷 Word版含答案

人教版九年级上册：24.3《正多边形和圆》同步练习卷
一．选择题
1．如图，已知⊙O的内接正方形边长为2，则⊙O的半径是（　　）
A．1
B．2
C．
D．
2．若正六边形外接圆的半径为4，则它的边长为（　　）
A．2
B．
C．4
D．
3．正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（　　）
A．60°
B．120°
C．60°或120°
D．30°或150°
4．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（　　）
A．30°
B．36°
C．60°
D．72°
5．阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（　　）
A．（60°，4）
B．（45°，4）
C．（60°，2）
D．（50°，2）
二．填空题
6．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是　
　．
7．如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为　
　．
8．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝　
　．
9．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是　
　度．
10．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝　
　．
11．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有　
　．
12．如图一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a，按此规律，则第n个正多边形的面积为　
　．
三．解答题
13．如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC．求∠BCM的大小．
14．有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接：
方式1：如图1；
方式2：如图2；
若有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是　
　．有n个边长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若得图案的外轮廓的周长为18，则n的最大值为　
　．
15．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
16．如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图1中∠APN的度数是　
　；图2中，∠APN的度数是　
　，图3中∠APN的度数是　
　．
（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）　
　．
参考答案
一．选择题
1．解：如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∵AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，
∴AB2+BC2＝22+22＝8，
∴AC＝2，
∴⊙O的半径是，
故选：C．
2．解：正六边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，
故正六边形的外接圆半径等于4，则正六边形的边长是4．
故选：C．
3．解：圆内接正六边形的边所对的圆心角＝360°÷6＝60°，
根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，
边所对的圆周角的度数是60×＝30°或180°﹣30°＝150°．
故选：D．
4．解：如图，连接OC，OD．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B．
5．解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，
∵∠ADO＝360°÷6＝60°，OD＝AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD＝OA＝2，∠AOD＝60°，
∴OC＝2OD＝2×2＝4，
∴正六边形的顶点C的极坐标应记为（60°，4）．
故选：A．
二．填空题
6．解：根据题意得：
这个多边形的边数是360°÷72°＝5，
故答案为：5．
7．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EAB＝∠ABC＝＝108°，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
同理∠ABE＝36°，
∴∠AFE＝∠ABF+∠BAF＝36°+36°＝72°，
故答案为：72°．
8．解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠E＝×540°＝108°，∠BAE＝108°
又∵EA＝ED，
∴∠EAD＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BAD＝∠BAE﹣∠EAD＝72°，
故答案是：72°．
9．解：连接OA、OB、OC，
∠AOB＝＝72°，
∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB，OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBC，
在△AOM和△BON中，
∴△AOM≌△BON，
∴∠BON＝∠AOM，
∴∠MON＝∠AOB＝72°，
故答案为：72．
10．解：∵⊙O的半径为1，
∴⊙O的面积S＝π，
∴圆的内接正十二边形的中心角为＝30°，
∴过A作AC⊥OB，
∴AC＝OA＝，
∴圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×＝3，
∴则S﹣S1＝π﹣3，
故答案为：π﹣3．
11．解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形，
AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，
综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4＝10个．
故答案为：10．
12．解：第一个：正多边形的面积等于a；
第二个：如图作AE⊥BD于E，
设正六边形的边长为2，
∵正六边形的一个内角为120°，
∴∠ABE＝30°，
则AE＝1，BE＝，
△ABD的面积为：×2×1＝，
a＝2×2＝4，
∴正六边形的面积为：a，
第三个：如图，
∵正八边形的一个内角为135°，
∴∠ABD＝45°，
设正八边形的边长为2，
则BD＝AD＝，△ABD的面积为1，
四边形ABEF的面积为1+2+1＝2+2，
a＝2×（2+2）＝4+4，
∴正八边形的面积为2a，
通过计算可以看出：第n个正多边形的面积为a．
三．解答题
13．解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC＝120°，AB＝BC．
∵四边形ABMN为正方形，
∴∠ABM＝90°，AB＝BM．（2分）
∴∠MBC＝120°﹣90°＝30°，BM＝BC．
∴∠BCM＝∠BMC．
∴∠BCM＝×（180°﹣30°）＝75°．（5分）
14．解：有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长为4×4+2＝18；
按下图拼接，图案的外轮廓的周长为18，此时正六边形的个数最多，即n的最大值为7．
故答案为：18，7．
15．（1）证明：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，
∵OB＝2，
∴OD＝1，
∴等边△ABC的边心距为1．
16．解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
又∵∠APN＝∠BPM，
∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝60°；
同理可得：在图2中，∠APN＝90°；在图3中，∠APN＝108°．
（2）由（1）可知，∠APN＝所在多边形的内角度数，故在图n中，．