第六章
立体几何初步
§1 基本立体图形
最新课标
利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
1.1 构成空间几何体的基本元素
1．2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
[教材要点]
要点一 构成空间几何体的基本元素
1．空间几何体的基本元素是________、________、________等．
2．平面
概念
几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是________的
平面
一般地，用________表示平面．当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成________，横边长画成邻边长的________．为了增强立体感，把被遮挡部分画成________或________．
表示方法
(1)一个希腊字母：如α，β，γ等；(2)两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点；(3)四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点
1.平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；
2．平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
要点二 简单多面体
1．多面体：
有些几何体是由________围成的，称为多面体．这些多边形称为多面体的________，两个相邻的面的公共边称为多面体的________，棱与棱的公共点称为多面体的________．
2．棱柱、棱锥和棱台
几何体
定义
图形及表示
相关概念
棱柱
有两个面相互________其余各面都是________，由这些面围成的几何体称为棱柱．正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．平行六面体：底面是平行四边形的棱柱.
底面(底)：两个互相________的面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的________；顶点：侧面与底面的________；对角线：既不在同一底面上也不在同一个侧面上的两个顶点的连线；高：过上底面上一点O1作下底面的垂线，这点和垂足O间的距离________．
棱锥
有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的________，由这些面所围成的几何体叫作棱锥．正棱锥：底面是________，且它的顶点过底面________且与底面垂直的直线上.
底面(底)如图，多边形ABCDEF称为棱锥的底面．侧面：其余各面称为棱锥的侧面．顶点：各个侧面的________．高：顶点到底面的距离．四面体：三棱锥也叫做四面体．斜高：正棱锥各侧面都是________的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等．
棱台
用一个______的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台．正棱台：由正棱锥截得的棱台.
上底面：原棱锥的________；下底面：原棱锥的________．侧面：其余各面侧棱：相邻两个侧面的公共边．高：上底面、下底面之间的距离．斜高：正棱台各侧面都是________的等腰梯形，这些等腰梯形的高都相等.
对于多面体概念的理解，注意以下两个方面
(1)多面体是由平面多边形围成的．围成一个多面体至少要四个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体．
(2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分．
[教材答疑]
1．[教材P193思考交流]
共同点：每个多面体都有两个面是边数相同的多边形，且它们所在平面都平行，其余各面是由平行四边形围成的．
不同点：两个平行平面的边数不同，侧棱不一定垂直两个平行平面．
按底面的边数不同分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……
按侧棱是否垂直底面分.
2．[教材P196思考交流]
判断多面体是棱台：(1)两个底面互相平行；(2)各条侧棱延长交于一点．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)有一个平面的长是50
m，宽是20
m，厚20
m．( )
(2)棱柱的两个底面是全等的多边形，侧面是平行四边形．( )
(3)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．( )
(4)正三棱锥也称为正四面体．( )
2．下面图形中，为棱锥的是( )
A．①③ B．①③④
C．①②④
D．①②
3．下列图形中，是棱台的是( )
4．下面的几何体中是棱柱的有( )
A．3个 B．4个
C．5个
D．6个
题型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征——自主完成
1．[多选题]下列命题中，正确的命题是( )
A．棱柱的侧面都是平行四边形
B．棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点
C．多面体至少有四个面
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
2．下列命题中正确的是________(填序号)．
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
②棱柱的一对互相平行的平面均可看作底面；
③三棱锥的任何一个面都可看作底面；
④棱台各侧棱的延长线交于一点．
在解答关于空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义判断，这就要求熟悉各种空间几何体的概念的内涵和外延，切忌只凭图形主观臆断．
题型二 简单几何体的判定——师生共研
例1 如图所示，长方体ABCD
?
A1B1C1D1.
1．利用棱柱定义来判断．
2．棱柱的分类以底面图形的形状来分类．
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．
解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握，如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等，同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数．
跟踪训练1 如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体有几个面、几个顶点、几条棱？
观察图形计算出面、顶点、棱的个数，把四边形ABCD认为是几何体的一个面导致错误.
题型三 多面体的表面展开图——师生共研
例2
(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)( )
(2)如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？
方法归纳
多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说：同一个几何体可以有多种不同的展开图．
跟踪训练2 如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )
A．①③
B．②④
C．③④
D．①②
易错辨析 凭直观想象判断致误
例3 如图所示几何体，下列描述正确的是________(填序号)．①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．
解析：①正确，因为有六个面，属于六面体．
②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确．
③正确，如果把几何体中两个梯形作为底面就会发现是一个四棱柱．
④⑤都正确，如图(1)(2)．
答案：①③④⑤
易错警示
易错原因
纠错心得
凭感觉判断得到错误答案：①②④⑤
(1)解答过程中易忽视棱台侧棱的延长线一定交于一点这一结构特征，凭直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理．(2)解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断.
温馨提示：请完成课时作业38
第六章 立体几何初步§1 基本立体图形
1．1 构成空间几何体的基本元素
1．2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
新知初探·课前预习
要点一
1．点 线 面
2．无限延展 平行四边形 45° 两倍 虚线 不画
要点二
1．平面多边形 面 棱 顶点
2．平行 平行四边形 平行 公共边 公共顶点 OO1 多边形
三角形 正多边形 中心 公共点 全等 平行于棱锥底面
截面 底面 全等[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．解析：根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.
答案：C
3．解析：由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义，故选C.
答案：C
4．解析：棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.
答案：C
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：A、B均为真命题；对于C，一个图形要成为空间几何体，则它至少需有4个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应有4个面，而且这样的面必是三角形，故C也是真命题；对于D，只有当截面与底面平行时才对．
答案：ABC
2．解析：对于①，还可能是棱台；对于②，只要看一个正六棱柱模型即知是错的；对于③，显然是正确的；④显然符合定义．故填③④.
答案：③④
题型二
例1 解析：(1)该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．
(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1
?
CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．
截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1
?
DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面．
跟踪训练1 解析：这个几何体有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．
题型三
例2 解析：(1)因为是对面图案均相同的正方体礼品盒，所以当盒子展开后相同的图案就不可能靠在一起，只有A中没有相同的图案靠在一起．故选A.
答案：
A
解析：(2)图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把平面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
跟踪训练2 解析：可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．故选C.
答案：C(共33张PPT)
1.1 构成空间几何体的基本元素
1．2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台课时作业38 构成空间几何体的基本元素
简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
[练基础]
1．设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这些集合间的关系是( )
A．Q?N?M?P
B．Q?M?N?P
C．Q?N?M?P
D．Q?M?N?P
2．下列关于棱锥、棱台的说法，其中不正确的是( )
A．棱台的侧面一定不会是平行四边形
B．棱锥的侧面只能是三角形
C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥
D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥
3．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥
4．下列几个命题：
①棱柱的底面一定是平行四边形；
②棱锥的底面一定是三角形；
③棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱．
其中正确的是________．(填序号)
5．下列说法正确的有________．
①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；
②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；
④多面体至少有四个面．
6．如图所示是一个三棱台ABC
?
A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
[提能力]
7．[多选题]正方体截面的形状有可能为( )
A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
8．在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是________(写出所有正确结论的编号)．
①能构成每个面都是等边三角形的四面体；
②能构成每个面都是直角三角形的四面体；
③能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体；
④能构成三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形的四面体．
9．如图，一个长方体的容器里面装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中，
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
(2)水的形状也不断变化，可能是棱柱，也可能变成棱台或棱锥，对吗？
[战疑难]
10．如图所示，长方体的长、宽、高分别为5
cm，4
cm,3
cm.一只蚂蚁从A点到C1点沿着表面爬行的最短路程是多少？
课时作业38 构成空间几何体的基本元素
简单多面体——棱柱、棱锥和棱台1.解析：易知四种棱柱中正方体最特殊，直四棱柱最一般，而正四棱柱是底面为正方形的长方体．
答案：D
2．解析：
选项A正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；选项B正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；选项C正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；选项D错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
答案：D
3．解析：由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．
答案：D
4．解析：①棱柱的底面可以为任意多边形．②棱锥的底面可以为四边形、五边形等．
答案：③
5．解析：棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②错，③对．④显然正确．因而正确的有①③④.
答案：①③④
6．解析：过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC
?
A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′
?
ABC，B
?
A′B′C′，A′
?
BCC′.(答案不唯一)
7．解析：在正方体ABCD
?
A1B1C1D1中，截面ACD1为正三角形，
平行于底面的所有截面都是正方形，
分别取AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A六条棱的中点，顺次连接这六个点所得的六边形为正六边形，所以选项A，B，D正确．
若截面为五边形，则必有两组对边平行，所以不可能为正五边形，故选项C错误．
答案：ABD
8．解析：如图所示的正方体ABCD
?
EFGH，
四面体E
?
BDG的每个面都是等边三角形，故①正确；
四面体E
?
ABC的每个面都是直角三角形，故②正确；
四面体E
?
ABD的三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形，故③正确；
四面体G
?
ABD的三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形，故④正确．
答案：①②③④
9．解析：(1)不对，水面的形状就是用与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而是矩形，不可能是其他不是矩形的平行四边形．
(2)不对，水的形状就是用与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后剩下的几何体，此几何体是棱柱，不可能是棱台或棱锥．
10．解析：依题意，长方体ABCD
?
A1B1C1D1的表面可有如图所示的三种展开图．
展开后，A，C1两点间的距离分别为：＝
(cm),
＝4
(cm)，＝3
(cm)，三者比较得
cm为蚂蚁从A点沿表面爬行到C1点的最短路程．
