(共14张PPT)
七年级数学下
智力大考验:
3个角
（三角形）
4个角
(四边形)
5个角
(五边形)
（1）把一张长方形的桌面截去一个角, 还剩几个角？
得到什么图形？
（2）长方形桌面的内角和发生了什么变化？
三角形的内角和等于180°
那么，四边形的内角和是多少呢？
那么，四边形的内角和是多少呢？
动手做一做
活动１：请使用适当的方法探究一般四边形的 内角和。
动手做一做
180°×2=360°
180°×3-180°=360°
活动２：探究任意多边形的内角和
请你对五边形进行研究，得到五边形内角和。并选取最简便的方法研究六边形…乃至n边形的内角和,并和你的同学交流你的成果和感受。（小组讨论）
动手做一做
180°×3 = 540°
从五边形的一个顶点出发引对角线，把这个五边形分割成3个三角形，从而得到五边形的内角和为
动手做一做
n 边形的内角和是(n-2) 180°
n 边形的内角和是(n-2) 180°
多边形的边数
分成的三角形个数
多边形的内角和
3
4
5
6
…
n
1
2
3
4
…
n-2
…
(n-2) 180°
1×180°
=180°
2×180°
=360°
3×180°
=540°
4×180°
=720°
结 论
已知一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是多少？
应用新知
例:
（1）求出图中的 x 的值:
（2）正十边形内角和是多少？它的
每个内角是多少？
（3）一个多边形的每个内角都是144°，
它是几边形？
140°
x
x
课堂练习
（1）为什么图中的4个正方形瓷砖可以拼成（无缝隙无重叠）大面积的地板？
如果给你的是4个形状大小完全相同的非特殊四边形，也可以类似地拼成地板吗？为什么？
思考题
（2） 福州则徐中学准备在端午节举行游园活动，有两个可供选择的场所，形状分别为三角形、四边形。为了营造气氛，拟在各个角落划出一块半径为1m的扇形区域放蜡烛（如下图）。请你帮忙算出下列各图中划出的区域面积，好确定应买多少蜡烛。（π取3.14）
思考题
畅谈心得，共同提升
通过本课的学习：
我学会了……
我发现了……
……
畅谈心得，共同提升
1、思想与方法：
2、结论与应用：
转化----对角线
n 边形的内角和是(n-2) 180°
书山有路
学海无涯
作业：课本P84----1，2，4，5.
书山有路
学海无涯出版社：人民教育出版社
书名 ：义务教育课程标准实验教科数－数学－七年级下册
章节 ：第7章第3节
课时 ：第2课时
课题 ：多边形的内角和
【教学设计】
教材分析：
本节内容是在学习了三角形相关知识和多边形的定义的基础上，进一步来学习多边形内角和，以及三角形内角和公式的延伸与拓展。本节内容分两个部分：（1）多边形内角和公式的推导和归纳；（2）多边形内角和公式的简单应用。其中第（1）部分内容是本节课的重点，首先让学生画三到四个不同的多边形，教师应正确引导学生合理地分割图形，把多边形问题分割成若干个三角形来解决。
学情分析：
本班学生数学学习习惯较好，动手能力较高，独立思考和解决问题的能力较强。
教学重点：多边形的内角和公式的探索。
教学难点：多边形的内角和公式推导方法的理解。
教学思路：
先从特殊的四边形入手，求其内角和，再分别求五边形、六边形、七边形的内角和，从中寻找出内角和规律。探讨形式主要是以问题的提出，由浅入深，由易到难，结合小组讨论 ，由学生归纳总结，最后得出内角和公式。教师本着让人人参与，这一教学理念来设置每个问题及每个教学环节。
在引入新课时，借助“把一张长方形的桌面截去一个角，还剩几个角？”这个问题来激发学生的兴趣，让学生集中注意力，对本节课的内容产生好奇与期待。
在推导多边形的内角和的过程中，从学生极为熟悉的四边形开始，通过学生独立思考、合作交流、动手实践、师生共同归纳出多边形内角和一般规律及其公式的基本思路，在适时引导学生思维方法的同时，达到本节教学的基本目的。
【教学目标】
知识与能力
（1）理解多边形内角和推导方法。
（2）能运用公式，解决求多边形的边数、内角和度数的问题。
过程与方法
在多边形内角和公式的推导过程中，培养学生猜想、归纳的能力；体会过程和结果转化等重要的数学思想在分析问题、解决问题中的应用，拓展学生的说理能力。
情感态度与价值观
经历探索多边形内角和公式的过程，帮助学生养成主动探索的习惯，发展学生合情推理的意识，进一步体会数学与现实生活的密切联系。
【教学流程】
教学环节 教学过程 设计意图
引入新课类比联想 多媒体展示问题：（1）把一张长方形的桌子截去一个角，还剩几个角？学生回答：（1）三种情况，分别是3个角，4个角，5个角。（2）长方形桌面的内角和是否发生了变化？学生回答：（2）发生变化。第一种情况是得到三角形，比长方形的内角和少了180°，因为已经知道了任意一个三角形内角和是180°；第二种情况是得到四边形，内角和不变，可以是猜想，或者用测量来获得任意四边形内角和是360°。研究方法如下：第一种方法：180°×2=360°，具有一般性，任意四边形都可以这样分割；第二种方法：180°×3-180°=360°，不具有一般性。共性：化归三角形来解决问题。第三种情况是得到五边形，从而进一步推导五边形的内角和如何来获得。为了训练学生的思维，寻求多种不同的分割方法来得出五边形的内角和。 通过引入对长方形桌面截去一个角的问题，使学生感到课堂学习比较轻松、有趣，此类问题也比较符合学生年龄特征。以求四边形的内角和作为推导多边形内角和的突破口。通过交流讨论的过程，让学生主动观察、分析、归纳，培养学生的合情推理，同时渗透由特殊到一般的思想方法。
探索研究获得结论 （1）启发连线：依照四边形求内角和的方法，从任一角的顶点作对角线，将多边形分割为若干个三角形。（2）讨论交流：让学生自己去发现多边形内角和与各三角形内角和之间的关系、三角形个数与多边形边数的关系。提出问题：六边形、七边形……内角和也能求吗？分割成三角形，或者分割成更简单的多边形。寻找最简便的一种表示法。你能把上述结论准确地表示出来吗？找规律填空：老师巡视学生完成情况，然后演示课件对照答案，作出评价。（4）归纳结论：n边形内角和等于(n-2) ×180°。教师点拨：多边形每增加一条边，内角和增加多少？可以从数字上看，也可以从图形上发现这个结论，从而感受对角线的作用。
引申思考 例：已知一个多边形，它的内角和 等于720°，则这个多边形的边数是多少？解： 设多边形的边数为n，因为它的内角和等于(n-2) 180°，所以， (n-2) 180°=720 。 解得: n=6 这个多边形的边数为6。 加深学生对多边形内角和公式的理解和应用。
应用深化 （1）求出图中x的值:
（2）正十边形内角和是多少？它的每个内角是多少？正n边形的每个内角是多少度？（3）一个多边形的每个内角都是144°，它是几边形？（4）为什么图中的4个正方形瓷砖可以拼成（无缝隙无重叠）大面积的地板？如果给你的是4个形状大小完全相同的非特殊四边形，也可以类似地拼成地板吗？为什么？分析：通过正方形每个内角都是90°，4个90°正好拼成周角360°的例子，来引导学生在一般四边形密铺的时候，考虑内角和问题。（5）福州则徐中学准备在端午节举行游园活动，有两个可供选择的场所，形状分别为三角形、四边形。为了营造气氛，拟在各个角落划出一块半径为1m的扇形区域放蜡烛（如下图）。请你帮忙算出下列各图中划出的区域面积，好确定应买多少蜡烛。（π取3.14）分析：无法逐个计算，由于半径相同，考虑拼接。
课堂小结 通过本节课的学习：我学会了…… 我发现了…… ……教师总结我们在研究、推导多边形的内角和公式时，首先从具体的、特殊的四边形、五边形入手，来得出多边形的内角和公式。在研究问题的过程中，把多边形问题通过分割成三角形或补成更简单的多边形来研究（注意辅助线尤其是对角线的添加），即把复杂问题转化为简单问题，这种研究和探索问题的方法都是我们在学习数学过程中经常要用到的，希望同学们要领悟这种思考和解决问题的方法。 师生共同回顾教学过程与内容，系统梳理知识点和思考方法，完善知识结构。
作业布置 作业：课本P84----1，2，4，5.
【教学反思】
今天这节课，在我准备的阶段，从教学内容顺序的安排，到知识点的串联编排，都进行了一些调整，或许这样比较适合学生的学习情趣，但是好与坏总是并存的，在个别知识点的具体把握中，总是免不了出现欠缺。下面是我对这节课教学的反思，与大家交流。
1、思得：在本节课的教学过程中，学生的积极性调动得比较充分，无论在研究问题还是分析结论，他们始终都是独立自主的。在课堂上，我将学生分成若干个四人小组，不同小组展开评比，彼此营造互助合作的学习气氛。体现在问题提出后，课堂气氛活跃，学生思维敏捷，并能提出几种解决问题的方法，这有助于培养学生发散性思维。在解决问题的叙述过程当中，培养了学生思维严谨、逻辑性较强的口头表达能力，让学生参与到获得知识的过程中来，并因此培养对数学的兴趣，促进和提高学生自主、自发、自觉的学习状态。在教师引导方面，通过这堂课我有了更深刻的认识，如果教师引导得当，一堂课则活泼不枯燥；反之，或欲速不达，或过犹不及。因此我把教师的引导比喻成画龙点睛，需要恰到好处。
2、思失：在基础题的量的把握上还有所不足，希望在以后的教学中设置足够量的基础题来提高学生的感性认识。
3、思效：总体来说，本节课能贯彻新课标的教改要求，从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，发展思维，促使学生在教师的指导下主动地、富有个性地学习，调动学生的积极性，从而体现教师的引导和学生课堂学习的主体地位。在师与生的互动对话、生与生的合作交流中，我相信每个参与活动的同学都有不同程度的收获。学生的收获就是如何把一个新问题转化为用已学过的知识来解决，这是符合教学规律的。而这种解决问题、获取新知识的方法，不仅仅体现在数学学科上，还广泛的体现在所有的学科当中。因此，本节课也加深了我对数学作为一门工具学科的理解。
4、思改：新课标中提出教学中要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有的学生能积极地参与，并引导学生在与他人的交流中，提高思维水平。针对课堂教学中存在的问题和不足，我将对照新课标的要求，不断进行探索与尝试，努力将教学质量提高上去。
【点评】
课堂教学是教师和学生一种互动的过程，其中教材处理和教学方法的运用体现了教师、学生二者之间的相互作用，是影响课堂教学效率的主要变量。另外，教材处理和教法的运用是教师主导作用的集中体现，而教师主导作用发挥的好坏决定着学生的主体地位能否得到保障，主体作用能否得到较好的发挥。因而课堂教学评价应当把教材处理和教学方法的运用作为主要内容。
（一）本堂课确定的主要教学目标是恰当的。比如对多边形的有关概念不作过高要求，只要求能够在图形中识别，但对四边形内角和是360°，要求较高，除了会解释说明外还要会进行应用。另外还特别强调研究四边形的问题时通过作辅助线的方法转化为三角形知识来解决，并以此为载体强化数学化归的思想方法。
（二）导学达标过程：1、对于多边形定义及有关概念，这不是本堂课的重点内容，而且学生对四边形、五边形、n边形的形状并不陌生，因而采用让学生类比三角形的知识来学习，方法是可取的。之后又让学生自己概括并叙述它们的定义，这可培养学生的概括能力和文字表达能力。
2、推导多边形的内角和，这是本堂课的重点。课堂教学紧紧围绕结论的发现、解释说明、应用三个阶段展开，从学生的认知特点和教材要求出发分别采取不同方法。
（l）结论的发现。考虑到学生已学习了三角形内角和定理，而且知道长方形、正方形的每一个角都是90°，所以教师对结论的发现采取猜想的方法。教师直接提出问题：“四边形的内角和是多少度”？学生很容易猜想得出360°的结论，这个问题虽然不难回答，但可以培养学生探究问题的意识和学习习惯。
(2)结论的推导思路。在此之前，学生已经积累了不少说明几何问题的事例、方法和经验。为了帮助学生迅速找到新旧知识的结合点，教师提出问题：“处理复杂问题最常用的解决方法，就是把未知转化为已知，用已有知识研究新问题。所以，研究四边形的问题可转化为已学过的三角形知识去解决。”这可引起学生的联想，有利于学生梳理知识，培养学生的发散思维能力。接下去教师继续提问：“怎样转化？转化的关键是什么？”教师没做更多的引导，只是提出问题。这样，教师不仅为解决问题创造了一个好的情境，而且指导学生如何通过自己的努力将已有知识、经验和方法进行重组。从课堂教学实际效果看，这个引导是符合多数学生的认知规律的，既没有超越学生的认知能力，又能促进学生学习的积极性。
在结论的推导过程中，集中体现了数学化归思想的应用。在这里，教师有意识地做了强化，这可以使学生更加深刻地体会到这种思想方法对解决问题的作用。另外，教师还指出了最优化思想。
（3）结论的应用。结论的应用是通过例题教学和指导学生做练习实现的。在这个过程中，教师没有做过多的指导，只是适当、及时进行了点拨和提示。这样做应该说是体现了“导而弗牵，开而弗达”的要求。
