21.4 第1课时 二次函数的应用中的面积、利润最值问题 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
21.4
二次函数的应用
第1课时
二次函数的应用中的面积、利润最值问题
沪科版
九年级数学上册
上课课件
学习目标
【知识与技能】
经历探究图形的最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验.
【过程与方法】
经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型和数学应用的价值，通过观察、比较、推理、交流等过程，发展获得一些研究问题与合作交流的方法与经验.
【情感态度】
通过动手实做及同学之间的合作与交流，让学生积累经验，发展学习动力.
【教学重点】
会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题.
【教学难点】
从几何背景及实际情景中抽象出函数模型.
新课导入
某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？
解：设围成的矩形水面的一边长为xm，那么，矩形水面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是Sm2，则有
S=x(20-x)
将这个函数的表达式配方，得
S=-
(x-10)2+100（025
O
5
10
15
20
x/m
50
75
100
S/m2
如图，这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段，它的顶点坐标是（10,100）.所以，当x=10时，函数取得最大值，即S最大值=100(m2).
此时，另一边长
=20-10=10(m).
答：当围成的矩形水面边长都为10m时，它的面积最大为100m2.
利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：
1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；
2.确定自变量的取值范围；
3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；
4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
探究
进价/元
售价/元
数量/件
利润
现价
涨价
降价
分析：
40
60
300
60+n
300-10n
60-m
300+20m
40
40
进价/元
售价/元
销量/件
利润
现价
涨价
降价
40
60
300
60+n
300-10n
60-m
300+20m
40
40
解:(1)设每件涨价n元，利润为y1.
则y1=(60+n
–
40
)(300
–
10n)
即y1=-10n2+100n+6000
其中，0≤n≤30.
利润
=
售价×销量-进价×销量
=
(售价-进价)×销量
怎样确定n的取值范围？
可得：0≤n≤30.
y1=-10n2+100n+6000
（0≤n≤30）
抛物线y1
=-10n2+100n+6000顶点坐标为
，所以商品的单价上涨
元时，利润最大，为
元.
(5,6250)
5
6250
n取何值时，y有最大值？最大值是多少？
=-10(n2-10n)+6000
=-10(n-5)2+6250
即涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元.
涨价：
进价/元
售价/元
销量/件
利润
降价
40
60-m
300+20m
解:
(2)设每件降价m元，利润为y2.
则y2=(60-m
–
40
)(300
+20m)
即y2=-20m2+100m+6000
其中，0≤m≤20.
怎样确定m的取值范围？
可得：0≤m≤20.
降价情况下的最大利润又是多少呢?
y2=-20m2+100m+6000
(0≤m≤20)
抛物线y2=-20m2+100m+6000顶点坐标为
，所以商品的单价下降
元时，利润最大，为
元.
(2.5,6125)
2.5
6125
m取何值时，y有最大值？最大值是多少？
即降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
降价：
=-20(m2-5m)+6000
=-20(m-2.5)2+6125
（2）降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
（1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元.
综上可知：
该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元.
随堂练习
1.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+
BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面
积最大？
解：设AC=x,四边形ABCD面积为y,
则BD=(10-x).
即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大.
2.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(如图所示),墙长为18m,这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?
解：设矩形的长为x
m,面积为y
m2,则矩形的宽为
m.
∴03.已知矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，圆柱的侧面积最大？
解：设矩形的长为xcm，圆柱的侧面积为ycm2，
则矩形的宽为(18-x)cm，绕矩形的长或宽旋转，圆柱的侧面积相等.
有y=2πx(18-x)＝-2π(x-9)2+162π(0＜x＜18).
当x=9时，y有最大值为162π.
即当矩形的长、宽各为9cm时，圆柱的侧面积最大。
4.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？
解：设所得利润为y元,
由题意得y=x(200-x)-30(200-x)
=-x2+230x-6000
=-(x-115)2+7225
(0当x=115时，y有最大值.
即当这件商品定价为115元时，利润最大.
5.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40件.
若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？
解：设每件应降价x元，每天的利润为y元，
由题意得：y=(20-x)(40+10x)
=-10x2+160x+800
=-10(x-8)2+1440
(0＜x＜20).
当x=8时，y取最大值1440.
即当每件降价8元时，每天的盈利最多。
课堂小结
图形面积最值问题：
由图形面积公式直接计算列出关系式，再利用二次函数的性质分析、解决问题.
利用二次函数解决利润问题的一般步骤：
①审清题意，理解问题；②分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系；③列出函数关系式；④求解数学问题；⑤求解实际问题.
课后作业
1.完成课本课后习题；
2.完成练习册本课时的习题。
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