(共36张PPT)
1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
901.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
[教材要点]
要点一 球
1．球面：
以半圆的________所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面．
2．球：
________所围成的几何体．
3．球心：
半圆的________．
4．球的半径：
连接________和球面上任意一点的线段．
5.球的直径：
连接球面上两点且过________的线段．
6．球的性质：
(1)球面上所有的点到________的距离都等于球的半径；
(2)用任何一个平面去截球面，得到的截面都是________，其中________的平面截球面得到的圆的半径最大，等于球的半径．
球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．
要点二 旋转体
1．旋转面：
一条平面曲线绕着它所在的平面内的________旋转一周所形成的曲面．
2．旋转体：
________的旋转面围成的几何体．
要点三 圆柱、圆锥、圆台
名称
定义
图形表形
圆柱
以________所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的所围成的几何体
圆锥
以________________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体
圆台
以________________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体
相同概念
高：在旋转轴上的这条边的长度．底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的________．侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的________．母线：无论转到什么位置，这条边称为侧面的母线．
相同性质
(1)平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是________；(2)过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是________、等腰三角形、________.
1.以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥．
2．圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．( )
(2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台．( )
(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．( )
(4)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形．( )
2．下列说法不正确的是( )
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥的侧面展开图是一个扇形
C．圆台的侧面展开图是一个梯形
D．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径
3．如图所示，其中为圆柱体的是( )
4．如图所示，已知圆锥SO的母线长为5，底面直径为8，则圆锥SO的高h＝________.
题型一 旋转体的结构特征——自主完成
1．[多选题]下列说法错误的是( )
A．球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体
B．球的直径是球面上任意两点间的连线
C．用一个平面截一个球，得到的是一个圆
D．空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球
2．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．
方法归纳
1．判断简单旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成．
(2)明确旋转轴是哪条直线．
2．简单旋转体的轴截面及其应用
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
题型二 简单组合体的结构特征——师生共研
例1 (1)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )
A．一个圆台、两个圆锥
B．两个圆台、一个圆柱
C．两个圆台、一个圆柱
D．一个圆柱、两个圆锥
(2)右图中平面图形从下往上依次由等腰梯形、矩形、半圆、圆、等腰三角形拼接形成，若将它绕直线l旋转形成一个组合体，下面说法不正确的是________(填序号)．
①该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球；
②该组合体中的圆锥和球只有一个公共点；
③该组合体中的球和半球只有一个公共点.
方法归纳
(1)组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割．
(2)用分割法识别简单组合体，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)，进而将几何体“分拆”成几个简单的几何体．
跟踪训练1 (1)一个直角三角形绕其斜边所在直线旋转360°形成的空间几何体是( )
A．一个圆锥
B．一个圆锥和一个圆柱
C．两个圆锥
D．一个圆锥和一个圆台
(2)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是________．(填序号)
题型三 空间几何体中的计算问题——微点探究
微点1 有关旋转体的侧面展开图的计算
例2 如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
变式探究 若例2中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图所示，则它爬行的最短距离是多少？
解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图：
微点2 简单几何体中的有关计算
例3 如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1?16，截去的圆锥的母线长是3
cm，求圆台O′O的母线长．
(1)画出圆锥的轴截面．(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可．
跟踪训练2 圆锥底面半径为1
cm，高为
cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．
易错辨析 由平面图形构成旋转体的误区
例4 如图所示，四边形ABCD为直角梯形，试作出绕其各条边所在直线旋转所得到的几何体．
解析：四边形ABCD有四条边，分四种情况考虑：
(1)以边AD所在的直线为旋转轴旋转，形成的几何体是圆台，如图①所示．
(2)以边AB所在的直线为旋转轴旋转，形成的几何体是由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的几何体，如图②所示．
(3)以边CD所在的直线为旋转轴旋转，形成的几何体是由一个圆柱挖掉一个圆锥构成的几何体，如图③所示．
(4)以边BC所在的直线为旋转轴旋转，形成的几何体是由一个圆台挖掉一个圆锥构成的几何体和一个圆锥拼接而成的，如图④所示．
易错警示
易错原因
纠错心得
在以边CD、AB为边所在直线旋转得到的几何体时，想象不出几何体的形状，导致画不出几何体
画由平面图形旋转得到的旋转体时要注意明确得到的旋转体的结构特征，以防画不出旋转体
1．3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
新知初探·课前预习
要点一
1．直径 2.球面 3.圆心 4.球心 5.球心
6．球心 圆 过球心
要点二
1．一条定直线
2．封闭
要点三
矩形的边 直角三角形的一条直角边 直角梯形垂直于底边的腰 圆面 曲面 圆 全等的矩形 等腰梯形[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：圆台的侧面展开图是一个扇环，其余的A、B、D都正确．
答案：C
3．解析：B、D不是旋转体，首先被排除．又A不符合圆柱体的定义，只有C符合，所以选C.
答案：C
4．解析：连接OS，OA，在Rt△OSA中，OA＝4，所以h＝＝＝3.
答案：3
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：A中，球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，A正确；
B中，如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，B错误；
C中，球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，C错误；
D中，空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，D错误．故选BCD.
答案：BCD
2．解析：(1)正确，圆柱的底面是圆面．
(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；
(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．
答案：(1)(2)
题型二
例1 (1)解析：图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边．以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥．故选D.
答案：D
(2)解析：由题图得到的组合体从上到下依次为圆锥、球、半球、圆柱、圆台，所以①不正确，②③正确．
答案：①
跟踪训练1 解析：(1)一个直角三角形绕其斜边所在直线旋转360°得到的旋转体为两个同底的圆锥的组合体．
答案：C
(2)当截面过底面直径时，截面如图①；当截面不过底面直径时，截面如图⑤.
答案：①⑤
题型三
例2 解析：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．
∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，
∴AB′＝＝＝2，
∴蚂蚁爬行的最短距离为2.
变式探究 解析：可把圆柱展开两次，如图，则AB′即为所求，AB＝2，BB′＝2×2π×1＝4π，
∴AB′＝＝＝2.
所以蚂蚁爬行的最短距离为2.
例3 解析：
设圆台O′O的母线长为l
cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1?16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r
cm,4r
cm，过轴SO作截面，如图所示．
则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3
cm.
所以＝.所以＝＝.
解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9
cm.
跟踪训练2 解析：
圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC1A1如图．设正方体的棱长为x
cm，则AA1＝x
cm，A1C1＝x
cm.作SO⊥EF于点O，则SO＝
cm，OE＝1
cm.
∵△EAA1∽△ESO，
∴＝，即＝，
解得x＝，即该内接正方体的棱长为
cm.课时作业39 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
[练基础]
1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．球体
D．圆柱、圆锥、球体的组合体
2．旋转后能形成如图所示几何体的平面图形是( )
3．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )
A．一个棱柱中挖去一个棱柱
B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥
D．一个棱台中挖去一个圆柱
4．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上下底面的半径之比为1?4.若截去的圆锥的母线长为3
cm，则圆台的母线长为( )
A．1
cm
B．3
cm
C．12
cm
D．9
cm
5．两相邻边长分别为3
cm和4
cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱中，母线长和底面半径分别为________．
6．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．
[提能力]
7．[多选题]圆锥的截面形状可能为( )
A．等腰三角形
B．平行四边形
C．圆
D．椭圆
8．我国古代名著《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好与圆木顶部平齐，问葛藤最短长多少尺？”(注：1丈等于10尺)则葛藤最短为________．
9．给出两块面积相同的正三角形纸片(如图)，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥(正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形)模型，另一块剪拼成一个正三棱柱(正三棱柱上、下底面是正三角形，侧面是矩形)模型，使纸片正好用完，请设计一种剪拼方法，分别标示在图中，并作简要说明．
[战疑难]
10．从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截此几何体，求所得截面的面积．
课时作业39 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
1．答案：C
2．答案：A
3．解析：一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.
答案：B
4．解析：
示意图如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x.根据相似三角形的性质可得＝，解得y＝9，所以圆台的母线长为9
cm.故选D.
答案：D
5．解析：当以3
cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为3
cm，底面半径为4
cm；
当以4
cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为4
cm，底面半径为3
cm.
答案：3
cm,4
cm或4
cm,3
cm
6．解析：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．
(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．
(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．
7．解析：对A，用过轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是等腰三角形，符合题意；对B，圆锥的侧面是曲面，所以截面形状不可能为平行四边形，不符合题意；对C，用垂直于轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是圆，符合题意；对D，用与轴斜交的平面去截圆锥，得到的截面形状可能是椭圆，符合题意．故选ACD.
答案：ACD
8．解析：由题意，圆木的侧面展开图是矩形，将圆木侧面展开两次，则一条直角边(即圆木的高)长为24尺，其邻边长为5×2＝10(尺)，因此葛藤最短为＝26(尺)．
答案：26尺
9．解析：如图(1)，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．如图(2)，从正三角形三个角上分别剪去三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为原三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可拼得一个缺上底的正三棱柱，而剪去的三个相同的四边形恰好可拼成这个正三棱柱的上底．
10．解析：
轴截面如图．被平行于圆柱下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C＝R，圆锥的截面圆的半径为O1D，设O1D＝x.
∵OA＝AB＝R，∴△OAB是等腰直角三角形．
∵CD∥AO，∴CD＝BC.
∵△BCD∽△OO1D，∴O1D＝OO1，∴x＝l.
∴所求截面的面积S＝πR2－πx2＝πR2－πl2＝π(R2－l2)．
