(共23张PPT)
数学人教版八年级上册
第十一章
三角形的高、中线与角平分线4
1.理解三角形的高、中线和角平分线的含义，并会作出这三种重要的线段。
2.了解三角形的高、中线、和角平分线的性质，并能应用它解决一些问题。
3.感受数学知识的广泛用途和科学探究精神。
重点：
三角形的高、中线和角平分线的定义。
难点：
掌握各种线在三角形中分得的角和线段
之间的倍分关系。
学习目标：
你还记得
“过一点画已知直线的垂线”
吗？
画法
过三角形的一个顶点，你能画出它到对边的垂线段吗？
B
A
C
回顾与思考
A
从三角形的一个顶点
B
C
向它的对边
所在直线作垂线，
顶点
和垂足
D
之间的线段
叫做三角形这边上的高，
简称三角形的高。
如图，
线段AD是BC边上的高.
任意画一个锐角△ABC，
垂直的记号
和垂足的字母
请你画出BC边上的高.
注意
！
标明
D
三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
AD⊥BC，则AD是△ABC的BC边上的高
AD是△ABC的BC边上的高，则AD⊥BC，∠ADB=900
三角形的高的理解
锐角三角形的三条高
(1)
你能画出这个三角形的三条高吗？
(2)
这三条高之间有怎样的位置关系？
锐角三角形的三条高交于同一点.
O
(3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部？
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
A
B
C
D
E
F
直角三角形的三条高
A
B
C
(1)
画出直角三角形的三条高，
直角边BC边上的高是
；
AB
直角边AB边上的高是
；
CB
它们有怎样的位置关系？
直角三角形的三条高交于直角顶点.
D
斜边AC边上的高是
；
BD
●
钝角三角形的三条高
A
B
C
D
E
F
(1)
钝角三角形的三条高交于一点吗？
钝角三角形的三条高不相交于一点
它们所在的直线交于一点吗？
钝角三角形的三条高所在直线交于一点
O
小结:三角形的高
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，
顶点和垂足之间的线段
叫做三角形这边的高。
三角形的三条高的特性：
高所在的直线是否相交
高之间是否相交
高在三角形内部的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形的三条高所在直线交于一点
三条高所在直线的交点的位置
三角形
内部
直角顶点
三角形
外部
2、
如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是(
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC
的高(
)
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
B
D
拓展与练习
在三角形中，连接一个
顶点与它对边中点的线段，
叫做这个三角形这边的中线.
A
B
C
D
∵AD是△
ABC的中线
∴BD=CD=
1
2
BC
任意画一个三角形，然后利用刻度尺画出这个三角形三条边的中线，你发现了什么？
●
●
三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形的内部.
三角形中线的理解
E
F
O
三角形的中线
也就是说：三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。
E
A
B
C
D
如右图
∵D是BC的中点
∴BD=DC
而△ABD的面积=
BD×AE
△ADC的面积=
DC×AE
故△ABD的面积=
△ADC的面积
例1：如图，在△ABC中，AD，AE分别是BC边上的中线和高.试判断△ABD和△ADC的面积有何关系？
中线的性质
②三角形的中线是一条线段。
①任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交与一点。
③三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。
三角形中线的特点
叫做三角形的角平分线。
A
B
C
D
∵AD是
△
ABC的角平分线
∴∠
BAD
=
∠
CAD
=
1
2
∠BAC
任意画一个三角形，然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线，你发现了什么？
●
●
在三角形中，一个
内角的角平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段，
三角形的三条角平分线相交于一点，交点在三角形的内部
︶
︶
1
2
三角形的角平分线
∵BE是△ABC的角平分线
∴_______=_______=
____
∴∠ACB=2______=2______
∠ABE
∠CBE
∠ABC
∠ACF
∵CF是△ABC的角平分线
∠BCF
思考
三角形的角平分线是一条线段
，
角的平分线是一条射线。
三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？
角平分线的理解
例2:如图，已知:△ABC中，BD、CE分别是△ABC的两条角平分线，相交于点O.
(1)当∠ABC=60°，∠ACB=80°时，求∠BOC的度数
例题讲解
解:
∵BD、CE分别是△ABC的角平分线
例2:如图，已知:△ABC中，BD、CE分别是△ABC的两条角平分线，相交于点O.
(2)当∠A=40°时，求∠BOC的度数
例题讲解
解:
∵BD、CE分别是△ABC的角平分线
例2:如图，已知:△ABC中，BD、CE分别是△ABC的两条角平分线，相交于点O.
(3)当∠A=
x°时，求∠BOC的度数(用含x代数式表示)
例题讲解
解:
∵BD、CE分别是△ABC的角平分线
名称
基本图形
画法
性质
高
用边的垂线三角板画顶点到对段
三条高线相交于三角形内部、外部或边上一点
中线
用直尺画两点之间的线段
三条中线相交于三角形内一点，且把三角形分成面积相等的两部分
角平分线
利用量角器画角的平分线的一部分
三条角平分线相交于三角形内一点
D
A
C
B
D
A
C
B
D
A
C
B
高、中线与角平分线的比较
如图，在⊿ABC中，
∠1=∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，CF⊥AD于H，判断下列说法那些是正确的，哪些是错误的.
⌒
⌒
A
B
C
D
E
1
2
F
G
H
①AD是⊿ABE的角平分线
(
)
②BE是⊿ABD边AD上的中线
(
)
③BE是⊿ABC边AC上的中线
(
)
④CH是⊿ACD边AD上的高
(
)
三角形的高、中线与角平分线都是线段
×
×
×
√
拓展练习
小结
三角形的角平分线、中线、高线的比较
相同点：
(1)都是线段
(2)都从顶点画出
(3)所在直线都相交于一点
不同点：
角平分线反映的是角的相等关系
中线反映的是线段的相等关系
高线反映的是它和对边或对边所在直线的垂直关系
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php《三角形的高、中线与角平分线》同步练习3
1．以下说法错误的是（
）
A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D．三角形的三条高可能相交于外部一点
2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
3．AD是△ABC的中线，AB=6cm，AC=4cm，则△ABD和△ACD的周长差为()
A.6cm
B.4cm
C.2cm
D.无法确定
4.在△ABC中，AB=2008，AC=2007，AD是一条中线，则△ABD与△ACD的周长之差=_____，面积之比=_____．
5．下列图形中具有稳定性的是（
）
A．梯形
B．菱形
C．三角形
D．正方形
6.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为40，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？
7．如图，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，垂足为点D，且BD=CD．可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高？
8．（综合题）如图5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长．
9．（创新题）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE．
10．（2004年，陕西）如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（
）
A．150°
B．130°
C．120°
D．100°
11．（开放题）要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？
《三角形的高、中线与角平分线》同步练习3答案
1．A
点拨：锐角三角形的三条高在三角形内部交于一点，直角三角形的三条高交于直角顶点，钝角三角形的三条高在三角形外部交于一点．
2．B
3．C
4．1
1
5．C
6．解：（1）在△ABE中，
∵∠ABE=15°，∠BAD=40°，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+40°=55°；
（2）如图，EF为BD边上的高；
（3）∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，
∴S△ABD=S△ABC，S△BDE=S△ABD，
∴S△BDE=S△ABC，
∵△ABC的面积为40，BD=5，
∴S△BDE=BD·EF=×5·EF=×40，
解得：EF=4．
7．解：∵∠BAD=∠CAD，∴AD是△ABC的角平分线，DE是△BEC的角平分线．
∵AD⊥BC，垂足为点D，∴AD是△ABC的高，DE是△BEC的高．
∵BD=CD，∴AD是△ABC的中线，DE是△BEC的中线．
点拨：本题是考查三角形的角平分线、中线和高的概念．
8．解：设AB=AC=2x，则AD=CD=x．
（1）AB+AD=15，BC+CD=6时，
有2x+x=15，解得x=5．
∴2x=10，BC=6-5=1．
（2）当BC+CD=15，AB+AD=6时，
有2x+x=6，解得x=2．
∴2x=4，BC=15-2=13．
∵4+4>13，∴此时构不成三角形．
∴这个等腰三角形的腰长及底边长分别为10，1．
点拨：要注意检验结果是否满足三角形三边关系定理．
9．解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴S△ABD=S△ABC=×4=2（cm2）．
∵BE是△ABD的边AD上的中线，
∴S△ABE=S△ABD=×2=1（cm2）．
点拨：三角形的任一中线将三角形分为面积相等的两个小三角形．
10．B
点拨：∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，
∴∠AEB=∠CDB=90°，
∵∠A=50°，∴∠ABE=40°，
∴∠BPD=180°-∠CDB-∠ABE=180°-90°-40°=50°，
∴∠BPC=180°-∠BPD=180°-50°=130°．
11．解：要使四边形木架不变形，至少要再钉上1根木条．
要使五边形木架不变形，至少要再钉上2根木条．
要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条．
要使n边形木架不变形，至少要再钉上（n-3）根木条．中小学教育资源及组卷应用平台
《三角形的高、中线与角平分线》教案3
教学目标
1．了解三角形的高线、中线与角平分线，并能在具体的三角形中作出它们．
2．通过观察、操作、想象、交流等活动，发展空间观念，推理能力和有条理地表达能力．
3．通过折纸、画图等活动，培养学生的动手能力，提高学生的识图技能，使学生的思维变得更灵活．
教学重点
三角形的高、中线与角平分线的定义．
教学难点
对直角三角形和钝角三角形的三条高的认识和理解．
教学过程
导入课题
活动1．如图1所示：△ABC中，有一条红色线段，一端点在顶点A处，另一端点从点B沿着BC边移动到点C，观察移动过程中形成的无数条线段（AD、AE、AF、AG、…）中，有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？
设计意图：通过数学实验，先给学生感性认识，以此激发学生学习数学的热情．
师生行为：学生思考，回答，教师归纳．
生甲：在这些线段中，有一条线段垂直边BC．
生乙：我观察到，还有一条线段的端点是BC的中点．
生丙：还有一些线段平分∠BAC．
师：很好．同学们通过观察、思考，找到了具有特殊位置的线段：三角形的高线、中线和角平分线，这三条线段是三角形的主要线段．今天我们就来学习：三角形的高、中线和角平分线．
推进新课
活动2．学习三角形的高的概念．
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
设计意图
概括、理解三角形的高，使学生准确把握三角形的高的概念．
师生行为
教师讲解，学生理解．
师：从刚才移动的过程中，知道AG⊥BC，这时，我们说AG是△ABC的高，那么三角形的高是如何定义的呢？
如图2，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为G，所得的线段AG叫做△ABC的边BC上的高（altitude）．
注意：三角形的高是线段．
由定义可知：AG是△ABC的高．那么有∠AGC=90°，∠AGB=90°，∠AGC=∠AGB．
三角形的高是从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线作垂线，那么你能画出△ABC的另两条边上的高吗？
活动3．在△ABC中，画边AC、AB上的高．
设计意图：通过画图、折纸，培养学生的动手能力．
师生行为：教师引领学生复习：过一点如何作一条直线的垂线？学生动手画图．
师：要想作△ABC的另两条边上的高，我们应先知道：过一点如何作一条直线的垂线？
生甲：可以利用折纸的方法，对折直线所在的纸片，使直线重合，折痕过已知点．这条折痕就是过已知点垂直于已知直线的垂线．（甲同学一边叙述，一边演示）
生乙：也可以用三角尺来画，把三角尺的一条直线边与已知直线重合，移动三角尺，使它的另一条直角边经过已知点．画直线，这样即可画出过一点并与已知直线垂直的直线．
生丙：也可以利用量角器来画．
师：很好．同学们回忆了画垂线的几种方法，接下来大家来动手画一画．
活动4．1．四个同学为一个合作小组；
2．每个小组利用教师为其准备的各类三角形，作出它们的高．
比一比，看哪一个小组做得最快，发现的结论多．
设计意图：通过让学生操作、观察、推理、交流等活动，来培养学生的动手、动脑能力，发展其空间观察．
师生行为：学生操作、讨论，教师巡视、指导，使学生理解；
1．锐角三角形的三条高都在三角形内；
2．直角三角形的一条高在三角形内（即斜边上的高），而另两条高恰是它的两条直角边；
3．钝角三角形的一条高在三角形内，而另两条高在三角形外．（这是难点，需多加说明）
总之：任何三角形都有三条高，且三条高所在的直线相交于一点．我们把这一点叫垂心．
活动5．学习三角形的中线的概念．
在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线．
设计意图：让学生理解三角形的中线的概念．
师生行为：老师可以让学生在看书的基础上自己掌握三角形的中线的概念．
如图3，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线．
注：三角形的中线是线段．
由定义知：如果AD是△ABC的中线，那么有BD=DC=BC．
活动6．1．以四个同学为一合作小组．
2．在教师为其准备的各类三角形上画出它们的中线，你会发现什么？
设计意图：
通过本活动，进一步培养学生的动手、动脑能力，发展其空间观察．
师生行为：
学生动手操作、讨论、教师巡视指导，画中线时，可以让学生折纸，也可以让他们用刻度尺．
归纳：一个三角形的中线共有三条，它们存在于三角形的内部，并且三条中线相交于一点，我们把这一点叫做重心．
活动7．1．以四个同学为一合作小组．
2．在一张薄纸上画一个三角形，然后画出它的一个内角的平分线．
想一相：
1．什么是三角形的角平分线？
2．三角形的角平分线与一个角的平分线有何区别？
设计意图：通过其活动，一来让学生理解三角形的角平分线的定义，二来使学生能进一步准确画出一角的平分线．
师生行为：学生动手做，讨论，归纳，教师指导．
生甲：我画了一个三角形，然后用量角器测出一个内角的度数，再画一条射线，使它平分这个角．这样，这条射线就是这个三角形的一个内角的平分线．
生乙：甲组同学讨论的问题，应该画一条线段，使它平分这个内角，因为刚才观察移动过程中形成的都是线段，所以三角形的内角的平分线应该是线段．
生丙：通过折纸的方法也可以得到这个三角形的平分线．
师：很好．同学们利用了各种方法作出了这个三角形的内角的平分线，那么什么是三角形的角平分线呢？
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线（bisector
of
angle）．
注意：1．三角形的角平分线是一条线段而不是射线，它与一个角的平分线不同．
2．一个内角的平分线与它的对边是相交的，这个角的顶点与交点之间的线段才是这个内角的平分线，即三角形的角平分线．
如图4，AD是△ABC的角平分线．
那么有∠BAD=∠DAC=∠BAC．
活动8．1．让学生分别画出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条角平分线．
2．讨论在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系．
设计意图：培养学生的动手能力、归纳能力．
师生行为：学生动手操作，教师指导．
指明：1．任一个三角形都有三条角平分线，且它们都在三角形的内部；
2．任一个三角形的三条角平分线相交于一点，我们把这点叫三角形的内心．
课堂小结
本节学习了以下重要内容：
1．三角形中三条重要线段：三角形的高、中线和角平分线的概念．
2．学会画三角形的高、中线和角平分线．
布置作业:习题7．1
3、4．
活动与探究
在计算机上用《几何画板》软件画一个任意三角形，再画出它的三条中线，你发现了什么规律？然后随意改变所画三角形的形状，看看这个规律是否改变，三角形的三条高有这个规律吗？三条角平分线呢？
[过程]让学生在计算机上绘图．一来掌握信息技术的应用，二来巩固理解课堂上所学的内容，并再次验证规律．
[结果]三条中线交于一点．任何三角形都有此规律．
任何三角形的三条高所在的直线相交于一点，其角平分线也相交于一点．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
